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Dans cet exercice, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère la fonction \(f_{n}\) définie, pour tout \((x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\) de l’ouvert \(U=\left]0,+\infty\right[^{n}\), par: \[f_{n}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=\left(\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}\right) \! \! \left(\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_{i}}}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n}\right)\left(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\dots+\frac{1}{x_{n}}\right)\]
Montrer que \(f_{n}\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(U\).
Montrer que \(f_{n}\) possède une infinité de points de critiques \((a_{1},a_{2},\dots,a_{n})\) et les déterminer.
Déterminer les dérivées partielles secondes de \(f_{n}\).
Vérifier que la hessienne \(H_{n}\) de \(f_{n}\) en un point critique quelconque de \(f_{n}\) est proportionnelle à la matrice \(K_{n}=nI_{n}-J_{n}\), où \(I_{n}\) désigne la matrice unité de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(J_{n}\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dont tous les éléments valent 1.
Déterminer le rang de \(J_{n}\). En déduire que 0 est valeur propre de \(J_{n}\) et déterminer la dimension du sous-espace propre de \(J_{n}\).
À l’aide des questions précédentes, donner les valeurs propres de \(J_{n}\) puis celles de \(K_{n}\).
Montrer que l’on ne peut pas, de cette façon, conclure à l’existence d’un extremum local de \(f_{n}\) sur \(U\).
Étude du cas \(n=2\).
Comparer les réels \((x_{1}+x_{2})^{2}\) et \(4x_{1}x_{2}\).
En déduire que \(f_{2}\) admet sur \(\left]0,+\infty\right[\times\left]0,+\infty\right[\) un minimum global et donner sa valeur.
Étude du cas général.
On considère l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{n}\) muni de son produit scalaire canonique. En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz à deux vecteurs bien choisis de \(\mathbb{R}^{n}\), montrer que \(f_{n}\) admet un minimum global sur \(U\), égal à \(n^{2}\).
On se place dans un espace euclidien \(E\) de dimension \(n\), où \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Le produit scalaire des vecteurs \(x\) et \(y\) de \(E\) est noté \(\left \langle x \,\vert \, y \right \rangle\) et la norme de \(x\) est notée \(\left\| x \right\|\). On désigne par \(\mathrm{Id}\) l’endomorphisme identique de \(E\).
On considère un vecteur \(u\) de \(E\) dont la norme est égale à \(1\), un réel \(\lambda\) non nul et on note \(f_\lambda\) l’application qui, à tout vecteur \(x\) de \(E\) associe \(f_\lambda(x)=\lambda \left \langle x \,\vert \, u \right \rangle u+x\).
Donner la dimension de \((\operatorname{Vect}(u))^{\perp}\).
Montrer que \(f_\lambda\) est un endomorphisme de \(E\).
Montrer que le polynôme \(X^2- \left( \lambda+2 \right) X+(\lambda+1)\) est un polynôme annulateur de \(f_\lambda\).
Montrer que \(f_\lambda\) est un endomorphisme symétrique de \(E\).
Déterminer \(f_\lambda(u)\) et \(f_\lambda(v)\) pour tout vecteur \(v\) de \((\operatorname{Vect}(u))^{\perp}\).
Établir alors que \(f_\lambda\) possède deux valeurs propres distinctes et donner les sous-espaces propres associés à ces deux valeurs propres.
Dans cette question on suppose que \(\lambda=-1\).
Vérifier que \(f_{-1}\) est un projecteur.
Montrer plus précisément que \(f_{-1}\) est le projecteur orthogonal sur \((\operatorname{vect}(u))^{\perp}\).
Dans cet exercice, \(a\) désigne un réel strictement positif. On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), indépendantes et suivant toutes deux la loi uniforme sur \([0,a[\).
On pose \(Z=\left| X-Y \right|\) et on admet que \(Z\) est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur l’espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Donner une densité de \(-Y\).
En déduire que la variable aléatoire \(X-Y\) admet pour densité la fonction \(g\) définie par : \[g(x) = \begin{cases} \dfrac{a-\left| x \right|}{a^2} &\text{si } x\in [-a,a]\\ \hfill 0 \hfill &\text{sinon} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}.\]
On note \(G\) la fonction de répartition de \(X-Y\).
Exprimer la fonction de répartition \(H\) de la variable aléatoire \(Z\) en fonction de \(G\).
En déduire qu’une densité de \(Z\) est la fonction \(h\) définie par : \[h(x) = \begin{cases} \dfrac{2 \left( a-x \right)}{a^2} &\text{si } x\in [0,a]\\ \hfill 0 \hfill &\text{sinon} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}.\]
Montrer que \(Z\) possède une espérance et une variance et les déterminer.
Compléter la fonction Python suivante
pour que son appel renvoie une simulation de \(Z\) :
Montrer que, pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), on a : \[\frac{1}{\sqrt{k+1}}\leqslant \int_{k}^{k+1}{\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{k}}.\]
En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2, on a: \[\sum_{k=2}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}} \leqslant \int_{1}^{n}{\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}} \leqslant \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{\sqrt{k}}}.\]
Montrer enfin que: \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ 2\sqrt{n}-2 \leqslant \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}\leqslant 2\sqrt{n}-1.\]
Soit une suite \((X_{n})_{n\geqslant 1}\) de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et une variable aléatoire \(X\), elle aussi définie sur cet espace probabilisé.
On suppose que la suite \((X_{n})\) converge complètement vers \(X\), c’est-à-dire que, pour tout réel \(\varepsilon\) strictement positif, la série de terme général \(\mathbb{P}\left(\left| X_{n}-X \right|\geqslant \varepsilon\right)\) est convergente.
Montrer que la suite \((X_{n})\) converge en probabilité vers \(X\).
On se propose dans cette question d’étudier un exemple montrant que la réciproque de cette propriété est fausse.
Pour ce faire, on considère une suite \((Y_{n})_{n\geqslant 1}\) de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), indépendantes et suivant toutes la loi de Poisson de paramètre \(\dfrac{1}{n}\).
Déterminer, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), la probabilité \(\mathbb{P}\left(Y_{n}\geqslant 1\right)\).
Montrer que : \[\forall \varepsilon >0,\ \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ 0\leqslant \mathbb{P}\left(Y_{n}\geqslant \varepsilon\right)\leqslant 1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{n}}.\]
En déduire que la suite \((Y_{n})\) converge en probabilité vers la variable aléatoire nulle.
Utiliser la valeur de \(\mathbb{P}\left(Y_{n}\geqslant 1\right)\) pour en déduire que la suite \((Y_{n})\) ne converge pas complètement vers la variable certaine nulle.
Dans cette partie, on considère une suite \((B_{k})_{k\geqslant 1}\) de variables aléatoires, toutes définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), et telles que, pour tout entier naturel \(k\) non nul, \(B_{k}\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\dfrac{1}{\sqrt{k}}\). On suppose que les variables aléatoires \(B_{k}\) sont deux à deux indépendantes.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \[S_{n}=\sum_{k=1}^{n}B_{k} \quad\text{et}\quad Z_{n}=\frac{S_{n}}{\mathbb{E}(S_{n})}\]
et on admet que \(S_{n}\) et \(Z_{n}\) sont, elles aussi, des variables aléatoires définies sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), donner sous forme de sommes les expression de \(\mathbb{E}(S_{n})\) et \(\mathbb{V}(S_{n})\).
Vérifier que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\) : \(\mathbb{V}(S_{n})\leqslant \mathbb{E}(S_{n})\).
Montrer que : \[\forall \varepsilon>0,\ \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{P}\left(\left| Z_{n}-1 \right|\geqslant \varepsilon\right) \leqslant \frac{1}{\varepsilon^{2}\,\mathbb{E}(S_{n})}.\]
Établir que la suite \((Z_{n})\) converge en probabilité vers la variable aléatoire certaine égale à 1.
À l’aide de l’inégalité établie à la question 2a de cette même partie, montrer que, pour tout \(\varepsilon>0\), la série de terme général \(\mathbb{P}\left(\left| Z_{n^{4}}-1 \right|\geqslant \varepsilon\right)\) est convergente.
On désigne par \(e_{n}\) la partie entière de \(n^{\frac{1}{4}}\), et on a donc : \(e_{n}^{4}\leqslant n<(e_{n}+1)^{4}\).
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on a : \[\frac{S_{e_{n}^{4}}}{\mathbb{E}\left(S_{(e_{n}+1)^{4}}\right)} \leqslant Z_{n} \leqslant \frac{S_{(e_{n}+1)^{4}}}{\mathbb{E}\left(S_{e_{n}^{4}}\right)}.\]
En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on a : \[\frac{\mathbb{E}\left(S_{e_{n}^{4}}\right)}{\mathbb{E}\left(S_{(e_{n}+1)^{4}}\right)}Z_{e_{n}^{4}} \leqslant Z_{n} \leqslant \frac{\mathbb{E}\left(S_{(e_{n}+1)^{4}}\right)}{\mathbb{E}\left(S_{e_{n}^{4}}\right)}Z_{(e_{n}+1)^{4}}.\]
Établir que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}{\frac{\mathbb{E}\left(S_{(e_{n}+1)^{4}}\right)}{\mathbb{E}\left(S_{e_{n}^{4}}\right)}}=1.\]
En déduire que, pour tout réel \(\varepsilon\) strictement positif et pour \(n\) assez grand, on a : \[\frac{\mathbb{E}\left(S_{(e_{n}+1)^{4}}\right)}{\mathbb{E}\left(S_{e_{n}^{4}}\right)}\leqslant 1+\varepsilon \quad\text{et}\quad \frac{\mathbb{E}\left(S_{e_{n}^{4}}\right)}{\mathbb{E}\left(S_{(e_{n}+1)^{4}}\right)}\geqslant \frac{2+\varepsilon}{2(1+\varepsilon)}.\]
Montrer que, pour tout réel \(\varepsilon\) strictement positif et pour \(n\) assez grand, on a : \[[Z_{n}\leqslant 1-\varepsilon] \subset [Z_{e_{n}^{4}}-1\leqslant-\varepsilon^{2}] \quad\text{et}\quad [Z_{n}\geqslant 1+\varepsilon] \subset \left[Z_{(e_{n}+1)^{4}}-1\geqslant \frac{\varepsilon}{2}\right].\]
En déduire alors que, pour tout réel \(\varepsilon\) strictement positif et pour \(n\) assez grand, on a : \[\mathbb{P}\left(\left| Z_{n}-1 \right| \geqslant \varepsilon\right)\leqslant \mathbb{P}\left(\left| Z_{(e_{n}+1)^{4}}-1 \right|\geqslant \frac{\varepsilon}{2}\right) +\mathbb{P}\left(\left| Z_{e_{n}^{4}}-1 \right| \geqslant \varepsilon^{2}\right).\]
Conclure qu’effectivement, la suite \((Z_{n})\) converge complètement vers la variable certaine égale à 1.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
