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On considère la fonction \(f\) définie, pour tout couple \((x,y)\) de l’ouvert \((\mathbb{R}_+^\ast)^2\), par : \[\forall (x,y)\in (\mathbb{R}_+^\ast)^2,\ f(x,y)=(x+y)\left(\dfrac 1x+\dfrac 1y\right)\]
Montrer que, pour tout couple \((x,y)\) de \((\mathbb{R}_+^\ast)^2\), on a : \[f(x,y)=2+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\quad \text{ et }\quad f(x,y)=\dfrac{% (x+y)^{2}}{xy}\]
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \((\mathbb{R}_+^\ast)^2\).
Montrer que \(f\) possède une infinité de points critiques et les dé terminer.
Déterminer les dérivées partielles secondes de \(f\). Celles-ci permettent-elles de conclure quant à l’existence d’un extremum local de \(f\) sur \((\mathbb{R}_+^\ast)^2\) ?
Comparer les réels \((x+y)^{2}\) et \(4xy\).
En déduire que \(f\) admet sur \((\mathbb{R}_+^\ast)^2\) un minimum global en tous ses points critiques et donner sa valeur.
Soit \(g\) la fonction définie pour tout \((x,y)\) de \((\mathbb{R}_+^\ast)^2\), par : \[g(x,y)=2\ln (x+y)-\ln x-\ln y.\] Montrer que : \[\forall (x,y)\in (\mathbb{R}_+^\ast)^2 ,\ g(x,y)\geqslant 2\ln (2)\]
Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \[u_{n}=\prod\limits_{k=0}^n\left(1+\dfrac 1{2^k}\right)=(1+1)\left(1+\dfrac 1{2}\right)\left(1+\dfrac 1{4}\right)\cdots \left(1+\dfrac 1{2^n}\right)\]
Donner, sous forme d’entiers ou de fractions simplifiées, les valeurs de \(u_{0},u_{1}\) et \(u_{2}\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n} \geqslant 2\).
Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_{n}\) puis en déduire les variations de la suite \((u_{n})\).
Établir que, pour tout réel \(x\) strictement supérieur à \(-1\), on a : \(\ln(1+x)\leqslant x\).
En déduire, pour tout entier naturel \(n\), un majorant de \(\ln(u_{n})\).
En utilisant les questions précédentes, montrer que la suite \((u_{n})\) converge vers un réel \(\ell\), élément de \(\left[2,\mathrm{e}^2\right]\).
On se propose dans cette question de déterminer la nature de la série de terme général \((\ell-u_{n})\).
Justifier que la suite \((\ln(u_{n}))_{n\in\mathbb{N}}\) converge et que l’on a : \(\displaystyle \ln(\ell)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\ln\!\left(1+\dfrac 1{2^k}\right)\).
Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), on a : \(\displaystyle \ln\!\left(\dfrac{\ell}{u_{n}}\right)=\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\ln \! \left(1+\dfrac 1{2^k}\right)\).
Vérifier, en utilisant le résultat de la question 3a), que : \(\forall n\in\mathbb{N},\,0\leqslant \ln \! \left(\dfrac{\ell}{u_{n}}\right)\leqslant \dfrac 1{2^n}\).
Déduire de la question précédente que : \(\forall n\in\mathbb{N}\), \(0\leqslant \ell-u_{n} \leqslant \ell\left(1-\mathrm{e}^{-\frac 1{2^n}}\right)\).
Justifier que, pour tout réel \(x\), on a \(1-\mathrm{e}^{-x}\leqslant x\). En déduire que \(\forall n\in\mathbb{N}\), \(0\leqslant \ell-u_{n}\leqslant \dfrac{\ell}{2^n}\).
Conclure quant à la nature de la série de terme général \((\ell-u_{n})\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{2 x^{2}} & \text {si } x \leqslant-1 \text { ou } x \geqslant 1 \\ \hspace{0.2cm } 0 & \text {sinon } \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]
Montrer que \(f\) est une fonction paire.
Montrer que \(f\) est une densité de probabilité.
Dans la suite, on considère une variable aléatoire \(X\) définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\), admettant \(f\) comme densité. On note \(F_{X}\) la fonction de répartition de \(X\).
La variable aléatoire \(X\) admet-elle une espérance?
On pose \(Y=\ln (|X|)\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire, elle aussi définie sur l’espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P) .\) On note \(F_{Y}\) sa fonction de répartition.
Montrer que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ F_{Y}(x)=F_{X}(\mathrm{e}^{x})-F_{X}(-\mathrm{e}^{x})\]
Montrer, sans expliciter la fonction \(F_{Y}\), que \(Y\) est une variable aléatoire à densité, puis donner une densité de \(Y\) et vérifier que \(Y\) suit une loi exponentielle dont on donnera le paramètre.
On considère une variable aléatoire \(U\) suivant la loi uniforme sur \([0,1[.\) Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(Z=-\ln (1-U)\) puis reconnaître la loi de \(Z\).
Écrire une commande Python renvoyant
une simulation de la variable aléatoire \(Y\).
On note \({\cal B}=(e_{1},e_{2},e_{3})\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) et on considère l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) défini par les égalités suivantes : \[f(e_{1})=\dfrac 13 \left( e_{2}+e_{3} \right) \quad\text{ et }\quad f(e_{2})=f(e_{3})=\dfrac 23 \, e_1\]
Écrire la matrice \(M\) de \(f\) dans la base \({\cal B}\).
Déterminer la dimension de \(\mathrm{Im}(f)\) puis celle de \(\mathrm{Ker}(f)\).
Donner alors une base de \(\mathrm{Ker}(f)\), puis en déduire une valeur propre de \(M\) ainsi que le sous-espace propre associé.
Déterminer les autres valeurs propres de \(M\) ainsi que les sous-espaces propres associés.
En déduire que \(M\) est diagonalisable.
On pose : \[P=\begin{pmatrix} 2&-2&0\\1&1&1\\1&1&-1 \end{pmatrix},\quad Q=\begin{pmatrix} 1&1&1\\-1&1&1\\0&2&-2 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad I=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}\]
Justifier que \(P\) est inversible, puis déterminer la matrice \(D\) diagonale telle que : \(M=PDP^{-1}\).
Calculer \(PQ\) puis en déduire \(P^{-1}\).
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(j\), on a \(M^j=PD^jP^{-1}\).
Écrire, pour tout entier naturel \(j\), la première colonne de la matrice \(M^j\).
Une urne contient trois boules numérotées de \(1\) à \(3\). Un tirage consiste à extraire au hasard une boule de l’urne puis à la remettre dans l’urne pour le tirage suivant. On modélise cette expérience par un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
On définit une suite de variables aléatoires \((X_{k})_{k\in\mathbb{N}^*}\) de la manière suivante :
On procède au premier tirage et \(X_{1}\) prend la valeur du numéro de la boule obtenue à ce tirage.
Après le \(k\)ème tirage (\(k\in\mathbb{N}^*\)) :
soit \(X_{k}\) a pris la valeur \(1\), dans ce cas on procède au \((k+1)\)ème tirage et \(X_{k+1}\) prend la valeur du numéro obtenu à ce \((k+1)\)ème tirage.
soit \(X_{k}\) a pris la valeur \(j\), différente de \(1\), dans ce cas on procède également au \((k+1)\)ème tirage et \(X_{k+1}\) prend la valeur \(j\) si la boule tirée porte le numéro \(j\) et la valeur \(1\) sinon.
Reconnaître la loi de \(X_{1}\).
Compléter le programme Python suivant
pour qu’il simule l’expérience aléatoire décrite dans cette partie et
pour qu’il affiche la valeur de la variable \(X_{k}\), l’entier \(k\) étant entré au clavier par
l’utilisateur.
On note \(U_{k}\) la matrice à \(3\) lignes et une colonne dont l’élément de la \(i\)ème ligne est \(\mathbb{P}(X_{k}=i)\).
Déterminer les probabilités \(\mathbb{P}_{(X_{k}=j)}(X_{k+1}=i)\), pour tout couple \((i,j)\) de \(\{1,2,3\}^2\).
Déterminer, grâce à la formule des probabilités totales, la matrice \(A\) de \({\cal M}_{3}(\mathbb{R})\), telle que, pour tout entier naturel \(k\) non nul : \(U_{k+1}=AU_{k}\).
Montrer qu’en posant \(U_{0}=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\), alors, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), on a : \(U_{k}=A^kU_{0}\).
Vérifier que \(A=M+\dfrac 13I\), puis établir que, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), on a : \[A^k=\sum_{j=0}^k\binom kj\left(\dfrac 13\right)^{k-j}M^j\]
En déduire les \(3\) éléments de la première colonne de la matrice \(A^k\), puis vérifier que la loi de \(X_{k}\) est donnée par : \[\mathbb{P}(X_{k}=1)=\frac 12\left(1+\left(-\dfrac 13\right)^k\right) \quad \text{et} \quad \mathbb{P}(X_{k}=2)=\mathbb{P}(X_{k}=3)=\frac 14\left(1-\left(-\dfrac 13\right)^k\right)\]
Montrer que la suite \((X_{k})\) converge en loi vers une variable aléatoire \(X\) dont on donnera la loi.
Calculer l’espérance \(\mathbb{E}(X_k)\) de \(X_k\).
Écrire une fonction esp en langage
Python qui renvoie \(\mathbb{E}(X_k)\) à l’appel de
esp(k).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
