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Soit \((a_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général \(\dfrac{1}{a_n}\) converge.
Le but de cet exercice est de prouver que la série de terme général \(u_n= \dfrac{n}{a_1+a_2 + \cdots + a_n}\) converge également et que de plus : \[\sum_{n=1}^{+\infty}u_n \leqslant 2 \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{a_n}\]
Étude d’un exemple. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \(a_n = n \left( n+1 \right)\).
Vérifier que \(\dfrac{1}{a_n}= \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\) puis en déduire que la série de terme général \(\dfrac{1}{a_n}\) converge et donner sa somme.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, déterminer \(u_n\) en fonction de \(n\).
Établir la convergence de la série de terme général \(u_n\) et donner sa somme, puis en déduire l’inégalité demandée.
Étude d’un deuxième exemple. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \(a_n = n!\).
Écrire une fonction en langage Python
dont l’en-tête est def fact(n): et qui renvoie
\(n\) ! à l’appel de
fact(n).
Écrire un programme Python, utilisant
cette fonction, et permettant de calculer et d’afficher la valeur de
\(u_n\) lorsque la valeur de \(n\) est entrée au clavier par
l’utilisateur.
Établir la convergence de la série de terme général \(\dfrac{1}{a_n}\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \(u_n \leqslant \dfrac{1}{(n-1)!}\).
En déduire que la série de terme général \(u_n\) converge et que l’on a : \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n \leqslant 2 \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{a_n}\).
On revient au cas général.
Montrer, grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ (1+2+ \cdots + n)^2 \leqslant (a_1+ a_2 + \cdots + a_n) \left( \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{4}{a_2} + \cdots + \dfrac{n^2}{a_n} \right)\]
Utiliser le résultat précédent pour établir que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \frac{2n+1 }{a_1+ a_2 + \cdots + a_n} \leqslant 4 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{a_k}\]
En déduire, par sommation, que : \[\forall N\in\mathbb{N}^\ast,\ \sum_{n=1}^N \frac{2n+1}{a_1+a_2 + \cdots + a_n} \leqslant 4 \sum_{k=1}^N \frac{1}{a_k}\]
Montrer enfin que la série de terme général \(\displaystyle\frac{2n+1}{a_1+a_2 + \cdots + a_n}\) converge puis établir le résultat demandé.
Dans tout cet exercice, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(2\), \(E\) désigne un espace euclidien de dimension \(n\) et on note \(\mathcal{B} = (e_1,e_2,\dots,e_n)\) une base orthonormale de \(E\).
On suppose dans cette question que \(E=\mathbb{R}^3\) et on considère l’endomorphisme \(f\) de \(E\) dont la matrice dans la base canonique est la matrice \[M= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
Montrer que \(\mathrm{Im}(f)\) est un hyperplan de \(\mathbb{R}^3\) et qu’il est stable par \(f\).
On suppose encore dans cette question que \(E=\mathbb{R}^3\) et on considère l’endomorphisme \(f\) de \(E\) dont la matrice dans la base canonique est la matrice \[M= \begin{pmatrix} 2 & 1& 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]
Déterminer les valeurs propres de \(f\).
Montrer que \(\mathrm{Ker}(f-\mathrm{id})\) est un hyperplan de \(\mathbb{R}^3\) et qu’il est stable par \(f\).
On revient au cas général et on considère un endomorphisme \(f\) possédant au moins une valeur propre \(\lambda\). On se propose de démontrer qu’il existe un hyperplan de \(E\) stable par \(f\).
On note \(A\) la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}\) et \(f^\ast\) l’endomorphisme de \(E\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est la matrice \({}^t\!A\).
Vérifier que : \[\forall (x,y)\in E^2,\ \left \langle f(x), y \right \rangle = \left \langle x, f^\ast(y) \right \rangle\]
Établir que \(f^\ast\) est l’unique endomorphisme de \(E\) vérifiant : \[\forall (x,y)\in E^2,\ \left \langle f(x), y \right \rangle = \left \langle x, f^\ast(y) \right \rangle\]
Montrer que \(\lambda\) est valeur propre de \(f^\ast\).
Soit \(u\) un vecteur propre de \(f^\ast\) associé à la valeur propre \(\lambda\). Montrer que \(\left[ \mathrm{Vect}(u) \right]^\perp\) est un hyperplan de \(E\) et qu’il est stable par \(f\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2x^2} &\text{si } x\leqslant -1 \text{ ou } x\geqslant 1 \\ \hfill 0 \hfill &\text{sinon} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Montrer que \(f\) peut être considérée comme une fonction densité de probabilité.
Dans la suite, on considère une suite \((X_k)_{k\in\mathbb{N}^\ast}\) de variables aléatoires, toutes définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), mutuellement indépendantes et admettant toutes \(f\) pour densité.
De plus, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \[S_n=\sup(X_1,X_2,\dots,X_n) \quad\text{et}\quad Y_n=\dfrac{S_n}{n}\] On admet que \(S_n\) et \(Y_n\) sont des variables aléatoires à densité définies, elles aussi, sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Déterminer la fonction de répartition, notée \(F\), commune aux variables aléatoires \(X_k\).
On note \(G_n\) la fonction de répartition de la variable aléatoire \(Y_n\). Déterminer explicitement \(G_n(x)\) en fonction de \(n\) et de \(x\).
Montrer que, pour tout réel \(x\) négatif ou nul, on a : \(G_n(x) \leqslant \dfrac{1}{2^n}\).
Justifier que, pour tout réel \(x\) strictement positif, il existe un entier naturel \(n_0\) non nul tel que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(n_0\), on a : \(x>\dfrac{1}{n}\).
En déduire que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\, n_0 \in\mathbb{N}^\ast \ / \ \forall n\geqslant n_0,\ G_n(x) = \left( 1- \frac{1}{2nx} \right)^n\]
Déterminer, pour tout réel \(x\), la limite de \(G_n(x)\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\). On note \(G(x)\) cette limite.
Montrer que la fonction \(G\) ainsi définie est la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité.
En déduire que la suite \((Y_n)_{n\geqslant 1}\) converge en loi vers une variable aléatoire \(Y\) dont la fonction de répartition est \(G\).
Vérifier que la variable aléatoire \(\dfrac{1}{Y}\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), indépendantes, et suivant toutes les deux la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\), où \(\lambda\) désigne un réel strictement positif. On se propose de déterminer un équivalent de la probabilité \(\mathbb{P}(X=Y)\) lorsque \(\lambda\) est au voisinage de \(+\infty\).
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(\displaystyle u_n=\int_0^{\pi / 2}(\sin( t))^n \,\mathrm{d}t\).
Calculer \(u_0\) et \(u_1\).
Montrer que la suite \(\left(u_n\right)\) est décroissante.
Établir que : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n>0\). En déduire que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.
Montrer, grâce à une intégration par parties, que : \(\forall n \in \mathbb{N},(n+2) u_{n+2}=(n+1) u_n\).
En déduire que : \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, u_{2 n}=\frac{(2 n) !}{\left(2^n \times n !\right)^2} \times \frac{\pi}{2}\).
Montrer que : \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N},(n+1) u_{n+1} u_n=\frac{\pi}{2}\).
En déduire la valeur de \(u_{2 n+1}\).
Calculer \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{u_{n+2}}{u_n}\).
En déduire, en utilisant les variations de \(\left(u_n\right)\), que : \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=1\).
Montrer enfin que l’on a : \(\displaystyle u_n \underset{n\to+\infty}{\sim}\sqrt{\frac{\pi}{2 n}}\).
Établir, pour tout réel \(x\), la convergence de l’intégrale \(\displaystyle I(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-1}^1 \frac{\mathrm{e}^{-t x}}{\sqrt{1-t^2}} \,\mathrm{d}t\).
Dans la suite de cette partie, \(x\) désigne un réel strictement positif.
Montrer qu’il existe une constante \(M\) telle que : \(\displaystyle 0 \leqslant \frac{1}{\pi} \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-t x}}{\sqrt{1-t^2}} \,\mathrm{d}t\leqslant M\).
Montrer que : \(\displaystyle \forall u \in\left[0, \frac{1}{2}\right], \ 1 \leqslant \frac{1}{\sqrt{1-u}} \leqslant 1+u\).
En se référant à une loi normale, donner les valeurs de \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2} \,\mathrm{d}t\) et \(\displaystyle \int_0^{+\infty} t^2 \mathrm{e}^{-t^2} \,\mathrm{d}t\).
Utiliser le changement de variable \(u=\sqrt{t x}\) pour montrer que : \(\displaystyle \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-t x}}{\sqrt{t}} \,\mathrm{d}t\sim \sqrt{\frac{\pi}{x}}\).
Montrer de la même façon que : \(\displaystyle \int_0^1 \mathrm{e}^{-t x} \sqrt{t} \,\mathrm{d}t\;\underset{x\to {+\infty}}{\sim}\;\frac{\sqrt{\pi}}{2 x \sqrt{x}}\).
Montrer, grâce au changement de variable \(u=1+t\), que : \[\int_{-1}^0 \frac{\mathrm{e}^{-t x}}{\sqrt{1-t^2}} \,\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{e}^x}{\sqrt{2}} \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-u x}}{\sqrt{u\left(1-\frac{u}{2}\right)}} \,\mathrm{d}u\]
Utiliser le résultat de la question 2b) pour en déduire que : \(\displaystyle I(x) \;\underset{x\to {+\infty}}{\sim}\;\dfrac{\mathrm{e}^x}{ \sqrt{2 \pi x}}\).
Exprimer comme somme d’une série la probabilité \(\mathbb{P}(X=Y)\).
On désigne par \(t\) un réel de \([-1,1]\) et par \(x\) un réel strictement positif. Montrer que, pour tout \(u\) compris entre 0 et \(-t x\), on a : \(\mathrm{e}^u \leqslant \mathrm{e}^x\).
Écrire ensuite l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre \(2 n\) pour la fonction \(u \mapsto \mathrm{e}^u\) entre 0 et \(-t x\).
Montrer que : \(\displaystyle \forall k \in \mathbb{N}, \ \int_0^1 \frac{t^k}{\sqrt{1-t^2}} \,\mathrm{d}t=u_k\).
Déduire des deux questions précédentes que : \(\displaystyle \left| I(x)-\sum_{k=0}^n \frac{x^{2 k}}{(k !)^2 2^{2 k}}\right| \leqslant \frac{2 x^{2 n+1} e^x}{\pi(2 n+1) !} u_{2 n+1}\).
Montrer enfin que : \(\displaystyle \forall x>0, \ I(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^{2 k}}{(k !)^2 2^{2 k}}\).
Établir que : \(\displaystyle \mathbb{P}(X=Y) \underset{\lambda \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{1}{2 \sqrt{\pi \lambda}}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
