EDHEC 2015Maths appliquées

Exercice 1

On note \(\mathscr{B}=\left(e_1, e_2, e_3, e_4, e_5\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^5\). On désigne par \(I\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_5(\mathbb{R})\) et on considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^5\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est : \[C= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

1. 1. Déterminer la dimension de \(\operatorname{Im}(f)\), puis montrer que la famille \(\left(e_2+e_3+e_4, e_1+e_5\right)\) est une base de \(\operatorname{Im}(f)\).

   2. En déduire la dimension de \(\operatorname{Ker}(f)\) puis donner une base de \(\operatorname{Ker}(f)\).

2. On note \(u=e_2+e_3+e_4\) et \(v=e_1+e_5\).

   1. Écrire \(f(u)\) et \(f(v)\) comme combinaisons linéaires de \(e_1, e_2, e_3, e_4, e_5\), puis \(f(u-v)\) et \(f(u+3 v)\) comme combinaisons linéaires de \(u\) et \(v\).

   2. En déduire les valeurs propres de \(C\) et préciser les sous-espaces propres associés.

   3. Établir que \(C\) est diagonalisable et déterminer une matrice \(D\) diagonale et une matrice \(R\) inversible telles que \(C=R D R^{-1}\).

3. 1. Établir la relation suivante : \(D(D+I)(D-3 I)=0\).

   2. En déduire que le polynôme \(P\) défini par \(P(X)=X^3-2 X^2-3 X\) est un polynôme annulateur de \(C\).

4. On admet que (principe de la division euclidienne), pour tout entier naturel \(n\) non nul, il existe un unique polynôme \(Q_n\) et trois réels \(a_n, b_n\) et \(c_n\) tels que : \[X^n=\left(X^3-2 X^2-3 X\right) Q_n(X)+a_n X^2+b_n X+c_n\]

   1. En utilisant les racines de \(P\), déterminer les valeurs de \(a_n, b_n\) et \(c_n\) en fonction de \(n\).

   2. Déduire de ce qui précède l’expression, pour tout entier naturel \(n\) non nul, de \(C^n\) en fonction de \(C\) et \(C^2\).

5. Compléter les deux espaces laissés libres dans la commande Python suivante pour qu’elle permette de construire la matrice \(C\) :

Exercice 2

Trois personnes, notées \(A, B\) et \(C\) entrent simultanément dans une agence bancaire disposant de deux guichets. Les clients \(A\) et \(B\) occupent simultanément à l’instant 0 les deux guichets tandis que \(C\) attend que l’un de ces deux guichets se libère pour se faire servir. On suppose que :

• Les durées de passage au guichet des trois personnes \(A, B\) et \(C\) sont mesurées en heures et on suppose que ce sont des variables aléatoires indépendantes, notées respectivement \(X, Y\) et \(Z\), et suivant toutes la loi uniforme sur \([0,1[\).

• La durée du changement de personne à un guichet est négligeable.

1. On pose \(U=\min (X, Y)\) et \(V=\max (X, Y)\) et on admet que \(U\) et \(V\) sont des variables aléatoires.

   1. Montrer que la fonction de répartition \(F_U\) de \(U\) est définie par: \[F_U(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill \text { si } x<0 \\ 2 x-x^2 \text { si } 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ \hfill 1\hfill \text { si } x>1 \end{cases}\]

   2. En déduire que \(U\) est une variable aléatoire à densité et donner une densité \(f_U\) de \(U\).

   3. Déterminer l’espérance et la variance de \(U\).

2. On note \(T\) le temps total passé par \(C\) dans l’agence bancaire.

   1. Exprimer \(T\) en fonction de certaines des variables précédentes.

   2. En déduire \(\mathbb{E}(T)\) et \(\mathbb{V}(T)\).

3. On suppose avoir importé des bibliothèques dans un programme Python à l’aide des commandes suivantes :

   1. On rappelle que, si a et b sont deux vecteurs de taille \(n\), les commandes m=np.fmin(a,b)et M=np.fmax(a,b) renvoient les vecteurs \(m\) et \(M\), de même taille que a et b, et tels que, pour tout \(i\) de \(\left[\!\left[0,n-1\right]\!\right]\), on ait : m[i]=min(a[i],b[i]) et M[i]=max(a[i],b[i]).

      On rappelle également que rd.random(n) simule \(n\) variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur \([0,1[\).

      Compléter les commandes Python suivantes pour qu’elles permettent de simuler \(n\) fois les variables aléatoires \(U, V\) et \(T\), pour \(n\) entré par l’utilisateur :

   2. Que représente l’événement \([ T \geqslant V]\) ?

   3. On souhaite déterminer une valeur approchée de la probabilité \(p=\mathbb{P}(T \geqslant V)\) en simulant un grand nombre de fois le passage des clients \(A, B\) et \(C\) aux guichets.

      Compléter les commandes p=....... ; print("p=",p) pour que, placées sous les commandes écrites à la question 3a), elles permettent d’obtenir une valeur approchée de \(p\).

   4. Lors de plusieurs essais des commandes ci-dessus, avec \(n=10000\), la réponse donnée par Python est comprise entre 0.66 et 0.67.

      Que peut-on conjecturer quant à la valeur exacte de \(p\) ?

Exercice 3

1. Pour tout entier naturel \(k\), on pose : \[I_k=\int_0^{+\infty} t^k \, \mathrm{e}^{-t} \,\mathrm{d}t\]

   1. Justifier que \(I_0, I_1\) et \(I_2\) sont des intégrales convergentes et donner leur valeur (on pourra s’appuyer sur le cours de probabilité).

   2. Pour tout réel \(a\) positif et tout entier naturel \(k\), on pose : \(\displaystyle I_k(a)=\int_0^a t^k \mathrm{e}^{-i}\,\mathrm{d}t\). Établir, grâce à une intégration par parties, que : \(I_{k+1}(a)= \left( k+1 \right) I_k(a)-a^{k+1} \mathrm{e}^{-a}\).

   3. En déduire que \(I_3\) et \(I_4\) sont des intégrales convergentes et vérifier que : \(I_3=6\) et \(I_4=24\).

2. Déduire des questions précédentes que, pour tout couple \((x, y)\) de réels, \(\displaystyle \int_0^{+\infty}\left(y+x t+t^2\right)^2 \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\) est une intégrale convergente.

   On considère, pour toute la suite, la fonction \(f\) de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[\forall(x, y) \in \mathbb{R}^2, \ f(x, y)=\int_0^{+\infty}\left(y+x t+t^2\right)^2 \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\]

3. 1. Vérifier que l’on a : \(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^2, f(x, y)=2 x^2+y^2+12 x+4 y+2 x y+24\).

   2. Justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal C^2\) sur \(\mathbb{R}^2\).

4. 1. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 de \(f\) puis déterminer le seul point critique \((a, b)\) de \(f\).

   2. Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de \(f\) et écrire la matrice hessienne \(\nabla^2 f (a, b)\) de \(f\) en son point critique.

   3. Déterminer les valeurs propres de \(\nabla^2 f (a, b)\) et en déduire que \(f\) admet un extremum local \(m\) au point \((a, b)\) dont on précisera la nature (minimum ou maximum) et la valeur.

5. Le but de cette question est de montrer qu’en fait cet extremum est global.

   1. Compléter le membre de droite de l’égalité suivante : \[2 x^2+2 x y+12 x=2\left(x+\frac{y}{2}+3\right)^2-\cdots\]

   2. Compléter de même l’égalité : \(\displaystyle \frac{y^2}{2}-2 y+6=\frac{1}{2}(y-2)^2+\cdots\)

   3. En déduire une autre écriture de \(f(x, y)\) montrant que l’extremum trouvé plus haut est global.

Problème

Partie 1

Dans cette partie, \(x\) désigne un réel de \([0,1[\).

1. 1. Montrer que : \(\displaystyle \forall m \in \mathbb{N}, \ 0 \leqslant \int_0^x \frac{t^m}{1-t^2}\,\mathrm{d}t\leqslant \frac{1}{1-x^2} \times \frac{1}{m+1}\).

   2. En déduire que: \(\displaystyle \lim _{m \rightarrow+\infty} \int_0^x \frac{t^m}{1-t^2} \,\mathrm{d}t=0\).

2. 1. Pour tout réel \(t\) de \([0,1[\) et pour tout \(k\) élément de \(\mathbb{N}^*\), calculer \(\displaystyle \sum_{j=0}^{k-1} t^{2 j}\).

   2. En déduire que : \(\displaystyle \sum_{j=0}^{k-1} \frac{x^{2 j+1}}{2 j+1}=\int_0^x \frac{1}{1-t^2}\,\mathrm{d}t-\int_0^x \frac{t^{2 k}}{1-t^2}\,\mathrm{d}t\).

   3. Utiliser la question 1) pour montrer que la série de terme général \(\frac{x^{2 j+1}}{2 j+1}\) converge et exprimer \(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{x^{2 j+1}}{2 j+1}\) sous forme d’une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer.

   4. Conclure que : \(\displaystyle \forall k \in \mathbb{N}, \sum_{j=k}^{+\infty} \frac{x^{2 j+1}}{2 j+1}=\int_0^x \frac{t^{2 k}}{1-t^2}\,\mathrm{d}t\).

      On admet sans démonstration que l’on a aussi : \(\displaystyle \forall k \in \mathbb{N}, \sum_{j=k+1}^{+\infty} \frac{x^{2 j}}{2 j}=\int_0^x \frac{t^{2 k+1}}{1-t^2}\,\mathrm{d}t\).

Partie 2

Un joueur réalise une suite de lancers indépendants d’une pièce. Cette pièce donne « pile » avec la probabilité \(p\) (\(0<p<1\)) et « face » avec la probabilité \(q=1-p\).

On note \(N\) la variable aléatoire égale au rang d’apparition du premier « pile ».

Si \(N\) prend la valeur \(n\), le joueur place \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\) dans une urne, puis il extrait une boule au hasard de cette urne. On dit que ce joueur a gagné si le numéro porté par la boule tirée est impair et on désigne par \(A\) l’événement : « le joueur a gagné ».

On appelle \(X\) la variable aléatoire égale au numéro porté par la boule extraite de l’urne.

1. Reconnaître la loi de \(N\).

2. On suppose avoir importé des bibliothèques dans un programme Python à l’aide des commandes suivantes :

   1. Montrer que, si \(m\) est un entier naturel, la commande 2*np.floor(m/2) renvoie la valeur \(m\) si et seulement si \(m\) est pair.

   2. Compléter les commandes Python suivantes pour qu’elles simulent \(N\) et \(X\) puis renvoient l’un des deux messages : « le joueur a gagné » ou « le joueur a perdu » .

3. 1. Donner, pour tout entier naturel \(k\) supérieur ou égal à \(j\), la valeur de \(\mathbb{P}_{[N=2j]}(X=2 k+1)\).

   2. Donner, pour tout entier naturel \(k\) supérieur ou égal à \(j+1\), la valeur de \(\mathbb{P}_{[N=2 j+1]}(X=2 k+1)\).

   3. Déterminer \(\mathbb{P}_{[N=2j]}(X=2 k+1)\) lorsque \(k\) appartient à \(\left[\!\left[0, j-1\right]\!\right]\).

   4. Déterminer \(\mathbb{P}_{[N=2 j+1]}(X=2 k+1)\) lorsque \(k\) appartient à \(\left[\!\left[0, j\right]\!\right]\).

4. 1. Justifier que \(\displaystyle \mathbb{P}(X=2 k+1)=\sum_{n=1}^{+\infty} \mathbb{P}(N=n) \, \mathbb{P}_{[N=n]}(X=2 k+1)\).

      En admettant que l’on peut scinder la somme précédente selon la parité de \(n\), montrer que : \[\forall k \in \mathbb{N}, \ \mathbb{P}(X=2 k+1)=\frac{p}{q}\left(\sum_{j=k+1}^{+\infty} \frac{q^{2 j}}{2 j}+\sum_{j=k}^{+\infty} \frac{q^{2 j+1}}{2 j+1}\right)\]

   2. En déduire que : \(\displaystyle \forall k \in \mathbb{N}, \ \mathbb{P}(X=2 k+1)=\frac{p}{q} \int_0^q \frac{t^{2 k}}{1-t}\,\mathrm{d}t\).

5. 1. Montrer que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_0^q \frac{t^{2 n+2}}{(1-t)^2(1+t)}\,\mathrm{d}t=0\).

   2. Montrer que \(\displaystyle \sum_{k=0}^n \mathbb{P}(X=2 k+1)=\frac{p}{q}\left(\int_0^q \frac{1}{(1-t)^2(1+t)}\,\mathrm{d}t-\int_0^q \frac{t^{2 n+2}}{(1-t)^2(1+t)}\,\mathrm{d}t\right)\).

   3. En déduire que : \(\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{p}{q} \int_0^q \frac{1}{(1-t)^2(1+t)}\,\mathrm{d}t\).

6. 1. Trouver trois constantes réelles \(a, b\) et \(c\) telles que, pour tout \(t\) différent de 1 et de \(-1\), on ait : \[\frac{1}{(1-t)^2(1+t)}=\frac{a}{1-t}+\frac{b}{1+t}+\frac{c}{(1-t)^2}\]

   2. Écrire \(\mathbb{P}(A)\) explicitement en fonction de \(q\).

   3. En déduire que \(\mathbb{P}(A)>\dfrac{1}{2}\).