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On se propose d’étudier la suite \(\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\) , définie par la donnée de \(u_{0}=0\) et par la relation, valable pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^{2}+1}{2}\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(0\leqslant u_{n}\leqslant1\).
Étudier les variations de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\).
Déduire des questions précédentes que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\) converge et donner sa limite.
Écrire une fonction en langage Python
qui renvoie la valeur de \(u_{n}\).
Écrire un programme Python qui permet
de déterminer et d’afficher la plus petite valeur de \(n\) pour laquelle on a \(0<1-u_{n}<10^{-3}\).
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_{n}=1-u_{n}\).
Pour tout entier naturel \(k\), exprimer \(v_{k}-v_{k+1}\) en fonction de \(v_{k}\).
Simplifier, pour tout entier naturel n non nul, la somme \({\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\left(v_{k}-v_{k+1}\right)}\).
Donner pour finir la nature de la série de terme général \(v_{n}^{2}\) ainsi que la valeur de \({\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}v_{n}^{2}}\).
On note \(\mathscr{B}=\left(e_{1},e_{2},e_{3}\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) et on considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base \(\mathscr{B}\) est \(A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\ -1 & -1 & -1\\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\).
Vérifier que l’on a \(A^{2}\neq0\) et calculer \(A^{3}\).
Déterminer une base \((a)\) de \(\mathrm{Ker}\left(f\right)\) ainsi qu’une base \((b,c)\) de \(\mathrm{Im}\left(f\right)\).
Montrer que \(\mathrm{Im}\left(f^{2}\right)=\mathrm{Ker}\left(f\right)\).
Dans la suite, on considère un endomorphisme \(g\) de \(\mathbb{R}^{3}\) tel que : \(g^{2}\neq0\) et \(g^{3}=0\), ce qui signifie que \(g\circ g\) n’est pas l’endomorphisme nul, mais que \(g\circ g\circ g\) est l’endomorphisme nul. En désignant par \(M\) la matrice de \(g\) dans la base canonique \(\mathbb{R}^{3}\) de \(\mathbb{R}^{3}\) on a donc : \(M^{2}\neq0\) et \(M^{3}=0\).
On se propose de montrer, dans ce cas plus général, que \(\mathrm{Im}\left(g^{2}\right)=\mathrm{Ker}(g)\).
Montrer que \(0\) est la seule valeur propre possible de \(M\).
Montrer, en raisonnant par l’absurde, que \(0\) est effectivement la seule valeur propre de \(M\).
En déduire, toujours en raisonnant par l’absurde, que \(M\) n’est pas diagonalisable.
Justifier qu’il existe un vecteur \(u\) de \(\mathbb{R}^{3}\) tel que \(g^{2}(u)\neq0\).
Montrer que \(\left(u,g(u),g^{2}(u) \right)\) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\), que l’on notera \(\mathscr{B}'\).
Donner la matrice \(N\) de \(g\) dans la base \(\mathscr{B}'\).
Déterminer \(\mathrm{Im}(g)\) et donner sa dimension. En déduire une base de \(\mathrm{Ker}(g)\).
Pour finir, déterminer \(\mathrm{Im}(g^{2})\) puis conclure.
Dans cet exercice, la lettre \(n\) désigne un entier naturel.
On dispose d’une urne contenant au départ \(n\) boules blanches et \((n+2)\) boules noires.
On dispose également d’une réserve infinie de boules blanches et de boules noires.
Pour tout entier naturel \(j\), on dit que l’urne est dans l’état \(j\) lorsqu’elle contient \(j\) boules blanches et \((j+2)\) boules noires.
Au départ, l’urne est donc dans l’état \(n\).
On réalise une succession d’épreuves, chaque épreuve se déroulant selon le protocole suivant :
Pour tout entier naturel \(j\) non nul, si l’urne est dans l’état \(j\), on extrait une boule au hasard de l’urne.
Si l’on obtient une boule blanche, alors cette boule n’est pas remise dans l’urne et on enlève de plus une boule noire de l’urne, l’urne est.alors dans l’état \(\left(j-1\right)\).
Si l’on obtient une boule noire, alors cette boule est remise dans l’urne et on remet en plus une boule blanche et une boule noire dans l’urne l’urne est alors dans l’état \(\left(j+1\right)\).
Dans cette question, on suppose que \(n=1\) (l’urne contient donc une boule blanche et 3 boules noires) et on note \(X_{1}\) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches encore présentes dans l’urne après la première épreuve et \(X_{2}\) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches encore présentes dans l’urne après la deuxième épreuve.
On admet que \(X_{1}\) et \(X_{2}\) sont définies sur un certain espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) que l’on ne cherchera pas à déterminer.
Donner la loi de \(X_{1}\).
Utiliser la formule des probabilités totales pour déterminer la loi de \(X_{2}\).
Simulation informatique de l’expérience aléatoire décrite ci-dessus.
On rappelle que rd.randint(n) renvoie au hasard un
entier compris entre 0 et n-1.
Compléter le programme suivant pour qu’il simule l’expérience aléatoire décrite dans cet exercice et pour qu’il affiche les valeurs des variables aléatoires \(X_{1}\) et \(X_{2}\).
On revient au cas général (\(n\) est donc un entier naturel quelconque supérieur ou égal à \(1\)) et on décide que les tirages s’arrêtent dès que l’urne ne contient plus de boules blanches.
Pour tout \(j\) de \(\mathbb{N}\), on note alors \(E_{j}\) l’évènement : « l’urne est dans l’état \(j\) initialement et les tirages s’arrêtent au bout d’un temps fini ».
On pose \(e_{j}=\mathbb{P}\! \left(E_{j}\right)\) et l’on a bien sûr \(e_{0}=1\).
Montrer, en considérant les deux résultats possibles du premier tirage (c’est-à-dire au début du jeu lorsque l’urne est dans l’état \(n\)) que : \(\forall n\in\mathbb{N}^{*}\), \(e_{n}=\dfrac{n}{2n+2} \, e_{n-1}+\dfrac{n+1}{2n+2} \, e_{n+1}\).
Montrer par récurrence que : \(\forall n\in\mathbb{N}\), \(e_{n}\geqslant e_{n+1}\).
En déduire que la suite \(\left(e{}_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\) est convergente.
On admet pour la suite que \({\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}e_{n}=0}\).
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_{n}=\left(n+1\right)e_{n}\).
Pour tout entier naturel \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), écrire \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_{n}\) et \(u{}_{n-1}\).
En déduire l’expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n\) et \(e_{1}\).
Montrer enfin que l’on a : \(\forall n\in\mathbb{N}\), \(e_{n}=\left(2e_{1}-1\right)\dfrac{n}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}\).
Déterminer la valeur \(e_{1}\), puis en déduire, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(e_{n}\) en fonction de \(n\).
On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x\) réel par : \(f(x)=\begin{cases} 1-\left|x\right| & \textrm{si } x\in\left[-1,1\right]\\ \hfill 0 \hfill & \textrm{si } x\in\mathbb{R}\setminus\left[-1,1\right] \end{cases}\)
Calculer \({\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x}\).En déduire sans calcul \({\displaystyle \int_{-1}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x}\) .
Vérifier que \(f\) peut être considérée comme une densité.
On considère dorénavant une variable aléatoire \(X\), définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), et admettant \(f\) comme densité.
Établir l’existence de l’espérance de \(X\), puis donner sa valeur.
Établir l’existence de la variance de \(X\), puis donner sa valeur.
Montrer que la fonction de répartition de \(X\), notée \(F_{X}\), est définie par : \[F_{X}(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \textrm{si } x<-1\\ \hfill \dfrac{1}{2}+x+\dfrac{x^{2}}{2} \hfill & \textrm{si } -1\leqslant x\leqslant0 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \hfill \dfrac{1}{2}+x-\dfrac{x^{2}}{2} \hfill & \textrm{si } 0<x\leqslant1 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \hfill 1 \hfill & \textrm{si } x>1 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]
On pose \(Y=|X|\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur l’espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
On note \(F_{Y}\) sa fonction de répartition.
Donner la valeur de \(F_{Y}(x)\) lorsque \(x\) est strictement négatif.
Pour tout réel \(x\) positif ou nul, exprimer \(F_{Y}(x)\) à l’aide de la fonction \(F_{X}\).
En déduire qu’une densité de \(Y\) est la fonction \(g\) définie par : \[g(x) = \begin{cases} 2\left(1-x\right) & \textrm{si } x\in\left[0,1\right]\\ \hfill 0 \hfill & \textrm{si } x\in\mathbb{R}\setminus\left[0,1\right] \end{cases}\]
Montrer que \(Y\) possède une espérance et une variance et les déterminer.
On considère deux variables aléatoires \(U\) et \(V\), elles aussi définies sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), indépendantes et suivant toutes les deux la loi uniforme sur \([0,1]\).
On pose \(I=\inf\left(U,V\right)\), c’est-à-dire que, pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), on a \(I\left(\omega\right)=\min\left(U\left(\omega\right),V\left(\omega\right)\right)\).
On admet que \(I\) est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), et on rappelle que, pour tout réel \(x\), on a \(\mathbb{P}\! \left(I>x\right)=\mathbb{P}\! \left(\left(U>x\right)\cap\left(V>x\right)\right)\).
Pour finir, on note \(F_{I}\) la fonction de répartition de \(I\).
Expliciter \(F_{I}(x)\) pour tout réel \(x\).
En déduire que \(I\) suit la même loi que \(Y\).
On considère plus généralement \(n\) variables aléatoires \(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\), \(n\geqslant2\), toutes définies sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) indépendantes et suivant la loi uniforme sur \(\left[0,1\right]\).
On pose \(I_{n}=\inf\left(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\right)\).
Déterminer la fonction de répartition de \(I_{n}\) et montrer que la suite \(\left(I_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.
Simulation informatique de la loi de \(Y\).
Compléter fonction Python suivante pour
qu’elle simule la loi de \(Y\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
