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Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique \((e_1,e_2,e_3)\) de \(\mathbb{R}^3\) est : \[A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}\]
On note \(\text{Id}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbb{R}^3\).
Calculer \(A^2\) et \(A^3\), puis déterminer un polynôme annulateur de \(f\).
En déduire les valeurs propres de \(f\).
L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?
Trouver une base \(\mathscr B\) de \(\mathbb{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \(T=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&2\end{pmatrix}\).
Montrer que \(\mathbb{R}^3=\mathrm{Ker}(f^2)\oplus\mathrm{Ker}(f-2\text{Id})\).
On veut montrer qu’il n’existe pas d’endomorphisme \(g\) de \(\mathbb{R}^3\) vérifiant : \(g^2=f\).
On suppose pour cela qu’un tel endomorphisme existe.
Établir que \(\mathrm{Ker}(f^2)\) est stable par \(g\), puis montrer que la matrice de \(g\) dans la base \(\mathscr B\) est de la forme : \[G=\begin{pmatrix}a&a'&a''\\b&b'&b''\\0&0&c''\end{pmatrix}\]
En utilisant la matrice de \(f\) dans cette même base, trouver une contradiction et conclure.
Étude d’un cas plus général.
On note \(\text{Id}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbb{R}^n\) (où \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(1\)) et on désigne par \(\alpha\) un réel non nul.
On considère un endomorphisme \(h\) de \(\mathbb{R}^n\) et on suppose que \(h^n=\alpha h^{n-1}\).
Montrer que : \(\mathbb{R}^n=\mathrm{Ker}(h^{n-1})\oplus\mathrm{Ker}(h-\alpha\text{Id})\).
Montrer que, si un endomorphisme \(h\) de \(\mathbb{R}^n\) est tel que \(\mathbb{R}^n=\mathrm{Ker}(h^{n-1})\oplus\mathrm{Ker}(h-\alpha\text{Id})\), alors on a : \(h^n=\alpha h^{n-1}\).
On considère une suite \((X_n)_{n\in\mathbb{N}}\) de variables aléatoires, définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal A,\mathbb{P})\), indépendantes, et suivant toutes la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) (avec \(\lambda>0\)).
Donner, pour tout réel \(x\) strictement positif, une densité de \(-xX_0\).
Montrer que l’on peut choisir comme densité de \(X_1-xX_0\), la fonction \(f\) définie par : \[f(z)=\begin{cases}\dfrac{\lambda}{x+1} \, \mathrm{e}^{\frac{\lambda z}{x}}&\text{ si }z<0\\ \dfrac{\lambda}{x+1}\,\mathrm{e}^{-\lambda z}&\text{ si }z\geqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
On pose \(T=\dfrac{X_1}{X_0}\) et on admet que \(T\) est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur \((\Omega,\mathcal A,\mathbb{P})\).
Déterminer la fonction de répartition \(F_T\) de la variable aléatoire \(T\).
On pose \(X=\left\lfloor T \right\rfloor+1\), où \(\left\lfloor T \right\rfloor\) désigne la partie entière de \(T\). On admet également que \(X\) est une variable aléatoire définie sur \((\Omega,\mathcal A,\mathbb{P})\).
Montrer que : \(\forall n\in\mathbb{N}^*\), \(\mathbb{P}(X=n)=\dfrac{1}{n \left( n+1 \right)}\).
Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(1\), on pose \(Y_n=\text{Sup}(X_1,\ldots,X_n)\) et on admet que \(Y_n\) est une variable aléatoire à densité définie sur \((\Omega,\mathcal A,\mathbb{P})\).
Donner sans calcul une densité de \(-X_0\).
Déterminer la fonction de répartition \(G_n\) de \(Y_n\) et en déduire une densité \(g_n\) de \(Y_n\).
En déduire qu’il existe une densité \(h_n\) de \(Y_n-X_0\) telle que : \[\forall x<0,\ h_n(x)=\dfrac{1}{n+1} \, \lambda\, \mathrm{e}^{\lambda x}\]
On note \(Z\) la variable aléatoire définie par \(Z(\omega) =\text{inf}\left\{k\in\mathbb{N}^* , X_k(\omega)>X_0(\omega)\right\}\) si cet ensemble n’est pas vide et \(Z(\omega)=0\) si cet ensemble est vide.
Établir que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \([Z>n] \cup [ Z=0 ]= [ Y_n\leqslant X_0 ]\).
Montrer que \([ Z=0] =\displaystyle \bigcap_{k=1}^{+\infty} [ Y_k\leqslant X_0]\), puis établir que \(\mathbb{P}(Z=0)=0\).
En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, les événements \([Z=n]\) et \([X=n]\), ont même probabilité.
Informatique.
Écrire un programme Python qui simule
la loi de \(Z\).
On note \(E\) l’espace vectoriel des polynômes à cœfficients réels, de degré inférieur ou égal à \(2\).
On note \(e_0,e_1\) et \(e_2\) les polynômes de \(E\) définis par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ e_0(x) = 1,\quad e_1(x) = x \quad \text{et} \quad e_2(x) = x^2\]
On rappelle que \(\mathscr B=(e_0,e_1,e_2)\) est une base de \(E\).
On considère l’application \(f\) qui, à tout polynôme \(P\) de \(E\), associe le reste de la division par le polynôme \(x\mapsto 1+x^3\) du polynôme \(x\mapsto \left( 1-x+x^2 \right)P(x)\).
Ainsi, il existe un unique polynôme \(Q\) tel que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \left( 1- x+ x^2 \right) P(x) = \left( 1+x^3 \right) Q(x) +f(P)(x),\ \text{ avec }\deg(f(P))\leqslant 2\]
Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(E\).
Déterminer \(f(e_0), f(e_1)\) et \(f(e_2)\) puis vérifier que \(f(e_0)=-f(e_1)=f(e_2)\).
En déduire une base de \(\mathrm{Im}(f)\).
Donner la dimension de \(\mathrm{Ker}(f)\) ainsi qu’une base de \(\mathrm{Ker}(f)\).
Calculer \(f(P)\) pour tout polynôme \(P\) de \(\mathrm{Im}(f)\), puis établir que \(3\) est valeur propre de \(f\) et que : \(\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Ker}(f-3\text{Id})\).
Montrer que \(f\) est diagonalisable.
On considère l’application \(\varphi\) de \(E\times E\) dans \(\mathbb{R}\) qui, à tout couple \((P,Q)\) de polynômes de \(E\) associe le réel \(\varphi(P,Q)=\displaystyle \sum_{k=0}^2a_kb_k\), où l’on a noté \(P(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2\) et \(Q(x) = b_0+b_1x + b_2 x^2\).
Vérifier que \(\varphi\) est un produit scalaire défini sur \(E\).
Vérifier que \(\mathrm{Ker}(f)\) est le supplémentaire orthogonal de \(\mathrm{Im}(f)\) dans \(E\) pour le produit scalaire \(\varphi\).
Vérifier que \(\mathcal B\) est une base orthonormale pour le produit scalaire \(\varphi\).
Écrire la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal B\), puis retrouver le résultat de la question 4b).
On admet que, si une suite \((u_n)_{n\geqslant 1}\) converge vers \(\ell\), alors on a : \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=1}^nu_k=\ell\).
Dans toute la suite, on considère une suite \((x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) de réels positifs telle que la série de terme général \(x_n\) converge. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note : \[S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^nx_k , \quad T_n=\dfrac{1}{n+1}\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k \quad \text{et} \quad y_n=\dfrac{1}{n \left( n+1 \right)}\displaystyle \sum_{i=1}^n ix_i\]
Montrer que : \(\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^*, \ \sum_{k=1}^n y_k=\dfrac{1}{n+1}\displaystyle \sum_{i=1}^n \left( n+1-i \right)x_i\).
En déduire ensuite que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), on a : \(\displaystyle \sum_{k=1}^n y_k=T_n\).
En utilisant le résultat admis au début de ce problème, établir que la série de terme général \(y_n\) converge et que : \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}y_n=\sum_{n=1}^{+\infty}x_n\).
Dans cette question, on pose, pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(\displaystyle z_n=\displaystyle \left(\prod_{k=1}^nx_k\right)^{\frac{1}{n}}.\)
On se propose de montrer que la série de terme général \(z_n\) converge et que sa somme vérifie : \[\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}z_n\leqslant \mathrm{e}\sum_{n=1}^{+\infty}x_n\]
Montrer que : \(\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^*,\ \forall (a_1,a_2,\ldots,a_n)\in\left(\mathbb{R}_+\right)^n,\ \left(\displaystyle \prod_{k=1}^n a_k\right)^{\frac{1}{n}}\leqslant \dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=1}^na_k\).
Justifier que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \(\displaystyle z_n=\dfrac{1}{(n!)^{1/n}}\left(\displaystyle \prod_{k=1}^n kx_k\right)^{1/n}\).
En déduire que : \(\displaystyle z_n \leqslant \dfrac{n+1}{(n!)^{1/n}} \, y_n\).
Montrer que, pour tout réel \(x\) positif, on a : \(\ln(1+x)\leqslant x\).
En déduire que : \(\forall n\in\mathbb{N}^*,\ \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \leqslant \mathrm{e}\).
Établir que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \(\displaystyle \dfrac{(n+1)^n}{n!}=\displaystyle \prod_{k=1}^n \left(1+\dfrac{1}{k}\right)^k\).
Montrer enfin que la série de terme général \(z_n\) converge et que : \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}z_n\leqslant \mathrm{e}\sum_{n=1}^{+\infty}x_n\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(2\) et pour tout \(k\) élément de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), on a : \(\displaystyle \dfrac{1}{n} \, \ln \! \left(\dfrac{k}{n}\right)\leqslant \int_{k/n}^{(k+1)/n}\ln (x) \,\mathrm{d}x\leqslant \dfrac{1}{n} \, \ln \!\left(\dfrac{k+1}{n}\right)\).
Calculer l’intégrale \(\displaystyle \int_{1/n}^1\ln (x) \,\mathrm{d}x\) et en déduire que : \[\forall n\in\mathbb{N},\ n\geqslant 2,\ -1+\dfrac{1}{n}\leqslant \dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=1}^n\ln \! \left(\dfrac{k}{n}\right)\leqslant -1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{\ln (n)}{n}\]
Déterminer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln \! \left(\dfrac{k}{n}\right)\), puis établir que : \(\displaystyle \left(\dfrac{1}{n!}\right)^{1/n}\underset{n\to+\infty}{\thicksim}\dfrac{\mathrm{e}}{n}\).
On admet que si deux séries à termes positifs, de termes généraux équivalents, divergent, alors leurs sommes partielles d’ordre \(m\) sont équivalentes lorsque \(m\) est au voisinage de \(+\infty\).
Soit \(N\) un entier naturel non nul quelconque. On considère une suite \((x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) particulière que l’on note \((x_n(N))_{n\in\mathbb{N}^*}\) définie par : \[x_n(N)=\begin{cases} \dfrac{1}{n}&\text{ si } n\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\\ \hfill 0 \hfill &\text{ sinon} \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]
On pose, comme à la deuxième question : \(\forall n\in\mathbb{N}^*\), \(z_n(N)=\left(\displaystyle \prod_{k=1}^k x_n(N)\right)^{1/n}\).
Écrire \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}x_n(N)\) et \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}z_n(N)\) sous forme de sommes finies.
En déduire que \(\displaystyle \lim_{N\to+\infty}\dfrac{\sum\limits_{n=1}^{+\infty}z_n(N)}{\sum\limits_{n=1}^{+\infty}x_n(N)}= \mathrm{e}\).
Conclure que \(\mathrm{e}\) est la plus petite des constantes \(\lambda\) telles que \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}z_n\leqslant \lambda\sum_{n=1}^{+\infty}x_n\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
