EDHEC 2011Maths approfondies

Exercice 1

Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie, notée \(n\) (\(n\in\mathbb{N}^{*}\)) et \(u\) un vecteur de \(E\). On note \(\operatorname{Id}\) l’identité de \(E\).

Si \(P(X)=a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{p}X^{p}\) est un élément de \(\mathbb{R}[x]\), on rappelle qu’on désigne par \(P(u)\) l’endomorphisme suivant: \(P(u)=a_{0}\operatorname{Id}+a_{1}u+\dots+a_{p}u^{p}\) où \(u^{k}\) est la composée \(\underset{k\text{ fois}}{\underbrace{u\circ u\circ\dots\circ u}}\) (\(u^{0}=\operatorname{Id}\) par convention).

Dans toute la suite, \(Q\) est un polynôme qui admet \(1\) pour racine simple et tel que \(Q(u)=0\). Ainsi, on peut écrire \(Q(X)= \left( X-1 \right) Q_{1}(X)\) avec \(Q_{1}(1)\neq 0\).

1. Montrer que l’image de \((u-\operatorname{Id})\) est contenue dans \(\mathrm{Ker}(Q_{1}(u))\).

2. On note \(E_{1}=\mathrm{Ker}(u-\operatorname{Id})\).

   1. Montrer que si \(x\in E_{1}\) alors \(Q_{1}(u)(x)=Q_{1}(1) \cdot x\).

   2. En déduire que \(E_{1}\cap\mathrm{Ker}(Q_{1}(u))=\{0_{E}\}\).

   3. En déduire à l’aide du théorème du rang que \(E=E_{1}\oplus\mathrm{Ker}(Q_{1}(u))\).

3. Montrer que \(Q_{1}(u)=0\) si, et seulement si, \(1\) n’est pas valeur propre de \(u\).

4. On suppose dans cette question que \(Q(X)=(X-1)(X+2)^{2}\), que \(E\) est de dimension \(3\) et que \(1\) est valeur propre de \(u\); on note \(E_{1}\) l’espace propre associé à la valeur propre \(1\).
   Montrer que si la dimension de \(E_{1}\) est supérieure ou égale à \(2\), l’endomorphisme \(u\) est diagonalisable (on pourra distinguer deux cas, suivant que la dimension de \(E_{1}\) est égale à \(2\) ou égale à \(3\)).

Exercice 2

On considère un entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(2\). On dispose d’une urne contenant \(2n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\), chaque boule apparaissant deux fois. On effectue « au hasard » une succession de tirages simultanés de deux boules de cette urne selon le protocole suivant:

• à chaque tirage de deux boules, si les deux boules tirées portent le même numéro, on ne remet pas les deux boules dans l’urne et on dit qu’une paire est constituée,

• si les deux boules tirées portent des numéros différents, on les remet dans l’urne avant de procéder au tirage suivant.

Pour tout élément \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) et tout entier naturel \(k\) non nul, on pose \(T_{i}=k\) si \(k\) tirages exactement ont été nécessaires pour constituer \(i\) paires.

On admet qu’il existe un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) permettant de modéliser cette expérience et que, pour tout entier \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(T_{i}\) est une variable aléatoire définie sur cet espace.

1. 1. Déterminer la loi de \(T_{1}\) et reconnaitre cette loi.

   2. Donner, sans calcul, la valeur de l’espérance de \(T_{1}\).

2. Compléter la partie principale du programme suivant afin qu’il affiche une réalisation de la variable \(T_{1}\):

3. On pose \(X_{1}=T_{1}\) et pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right]\): \(X_{i}=T_{i}-T_{i-1}\).

   1. Que représente la variable \(X_{i}\)?

   2. Déterminer, pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) la loi de \(X_{i}\) ainsi que son espérance.

   3. En déduire que \(T_{n}\) admet une espérance mathématique et que l’on a: \(\mathbb{E}(T_{n})=n^{2}\).

4. On effectue une suite de \(n\) tirages de deux boules selon le protocole précédent.

   On note \(S_{n}\) la variable aléatoire égale au nombre de paires reconstituées lors de ces \(n\) tirages.

   1. Calculer \(\mathbb{P}( S_{n}=0 )\).

   2. Déterminer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} {\mathbb{P}( S_{n}=0 ) }\).

   3. Montrer que: \(\displaystyle \mathbb{P}( S_{n}=n ) =\frac{n!2^{n}}{(2n)!}\).

5. Expliquer ce que fait la partie principale du programme suivant:

Exercice 3

Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). On note \(\mathbb{R}_n[x]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à \(n\).

1. Montrer que, pour tout couple \((P,Q)\) d’éléments de \(\mathbb{R}_n[x]\), l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}{P(t) \, Q(t) \, \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t}\) est convergente.

   On admet que l’application, notée \(\left\langle .,.\right\rangle\) de \(\mathbb{R}_n[x]\times\mathbb{R}_n[x]\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\), définie par: \[\forall(P,Q)\in\mathbb{R}_n[x]\times\mathbb{R}_n[x],\;\left\langle P,Q\right\rangle =\int_{0}^{+\infty}{P(t) \, Q(t) \, \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t}\] est un produit scalaire. On note \(\|.\|\) la norme associée.

2. 1. Soit \(P\) et \(Q\) deux éléments de \(\mathbb{R}_n[x]\), \(P'\) et \(Q'\) leurs polynômes dérivés respectifs. Établir la relation suivante: \[\left\langle P',Q\right\rangle +\left\langle P,Q'\right\rangle =\left\langle P,Q\right\rangle -P(0) \, Q(0)\]

   2. En déduire que si \(P\) est un polynôme non constant de \(\mathbb{R}_n[x]\), orthogonal à tout polynôme de degré strictement inférieur, alors on a \(|P(0)|=\|P\|\).

3. On se propose de démontrer dans cette question qu’il existe une unique famille de polynômes \((L_{0},L_{1},\dots,L_{n})\) vérifiant: \[(\mathcal{R}) : \begin{cases} L_{0}=1\\ \forall k\in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \deg(L_{k})=k\\ \forall k\in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right],\ L_{k}(0)=1\\ (L_{0},L_{1},\dots,L_{n})\text{ est une base orthonormale de }\mathbb{R}_n[x] \end{cases}\]

   1. On suppose qu’il existe deux familles de polynômes \((L_{0},L_{1},\dots,L_{n})\) et \((M_{0},M_{1},\dots,M_{n})\) vérifiant les relations \(\mathcal{R}\).

      Montrer que, pour tout élément \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(L_{k}=M_{k}\).

   2. On note \((P_{0},P_{1},\dots,P_{n})\) la famille obtenue à partir de la base canonique \((1,X,\dots,X^{n})\) de \(\mathbb{R}_n[x]\) par le procédé d’orthonormalisation de Schmidt, c’est-à-dire telle que, pour tout \(k \in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \((P_0,P_1,\dots,P_k)\) est une base orthonormale de \(\mathrm{Vect}(1,X,\dots,X^k)\).

      1. Justifier, pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), la relation \(P_{k}(0)\ne0\).

      2. En déduire une famille \((L_{0},L_{1},\dots,L_{n})\) vérifiant \(\mathcal{R}\).

   3. Conclure et calculer explicitement \(L_{1}\) et \(L_{2}\).

Problème

Toutes les variables aléatoires intervenant dans ce problème sont définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\). On considère une suite \((X_{n})_{n\geqslant 1}\) de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. On considère aussi, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la variable aléatoire \(M_{n}\) définie par: \[M_{n}=\sup(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})\]

c’est à dire que, pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), on a \(M_{n}(\omega)=\max(X_{1}(\omega),X_{2}(\omega),\dots,X_{n}(\omega))\).

On cherche alors des suites réelles \((a_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) et \((b_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) où la suite \((a_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) est à termes strictement positifs, telles que la suite \(\left(\frac{M_{n}-b_{n}}{a_{n}}\right)_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire non constante.

La fonction exponentielle sera indifféremment notée \(x\mapsto \mathrm{e}^{x}\) ou \(\exp\).

Partie 1 - La loi exponentielle

On suppose dans cette partie que la loi commune des \(X_{k}\) est la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), où \(\lambda\) est un réel strictement positif.

1. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(\forall x\in\mathbb{R},\; g(x)=\mathrm{e}^{-x}\exp(-\mathrm{e}^{-x})\).

   1. Montrer que \(g\) est une densité de probabilité. On note \(G\) une variable aléatoire admettant \(g\) comme densité.

   2. Déterminer la fonction de répartition, notée \(F_{G}\), de la variable \(G\).

2. 1. Donner, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la fonction de répartition de la variable \(M_{n}\).

   2. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose: \(U_{n}=\lambda M_{n}-\ln(n)\). Montrer que la suite \((U_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable dont on précisera la loi.

Partie 2 - La loi normale

On suppose dans cette partie que la loi commune des \(X_{k}\) est une loi normale centrée réduite. Soit \(\varphi\) la densité usuelle de \(X_{1}\).

3. 1. Montrer que, pour tout réel \(x>0\), l’intégrale \(\displaystyle \int_{x}^{+\infty}{\frac{\varphi(u)}{u^{2}}\,\mathrm{d}u}\) est convergente et à l’aide d’une intégration par parties, montrer que: \[\mathbb{P}( X_{1}>x) =\frac{\varphi(x)}{x}-\int_{x}^{+\infty}{\frac{\varphi(u)}{u^{2}}\,\mathrm{d}u}\]

   2. En déduire que pour tout réel \(x>0\): \[\frac{\varphi(x)}{x}-\frac{ \mathbb{P}( X_{1}>x) }{x^{2}}\leqslant \mathbb{P}( X_{1}>x) \leqslant \frac{\varphi(x)}{x}\] puis que: \[\mathbb{P}( X_{1}>x) \leqslant \frac{\varphi(x)}{x}\leqslant \mathbb{P}( X_{1}>x) \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)\]

4. Soit \(c\) un réel strictement positif. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, l’équation \(\displaystyle \frac{\varphi(x)}{x}=\frac{c}{n}\) admet sur \(]0,+\infty[\) une unique solution que l’on notera \(x_{n}\).

5. Montrer que \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}{x_{n}}=+\infty\).

6. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul: \[x_{n}^{2}+2\ln(x_{n})=2\ln(n)-\ln(2c^{2}\pi)\]

7. En prenant un équivalent de chaque membre de l’équation de la question 6, montrer que: \[x_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}\sqrt{2\ln(n)}\] En déduire que l’on peut écrire pour tout entier \(n\geqslant 2\): \[x_{n}=\sqrt{2\ln(n)}+\varepsilon _{1}(n)\qquad\text{où}\;\lim_{n\to+\infty}{\frac{\varepsilon _{1}(n)}{\sqrt{2\ln(n)}}}=0\]

8. 1. En utilisant la question 6, montrer que pour tout entier \(n\geqslant 2\): \[2\left(\sqrt{2\ln(n)}\right)\varepsilon _{1}(n)+(\varepsilon _{1}(n))^{2}+2\ln \! \left(1+\frac{\varepsilon _{1}(n)}{\sqrt{2\ln(n)}}\right)=-\ln(\ln(n))-\ln(4\pi c^{2})\]

   2. En prenant un équivalent de chaque membre de l’équation du (a), montrer que: \[2\varepsilon _{1}(n)\sqrt{2\ln(n)}\underset{n\to+\infty}{\sim}-\ln(\ln(n))\] En déduire que: \[\varepsilon _{1}(n)=-\frac{\ln(\ln(n))}{2\sqrt{2\ln(n)}}+\varepsilon _{2}(n)\qquad\text{où}\;\lim_{n\to+\infty}{\varepsilon _{2}(n)\frac{2\sqrt{2\ln(n)}}{\sqrt{\ln(\ln(n))}}}=0\] On admet alors, qu’en poursuivant le développement asymptotique, l’on peut écrire pour tout entier \(n\geqslant 2\): \[x_{n}=\sqrt{2\ln(n)}-\frac{\ln(\ln(n))}{2\sqrt{2\ln(n)}}-\frac{\ln(4\pi)}{2\sqrt{2\ln(n)}}-\frac{\ln(c)}{\sqrt{2\ln(n)}}+\varepsilon (n)\] avec \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}{\varepsilon (n)\sqrt{2\ln(n)}}=0\).

9. On pose, pour tout entier \(n\geqslant 2\): \(a_{n}=\frac{1}{\sqrt{2\ln(n)}}\) et \(b_{n}=\sqrt{2\ln(n)}-\frac{\ln(\ln(n))}{2\sqrt{2\ln(n)}}-\frac{\ln(4\pi)}{2\sqrt{2\ln(n)}}\).

   Montrer à l’aide des questions précédentes que, pour tout réel \(x\) et pour tout entier \(n\geqslant 2\), en posant \(c=\mathrm{e}^{-x}\) on a:

   1. \(a_{n}x+b_{n}=x_{n}-\varepsilon (n)\)

   2. \(\displaystyle \frac{\varphi(a_{n}x+b_{n})}{a_{n}x+b_{n}}\underset{n\to+\infty}{\sim}\frac{\mathrm{e}^{-x}}{n}\)

   3. En déduire, en utilisant la question 3b, que: \[\frac{\varphi(a_{n}x+b_{n})}{a_{n}x+b_{n}}\underset{n\to+\infty}{\sim}\mathbb{P}( X_{1} >a_{n}x+b_{n})\] puis que la suite \(\left(\dfrac{M_{n}-b_{n}}{a_{n}}\right)_{n\geqslant 1}\) converge en loi vers la variable \(G\) (la variable \(G\) est définie dans la partie 1).