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On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}\) par : \(\displaystyle f(x)=\frac{2}{x^2} \int_0^x \frac{t}{e^t+1} \,\mathrm{d}t\) si \(x>0\) et \(f(0)=\frac{1}{2}\).
Montrer que : \(\displaystyle \forall x \in \left] 0,+\infty\right[, \ \forall t \in[0, x], \ \frac{1}{\mathrm{e}^x+1} \leqslant \frac{1}{\mathrm{e}^t+1} \leqslant \frac{1}{2}\).
Établir alors que, pour tout réel \(x\) strictement positif, on a : \(\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}^x+1} \leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{2}\).
En déduire que la fonction \(f\) est continue (à droite) en \(0\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(]0,+\infty[\), puis vérifier que, pour tout réel \(x\) strictement positif, on peut écrire \(\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac{4}{x^3} \, g(x)\), où \(g\) est une fonction que l’on déterminera.
Étudier les variations, puis le signe de la fonction \(g\). En déduire que \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}_{+}\).
Montrer que, pour tout réel \(t\) positif, on a : \(\displaystyle \frac{t}{\mathrm{e}^t+1} \leqslant 1\).
En déduire la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
On désigne par \(E\) l’espace vectoriel des fonctions polynômiales de degré inférieur ou égal à 2 et on note \(\mathcal{B}\) la base \(\left( e_{0}% ,e_{1},e_{2}\right)\) de \(E,\) où pour tout réel \(x,\) on a : \(e_{0}\left( x\right) =1,\) \(e_{1}(x) =x\) et \(e_{2}(x) =x^{2}% .\)
On considère l’application, notée \(f,\) qui à toute fonction polynômiale \(P\) appartenant à \(E,\) associe la fonction polynômiale \(f(P)\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \left( f( P) \right) (x) =2x P( x) -\left( x^{2}-1\right) P^{\prime}(x)\]
Montrer que \(f\) est une application linéaire.
En écrivant, pour tout réel \(x,\) \(P( x)=a+bx+cx^{2},\) définir explicitement \((f(P))(x)\) puis en déduire que \(f\) est un endomorphisme de \(E.\)
Écrire \(f(e_{0}),\) \(f(e_{1})\) et \(f(e_{2})\) comme des combinaisons linéaires de \(e_{0},\) \(e_{1}\) et \(e_{2},\) puis en déduire la matrice \(A\) de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}.\)
Vérifier que \(\operatorname*{Im}(f)=\operatorname{vect}\left( e_{1}% ,e_{0}+e_{2}\right)\) et donner la dimension de \(\operatorname{Im}(f).\)
Déterminer \(\operatorname{Ker}(f).\)
À l’aide de la méthode du pivot de Gauss, déterminer les valeurs propres de \(A.\)
En déduire que \(A\) est diagonalisable et donner les sous-espaces propres de \(A\).
On désigne par \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dispose de \(n\) urnes, numérotées de \(1\) à \(n,\) contenant chacune \(n\) boules. On répète \(n\) épreuves, chacune consistant à choisir une urne au hasard et à en extraire une boule au hasard. On suppose que les choix des urnes sont indépendants les uns des autres.
Pour tout \(i\) de \(\left\{ 1,2,...,n\right\} ,\) on note \(X_{i}\) la variable aléatoire prenant la valeur 1 si l’urne numérotée \(i\) contient toujours \(n\) boules au bout de ces \(n\) épreuves, et qui prend la valeur 0 sinon.
Pour tout \(i\) et tout \(k,\) éléments de \(\{1,2,...,n\},\) on note \(U_{i,k}\) l’événement « l’urne numéro \(i\) est choisie à la \(k^{\text{ème}}\) épreuve » .
Écrire l’événement \((X_{i}=1)\) à l’aide de certains des événements \(U_{i,k},\) puis montrer que : \[\forall i\in\left\{ 1,2,...,n\right\} ,\ \mathbb{P}( X_{i}=1)=\left( 1-\dfrac{1}% {n}\right) ^{n}\]
Justifier également que, si \(i\) et \(j\) sont deux entiers distincts, éléments de \(\{1,2,...,n\},\) on a : \[\mathbb{P}( [ X_{i}=1] \cap[ X_{j}=1] ) =\left( 1-\dfrac{2}{n}\right) ^{n}.\]
Comparer \(\left( 1-\dfrac{2}{n}\right)\) et \(\left( 1-\dfrac{1}% {n}\right) ^{2}\) et en déduire que, si \(i\) et \(j\) sont deux entiers distincts, éléments de \(\left\{ 1,2,...,n\right\} ,\) alors les variables \(X_{i}\) et \(X_{j}\) ne sont pas indépendantes.
On pose \(\displaystyle{Y_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{i}.}\)
Déterminer l’espérance de \(Y_{n},\) notée \(\mathbb{E}(Y_{n}).\)
En déduire \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{\mathbb{E}(Y_{n})}{n}% }\) et donner un équivalent de \(\mathbb{E}(Y_{n})\) lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty.\)
Pour tout \(i\) de \(\left\{ 1,2,...,n\right\} ,\) on note \(N_{i}\) la variable aléatoire égale au nombre de boules manquantes dans l’urne numérotée \(i\) à la fin de ces \(n\) épreuves.
Donner sans calcul la loi de \(N_{i}\) ainsi que la valeur de \(\mathbb{E}(N_{i}).\)
Que vaut le produit \(N_{i}X_{i}\) ?
Les variables \(N_{i}\) et \(X_{i}\) sont-elles indépendantes ?
Compléter le programme Python suivant
pour qu’il simule l’expérience décrite au début de cet exercice et
affiche les valeurs prises par \(X_{1}\) et \(N_{1}\) pour une valeur de \(n\) entrée par l’utilisateur.
On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), et indépendantes. On suppose que \(X\) est une variable à densité et on note \(F_{X}\) sa fonction de répartition. On suppose par ailleurs \(Y\) prend ses valeurs dans \(\{ -1,1\}\) et que sa loi est donnée par : \[\mathbb{P}(Y=1)=\mathbb{P}(Y=-1)=\frac{1}{2}\] L’indépendance de \(X\) et \(Y\) se traduit par les égalités suivantes, valables pour tout réel \(x\) : \[\mathbb{P}([X \leqslant x] \cap[Y=1])=\mathbb{P}(X \leqslant x) \,\mathbb{P}(Y=1) \text { et } \mathbb{P}([X \leqslant x] \cap[Y=-1])=\mathbb{P}(X \leqslant x) \, \mathbb{P}(Y=-1)\] On pose \(Z=X Y\) et on admet que \(Z\) est, elle aussi, une variable aléatoire définie sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Rappeler l’expression des fonctions de répartition d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur \([a, b]\) (\(a<b\)) et d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre \(\lambda >0\).
En utilisant le système complet d’événements \(([Y=1],[Y=-1])\), montrer que la fonction de répartition \(F_{Z}\) de la variable aléatoire \(Z\) est donnée par : \[\forall x \in \mathbb{R}, F_{Z}(x)=\frac{1}{2}\left[ F_{X}(x)-F_{X}(-x)+1 \right]\]
On suppose que la loi de \(X\) est la loi normale centrée réduite. Reconnaître la loi de \(Z\).
On suppose que la loi de \(X\) est la loi uniforme sur \([0,1]\).
Déterminer l’expression de \(F_{X}(-x)\) selon les valeurs prises par \(x\).
Déterminer \(F_{Z}(x)\) pour tout réel \(x\), puis reconnaitre la loi de \(Z\).
Dans toute la suite, on suppose que la loi de \(X\) est la loi exponentielle de paramètre \(1\).
Montrer que la fonction de répartition \(F_{Z}\) de la variable aléatoire \(Z\) est définie par : \[F_{Z}(x)=\begin{cases} \displaystyle 1-\frac{\mathrm{e}^{-x}}{2} &\text {si } x \geqslant 0 \\ \displaystyle \hspace{0.4cm} \frac{\mathrm{e}^{x}}{2} & \text {si } x<0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
En déduire que \(Z\) est une variable aléatoire à densité.
Établir alors que la fonction \(f_{Z}: x\mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{-|x|}}{2}\) est une densité de \(Z\).
Donner la valeur de l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x \,\mathrm{e}^{-x} \,\mathrm{d}x\).
Établir l’existence et déterminer la valeur de \(\mathbb{E}(Z)\).
Donner la valeur de l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^2 \,\mathrm{e}^{-x} \,\mathrm{d}x\).
En déduire l’existence et la valeur de \(\mathbb{E}(Z^{2})\), puis donner la valeur de la variance de \(Z\).
Déterminer \(\mathbb{E}(X) \,\mathbb{E}(Y)\) et comparer avec \(\mathbb{E}(Z)\). Ce résultat était-il prévisible ?
Exprimer \(Z^{2}\) en fonction de \(X\), puis en déduire de nouveau la variance de \(Z\).
Soit \(U\) et \(V\) des variables aléatoires suivant respectivement la loi de Bernoulli de paramètre \(\dfrac{1}{2}\) et la loi uniforme sur \([0,1[\). On pose : \[Q=-\ln (1-V) \quad \text{et} \quad R=2 U-1\] On admet que \(Q\) et \(R\) sont des variables aléatoires.
Déterminer la fonction de répartition de \(Q\) puis en déduire la loi suivie par la variable aléatoire \(Q\).
Déterminer la loi de \(R\).
Écrire un script Python affichant une simulation de la variable aléatoire \(Z\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
