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On rappelle que la fonction \(\Gamma\) (Gamma) est la fonction, qui à tout réel \(x\) strictement positif, associe \[\displaystyle\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1}\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\] On admet que \(\Gamma \!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\).
Quelques résultats admis (pour que ce sujet soit conforme au nouveau programme dans que cela n’affecte la faisabilité ni le niveau de difficulté).
Pour tout couple \((b,\nu)\) de réels strictement positifs, on dit que la variable aléatoire \(Z\) suit la loi \(\Gamma\) de paramètres \(b\) et \(\nu\), notée \(\Gamma(b,\nu)\), si elle admet pour densité la fonction \(f_{b,\nu}\) définie par : \[\forall t\in\mathbb{R},\ f_{b,\nu}(t)=\begin{cases} \hfill 0 \hfill &\text{si } t\leqslant 0\\ \dfrac{1}{b\,\Gamma(\nu)}\left(\dfrac{t}{b}\right)^{\nu-1} \mathrm{e}^{-\frac{t}{b}}&\text{si }t>0\end{cases}.\]
Si \(Z\) suit la loi \(\Gamma(b,\nu)\), \(Z\) admet une espérance et une variance et : \[\mathbb{E}(Z) = b\nu \quad\text{et}\quad\mathbb{V}(Z)=b^2\nu.\] Le candidat valeureux s’assurera que les résultats précédents sont vrais (notamment le fait que \(f_{b,\nu}\) est une densité de probabilité) en utilisant les propriétés de la fonction \(\Gamma\).
Si \(Z\) et \(Z'\) sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois \(\Gamma(b,\nu)\) et \(\Gamma(b,\nu')\) (même premier paramètre), alors \(Z+Z'\) suit la loi \(\Gamma(b,\nu+\nu')\).
On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) indépendantes, et suivant toutes deux la loi normale centrée réduite.
On pose \(U=X^2\) et \(V=Y^2\).
Montrer que la loi commune à \(U\) et \(V\) est la loi \(\Gamma \!\left(2,\dfrac{1}{2}\right)\).
Donner l’espérance et la variance de \(U\) et \(V\).
On pose \(W=U+V\) et on rappelle que \(W\) est une variable aléatoire, définie, elle aussi, sur l’espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Donner sans calcul la loi de \(W\) ainsi que son espérance et sa variance.
On admet que, si \(f_U\) et \(f_V\) sont respectivement des densités de \(U\) et \(V\), alors une densité de \(W\) est la fonction \(f_W\), nulle sur \(]-\infty,0[\), et définie sur \([0,+\infty[\) par \(\displaystyle f_W(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_U(t)f_V(x-t)\,\mathrm{d}t\).
Justifier sans calculer l’intégrale précédente, que \[\forall x\in [0,+\infty[,\:f_W(x)=\int_0^xf_U(t)f_V(x-t)\,\mathrm{d}t\]
Pour tout réel \(x\) strictement positif, on pose \(\displaystyle I(x)=\int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{t \left( x-t \right)}}\,\mathrm{d}t\).
Déduire des questions précédente que l’intégrale \(I(x)\) converge et donner sa valeur.
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
Si \(M\) désigne une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on désigne par \(\mathrm{Tr}(M)\) la trace de la matrice \(M\), c’est-à-dire la somme de ses coefficients diagonaux.
On rappelle que l’application trace est une forme linéaire de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Soit \(A\) une matrice non nulle donnée de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On considère l’application \(f\) qui à toute matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) associe : \[f(M)=\mathrm{Tr}(A)M-\mathrm{Tr}(M)A\]
Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Montrer que \(f\) n’est pas l’endomorphisme nul (on pourra distinguer les cas \(\mathrm{Tr}(A)=0\) et \(\mathrm{Tr}(A)\neq 0\)).
Etablir que, pour toute matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on a \((f\circ f)(M)=\mathrm{Tr}(A)f(M)\).
Donner les valeurs propres possibles de \(f\).
Montrer que \(0\) est valeur propre de \(f\).
Montrer que si \(\mathrm{Tr}(A)=0\), alors \(f\) n’est pas diagonalisable.
On suppose dans cette question que la trace de \(A\) est non nulle.
Quelle est la dimension de \(\mathrm{Ker}(\mathrm{Tr})\)?
Conclure que \(f\) est diagonalisable.
Le but de cet exercice est de prouver l’existence et de donner la valeur (par deux méthodes différentes) de : \[\Delta=\underset{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}}{\inf} \ \int_0^{+\infty} (t^3-xt-y)^2 \,\mathrm{e}^{-t} \,\mathrm{d}t\]
Soit \(E\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à \(3\) et \(F\) le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par les deux polynômes \(1\) et \(X\).
Rappeler pourquoi, pour tout entier naturel \(k\), l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t^k\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\) converge.
Montrer que l’application de \(E\times E\) dans \(\mathbb{R}\) qui, à tout couple \((P,Q)\) d’éléments de \(E\) associe \(\displaystyle \left \langle P, Q \right \rangle =\int_0^{+\infty} P(t)Q(t)\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\) est un produit scalaire sur \(E\), dont la norme associée sera notée \(\left\| . \right\|\).
Soit \(Q\) un polynôme de \(F\) défini par \(Q=xX+y\) où \(x\) et \(y\) sont deux réels. Donner, sous forme d’intégrale, l’expression \(\left\| X^3-Q \right\|^2\).
Énoncer le théorème qui assure l’existence et l’unicité du polynôme \(Q_0\) de \(F\) qui rend \(\left\| X^3-Q \right\|^2\) minimale.
En déduire sans calcul les valeurs de \(\left \langle X^3-Q_0, 1 \right \rangle\) et \(\left \langle X^3-Q_0, X \right \rangle\).
En notant \(Q_0=x_0X+y_0\), écrire la système que doit vérifier le couple \((x_0,y_0)\) pour que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}(t^3-xt-y)^2\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\) est minimale.
Déterminer la valeur de \(\Delta\).
On note \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\), par \[\forall (x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R},\: f(x,y)=\int_0^{+\infty}(t^3-xt-y)^2\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\]
Écrire \(f(x,y)\) comme fonction polynomiale des deux variables \(x\) et \(y\).
Déterminer le seul point critique \((x_0,y_0)\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\).
Montrer que \(f\) admet en \((x_0,y_0)\) un minimum local \(m\) que l’on calculera.
Établir que ce minimum est global.
Soit \(x\) un réel quelconque.
Justifier que la fonction \(t\longmapsto\max(x,t)\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
On considère maintenant l’intégrale \(\displaystyle y=\int_0^1\max(x,t)\,\mathrm{d}t\).
Montrer que : \(y=\begin{cases} \hfill \displaystyle \frac{1}{2} \hfill & \textrm{si }x\leqslant 0\\ \hfill \displaystyle \frac{x^2+1}{2} \hfill & \textrm{si }0<x<1 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \hfill x \hfill & \textrm{si }x\geqslant 1 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\).
Dans la suite de ce problème, on considère une variable aléatoire \(X\) définie sur une certain espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\), que l’on ne cherchera pas à déterminer. On admet que l’on définit une variable aléatoire \(Y\), elle aussi définie sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), en posant, pour tout \(\omega\) de \(\Omega\) : \[Y(\omega)=\int_0^1\max(X(\omega),t)\,\mathrm{d}t\] On se propose dans les deux parties suivantes de déterminer la loi de \(Y\) connaissant celle de \(X\).
Vérifier que si \(X\) suit une loi géométrique alors on a \(Y=X\).
On suppose, dans cette question, que \(X(\Omega)=\{-1,0,1\}\) et que l’on a : \[\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=1)=\dfrac{1}{4}\]
Déterminer la valeur de \(\mathbb{P}(X=0)\)
Vérifier que \(Y(\Omega)=\left\{\frac{1}{2},1\right\}\) puis donner la loi de \(Y\), ainsi que son espérance et sa variance.
Compléter la déclaration de fonction suivante pour qu’elle simule
la variable aléatoire \(Y\).
On suppose, dans cette question, que \(X\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\) (où \(\lambda\) est un réel strictement positif).
Vérifier que \(Y(\Omega)=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\cup\mathbb{N}^*\) puis donner la loi de \(Y\).
En déduire l’espérance et la variance de \(Y\).
On note, sauf indication contraire, respectivement \(F_X\) et \(F_Y\) les fonctions de répartition de \(X\) et \(Y\).
On suppose, dans cette question, que \(X\) suit la loi uniforme sur \([0,1[\), avec \(X(\Omega)=[0,1[\).
Vérifier, en utilisant la première question, que l’on a \(Y=\dfrac{X^2+1}{2}\).
En déduire \(Y(\Omega)\).
Montrer alors que, pour tout \(x\) de \(\left[\frac{1}{2},1\right[\), on a \(F_Y(x)=\sqrt{2x-1}\).
Expliquer pourquoi \(Y\) est une variable aléatoire à densité.
Donner la valeur de \(\mathbb{E}(Y)\).
Compléter la déclaration de fonction suivante pour qu’elle simule la variable aléatoire \(Y\).
On suppose, dans cette question, que \(X-1\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) ( où \(\lambda\) est un réel strictement positif).
Toujours en utilisant la première question, exprimer \(Y\) en fonction de \(X\).
Donner sans calcul l’espérance et la variance de \(Y\).
Soit \(U\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \([0,1[\).
Vérifier que la variable aléatoire \(W=-\frac{1}{\lambda}\ln(1-U)\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), puis compléter la déclaration de fonction suivante pour qu’elle simule la variable aléatoire \(Y\).
On suppose, dans cette question, que \(X\) suit la loi normale centrée réduite. On rappelle que \(X(\Omega)=\mathbb{R}\) et on note \(\Phi\) la fonction de répartition de \(X\).
Vérifier que \(Y(\Omega)=\left[\frac{1}{2},+\infty\right[\).
Donner la valeur de \(\mathbb{P}\! \left(Y=\dfrac{1}{2}\right)\).
Utiliser la formule des probabilités totales associée au système complet d’événements \(([X\leqslant 0],[0<X\leqslant 1],[X>1])\) pour établir l’égalité suivante : \[F_Y(x)=\begin{cases} 0 & \textrm{si } x<\dfrac{1}{2}\\ \Phi(\sqrt{2x-1}) & \textrm{si } \dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant 1 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \Phi(x) & \textrm{ si } x>1 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]
La variable aléatoire \(Y\) est-elle à densité? Est-elle discrète?
Soit \(U_1,\cdots, U_{48}\) des variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur \([0,1]\).
Expliquer pourquoi on peut approcher la loi de la variable aléatoire \(\dfrac{1}{2}\left(\sum\limits_{k=1}^{48}U_k -24\right)\) par la loi normale centrée réduite, puis compléter la déclaration de fonction suivante pour qu’elle simule \(Y\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
