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On admet que, si une suite \(\left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers le réel \(\ell\), alors on a : \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} a_j=\ell\).
On se propose d’étudier la suite \(\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\), définie par la donnée de \(u_0=0\) et par la relation, valable pour tout entier naturel \(n\) : \(\displaystyle u_{n+1}=\frac{u_n{ }^2+1}{2}\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(0 \leqslant u_n<1\).
Étudier les variations de la suite \(\left(u_n\right)\).
Déduire des questions précédentes que la suite \(\left(u_n\right)\) converge et donner sa limite.
Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(v_n=1-u_n\).
Montrer que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{v_{n+1}}-\frac{1}{v_n}\right)=\frac{1}{2}\).
Utiliser le résultat admis en début d’exercice pour trouver un équivalent de \(v_n\) lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\).
En déduire que \(\displaystyle u_n=1-\frac{2}{n}+\circ \! \left(\frac{1}{n}\right)\).
Écrire une fonction Python d’en-tête
def u(n) qui renvoie la valeur de \(u_n\).
En déduire un programme, rédigé en
Python, qui permet de déterminer et d’afficher
la plus petite valeur de \(n\) pour
laquelle on a: \(1-u_n<10^{-3}\).
Montrer que, si \(A\) est une matrice carrée diagonalisable, alors la matrice \(A^2\) est aussi diagonalisable.
On se propose dans la suite de montrer que la réciproque de cette assertion est fausse. Pour ce faire, on considère la matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \[A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\ 2 & -5 & 4\\ 3 & -8 & 6 \end{pmatrix}\] On note \(\mathrm{I}_3\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right)\).
Déterminer la matrice \(A^{2}\) puis établir que \(A^{4}=\mathrm{I}_3\). En déduire les valeurs propres possibles de la matrice \(A\).
Donner une base \((U)\) de \(\mathrm{Ker}(A-\mathrm{I}_3)\).
Déterminer \(\mathrm{Ker}(A+\mathrm{I}_3)\).
En déduire que \(A\) n’est pas diagonalisable.
Résoudre l’équation \(A^{2}X=-X\), d’inconnue le vecteur \(X\) élément de \(\mathcal{M}_{3,1} (\mathbb{R})\) et en déduire une base \((V,W)\) de \(\mathrm{Ker}(A^{2}+\mathrm{I}_3)\) .
Montrer que la famille \((U,V,W)\) est une base de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\).
Conclure.
On désigne par \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). On note \(p\) un réel appartenant à \(]0,1[\) et on pose : \(q=1-p\).
On effectue une suite de lancers d’une pièce donnant, à chaque lancer, « Pile » avec probabilité \(p\) et « Face » avec probabilité \(q\) et on arrête les lancers dans l’une des deux situations suivantes :
soit on a obtenu « Pile »,
soit on a obtenu \(n\) fois « Face ».
Pour tout entier naturel \(k\) non nul, on note \(P_k\) (respectivement \(F_k\)) l’événement « on obtient Pile (respectivement Face) au \(k^{\grave{e}me}\) lancer ».
On note \(T_n\) le nombre de lancers effectués, \(X_n\) le nombre de « Pile » obtenus et \(Y_n\) le nombre de « Face » obtenus. On admet que \(X_n\), \(Y_n\) et \(T_n\) sont des variables aléatoires, toutes trois définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) que l’on ne cherchera pas à préciser.
Pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), déterminer, en distinguant le cas \(k=1\), la probabilité \(\mathbb{P}(T_n=k)\).
Déterminer \(\mathbb{P}(T_n=n)\).
Vérifier que : \[\sum_{k=1}^n \mathbb{P}(T_n=k)=1.\]
Établir que \(T_n\) admet une espérance et vérifier que : \[\mathbb{E}(T_n)=\frac{1-q^n}{1-q}.\]
Donner la loi de \(X_n\).
Vérifier que \(\mathbb{E}(X_n) = 1-q^n\).
Déterminer, pour tout \(k\in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), la probabilité \(\mathbb{P}(Y_n=k)\).
Déterminer \(\mathbb{P}(Y_n=n)\).
Écrire une égalité liant les variables aléatoires \(T_n,X_n\) et \(Y_n\) puis en déduire \(\mathbb{E}(Y_n)\).
Montrer que la suite \((T_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en loi vers une variable aléatoire \(T\) dont on donnera la loi.
Compléter le script Python suivant pour
qu’il modélise l’expérience et renvoie la valeur prise par \(T_n\), \(X_n\) et \(Y_n\) :
On désigne par \(\lambda\), un réel strictement positif et on considère la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\), par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f(x) =\lambda\left|x\right| \mathrm{e}^{-\lambda x^{2}}\]
Montrer que \(f\) est paire.
Établir que l’intégrale \({\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f(x) \,\mathrm{d}x}\) converge et donner sa valeur.
Montrer que la fonction \(f\) peut être considérée comme densité d’une variable aléatoire \(X\) que l’on suppose, dans la suite, définie sur un certain espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Justifier la convergence de l’intégrale \({\displaystyle \int_{0}^{+\infty}xf(x)\,\mathrm{d}x}\).
En déduire que la variable aléatoire \(X\) possède une espérance, notée \(\mathbb{E}(X)\), et donner sa valeur.
Montrer, grâce à une intégration par parties, que l’intégrale \({\displaystyle \int_{0}^{+\infty}x^{2}f(x) \,\mathrm{d}x}\) converge et donner sa valeur.
En déduire que la variable aléatoire \(X\) possède une variance, notée \(\mathbb{V}(X)\), et donner sa valeur.
On pose \(Y=X^{2}\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur l’espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Donner l’expression de la fonction de répartition \(F_{Y}\) de la variable aléatoire \(Y\) à l’aide de la fonction de répartition \(F_{X}\) de la variable aléatoire \(X\).
Déterminer une densité \(f_{Y}\) de \(Y\), puis vérifier que \(Y\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
Retrouver alors sans calcul la valeur de \(\mathbb{V}(X)\).
Soit \(U\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \([0,1[\).
On pose \(W=-\dfrac{1}{\lambda} \, \ln(1-U)\) et on admet que \(W\) est une variable aléatoire.
Déterminer la fonction de répartition de \(W\) et en déduire la loi suivie par la variable aléatoire \(W\).
En déduire une fonction en langage
Python dont l’en-tête est
def vax(Lambda) qui simule la loi de \(\left|X\right|\).
Vérifier que la probabilité que \(X\) prenne des valeurs positives est égale à la probabilité que \(X\) prenne des valeurs négatives.
En déduire une fonction en langage Python,
utilisant rd.randint(2), dont l’en-tête est
def x(Lambda) qui simule la loi de \(X\).
On suppose, dans la suite, que le paramètre \(\lambda\) est inconnu et on souhaite l’estimer en utilisant la loi de \(Y\).
On désigne par \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et on considère un échantillon \(\left(Y_{1} , \ldots , Y_{n}\right)\) de la loi de \(Y\).
Les variables \(Y_{1}, \ldots, Y_{n}\) sont supposées définies sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et on rappelle qu’elles sont indépendantes et de même loi que \(Y\).
On considère des réels \(x_{1} , \ldots , x_{n}\) strictement positifs, ainsi que la fonction \(L\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\), définie sur \(\left]0, +\infty\right[\) par : \[L(\lambda)={ \prod_{k=1}^{n}f_{Y}(x_{k})}\]
Exprimer \(L(\lambda)\), puis \(\ln(L(\lambda))\) en fonction de \(\lambda\), \(x_{1}, \ldots , x_{n}\).
On considère la fonction \(\varphi\), définie pour tout réel \(\lambda\) de \(\left]0,+\infty\right[\) par : \[\varphi(\lambda)=n\ln(\lambda)-\lambda{ \sum_{k=1}^{n}x_{k}}\]
Montrer que la fonction \(\varphi\) admet un maximum, atteint en un seul réel que l’on notera \(z\) et que l’on exprimera en fonction de \(x_{1}, \ldots, x_{n}\).
Que peut-on dire de \(z\) pour la fonction \(L\) ?
On pose dorénavant, toujours avec \(n\) supérieur ou égal à 2, \(Z_{n}=\dfrac{n}{{ \sum\limits_{k=1}^{n}Y_{k}}}\).
On admet que \(Z_{n}\) est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur l’espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
La suite \((Z_{n}){}_{n\geqslant2}\) est appelée estimateur du maximum de vraisemblance pour \(\lambda\).
On admet que la variable aléatoire \({ \sum\limits_{k=1}^{n}}Y_{k}\) admet pour densité la fonction \(f_{n}\) définie par : \[\forall t\in\mathbb{R},\ f_{n}(t)=\begin{cases} 0 & \textrm{si } t<0\\ \dfrac{\lambda^{n}}{\left(n-1\right)!} \, t^{n-1} \,\mathrm{e}^{-\lambda t} & \textrm{si } t\geqslant0 \end{cases}\]
En remarquant que \({\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f_{n-1}(t)\,\mathrm{d}t}=1\), montrer que \(Z_{n}\) possède une espérance et que : \[\mathbb{E}(Z_{n})=\dfrac{n}{n-1} \, \lambda\]
Déterminer un estimateur \(Z_{n}'\), fonction simple de \(Z_{n}\) qui soit un estimateur de \(\lambda\) dont l’espérance est égale à \(\lambda\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
