EDHEC 2008Maths appliquées

Exercice 1

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on définit la fonction \(f_n\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f_n(x) = \frac{1}{1+\mathrm{e}^x} + nx\]

On appelle \((C_n)\) sa courbe représentative dans un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).

1. 1. Déterminer, pour tout réel \(x\), \(f_n'\) et \(f_n''\).

   2. En déduire que la fonction \(f_n\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

2. 1. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to {-\infty}} f_n(x)\) ainsi que \(\displaystyle \lim_{x\to {+\infty}} f_n(x)\).

   2. Montrer que les droites \((D_n)\) et \((D_,n')\) d’équations \(y=nx\) et \(y=nx+1\) sont asymptotes à \((C_n)\).

   3. Déterminer les coordonnées du seul point d’inflexion, noté \(A_n\), de \((C_n)\).

   4. Donner l’équation de la tangente \((T_1)\) à la courbe \((C_1)\) en \(A_1\) puis tracer sur un même dessin les droites \((D_1)\), \((D_1')\) et \((T_1)\) ainsi que l’allure de la courbe \((C_1)\).

3. 1. Montrer que l’équation \(f_n(x)=0\) possède une seule solution sur \(\mathbb{R}\), notée \(u_n\).

   2. Montrer que l’on a : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ -\frac{1}{n} < u_n < 0\]

   3. En déduire la limite de la suite \(u\).

   4. En revenant à la définition de \(u_n\), montrer que : \[u_n \underset{n\to+\infty}{\sim}- \frac{1}{2n}\]

Exercice 2

On considère un endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{R}^{3}\) est la matrice \[A=% \begin{pmatrix} 6 & 10 & 11 \\ 2 & 6 & 5 \\ -4 & -8 & -8% \end{pmatrix}%\]

1. 1. Déterminer la matrice \(A\left( A-2I\right) ^{2}\) et en déduire les seules valeurs propres possibles de \(A\).

   2. On considère les vecteurs \(u=\left( 2,1,-2\right)\) et \(v=\left( 3,1,-2\right)\).

      Déterminer \(f( u)\) et \(f( v)\).

   3. Quelles sont les valeurs propres de \(A\).

   4. L’endomorphisme \(f\) est-il un automorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) ?

2. On considère le vecteur \(w=\left( -2,0,1\right)\).

   1. Montrer que \(\left( u,v,w\right)\) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\).

   2. Exprimer \(f( w)\) comme combinaison linéaire de \(v\) et \(% w\) puis vérifier que la matrice de \(f\) dans la base \(\left( u,v,w\right)\) est \[T=% \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2% \end{pmatrix}%\]

   3. Montrer que \(A\) n’est pas diagonalisable.

3. 1. On pose \(T=D+N\), où \(D=% \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2% \end{pmatrix}%\) et \(N=% \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0% \end{pmatrix}%\)

      Déterminer \(N^{2}\) puis utiliser la formule du binôme pour montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a \(T^{n}=D^{n}+nD^{n-1}N.\)

   2. Donner explicitement, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la matrice \(T^{n}\) en fonction de \(n\).

   3. Proposer une matrice \(P\) telle que \(A=PTP^{-1}\) puis déterminer \(% P^{-1}\).

   4. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \(% A^{n}=PT^{n}P^{-1}\).

   5. Déterminer explicitement \(A^{n}\) pour tout entier \(n\) supé rieur ou égal à 1.

Exercice 3

1. Montrer que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\dfrac{\mathrm{d}x}{\left( 1+x\right) ^{2}}\) est convergente et donner sa valeur.

2. On considère la fonction \(f\) définie par : \(\forall x\in \mathbb{R},\ f( x) =\dfrac{1}{2\left( 1+\left \vert x\right \vert \right) ^{2}}\).

   1. Montrer que \(f\) est paire.

   2. Montrer que \(f\) peut être considérée comme une fonction densité de probabilité.

      Dans la suite, on considère une variable aléatoire \(X\), définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) admettant \(f\) comme densité.

      On note \(F\) la fonction de répartition de \(X\).

3. On pose \(Y=\ln ( 1+\left \vert X\right \vert )\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire à densité, elle aussi d éfinie sur l’espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

   1. Déterminer \(Y( \Omega )\).

   2. Exprimer la fonction de répartition \(G\) de \(Y\) à l’aide de \(F.\)

   3. En déduire que \(Y\) admet pour densité la fonction \(g\) dé finie par : \[g(x) = \begin{cases} 2\, \mathrm{e}^{x} \, f( \mathrm{e}^{x}-1) & \text{si }x\geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text{si }x<0% \end{cases}\]

   4. Montrer enfin que \(Y\) suit une loi exponentielle dont on dé terminera le paramètre.

Problème

Partie 1 : préliminaires

1. Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\left[ 0,1\right]\). On se propose, dans cette question, de démontrer un résultat classique sur les sommes de Riemann associées à cette fonction.

   1. Montrer qu’il existe un réel \(M\) strictement positif tel que, pour tout couple \(\left( x,y\right)\) d’éléments de \(\left[ 0,1\right]\) on a : \(\left \vert f(x) -f(y) \right \vert \leqslant M\left \vert x-y\right \vert\).

   2. En déduire que : \(\displaystyle \forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\ \forall k\in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right] ,\ \forall t\in \left[ \frac{% k}{n},\frac{k+1}{n}\right] ,\ \left \vert f( t) -f\! \left( \frac{k}{% n}\right) \right \vert \leqslant M\left( t-\frac{k}{n}\right)\).

   3. Montrer alors que : \[\forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\ \forall k\in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right] ,\ \left \vert \int_{k/n}^{\left( k+1\right) /n}f( t) \,\mathrm{d}t-\frac{1}{n} \, f\! \left( \frac{k}{n}\right) \right \vert \leqslant \frac{M}{2n^{2}}\]

   4. En sommant la relation précédente, établir que : \[% \displaystyle \forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\ \left \vert \int_{0}^{1}f(t) \,\mathrm{d}t-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f \! \left( \frac{k}{n% }\right) \right \vert \leqslant \frac{M}{2n}\]

   5. Conclure finalement que : \(\displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\! \left( \frac{k}{n}\right) = \int_{0}^{1}f(t)\,\mathrm{d}t\).

2. Pour tout couple \(\left( p,q\right)\) d’entiers naturels, on pose \(% I( p,q) =\displaystyle \int_{0}^{1}x^{p}\left( 1-x\right) ^{q}\,\mathrm{d}x\).

   1. Montrer que : \(\displaystyle \forall \left( p,q\right) \in \mathbb{N}% \times \mathbb{N}^\ast,\ I( p,q) =\frac{q}{p+1} \, I( p+1,q-1) .\)

   2. En déduire que : \(\displaystyle \forall \left( p,q\right) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N},\ I( p,q) =\frac{p! \, q!}{\left( p+q\right) !} \, I( p+q,0)\).

   3. Déterminer \(I\left( p+q,0\right)\) et montrer finalement que : \(% \displaystyle \forall \left( p,q\right) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N}% ^{\ast },\ I\left( p,q\right) =\frac{p! \, q!}{\left( p+q+1\right) !}.\)

3. Informatique.

   Compléter la fonction récursive en langage Python suivante afin qu’elle permette le calcul de \(I( p,q)\) :

Partie 2 : étude d’une suite de variables aléatoires

Dans cette partie, \(m\) est un entier naturel fixé, supérieur ou é gal à 2.

On considère une suite de variables aléatoires \(\left( U_{n}\right) _{n\geqslant 1}\) définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), telles que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(U_{n}\) suit la loi uniforme sur \(\displaystyle \left \{ 0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots ,\frac{% n-1}{n}\right \}\).

On considère également une suite de variables aléatoires \(\left( X_{n}\right) _{n\geqslant 1}\) définies elles aussi sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), et telles que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(1\), et pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), la loi de \(X_{n}\) conditionnellement à l’évé nement \(\left[ U_{n}=\frac{k}{n}\right]\) est la loi binomiale \(\mathcal{B} \! \left( m,\frac{k}{n}\right)\).

1. On considère une variable aléatoire \(Y\) suivant la loi binomiale \(\mathcal{B}( m,p)\). Rappeler la valeur de l’espé rance de \(Y\) puis montrer que \(\mathbb{E}( Y\left( Y-1\right) ) =m\left( m-1\right) p^{2}\).

2. Donner la loi de \(X_{1}\).

   Dans toute la suite, on suppose \(n\) supérieur ou égal à 2.

3. 1. Déterminer \(X_{n}\left( \Omega \right)\), puis montrer que, pour tout \(i\) de \(X_{n}\left( \Omega \right)\), on a : \[\mathbb{P}\! \left( X_{n}=i\right) =\frac{1}{n}\binom{m}{i}\sum_{k=0}^{n-1}% \left( \frac{k}{n}\right) ^{i}\left( 1-\frac{k}{n}\right) ^{m-i}\]

   2. Utiliser la première question de cette partie pour donner sans calcul la valeur de la somme \[\sum_{i=1}^{m}i\binom{m}{i}\left( \frac{k}{n}\right) ^{i}\left( 1-\frac{k}{n}\right) ^{m-i}\] Montrer alors que l’espérance de \(X_{n}\) est égale à \(% \displaystyle \dfrac{m\left( n-1\right) }{2n}\).

   3. En utilisant toujours la première question de cette partie, donner sans calcul la valeur de la somme \[\sum_{i=1}^{m}i\left( i-1\right) \binom{m}{i}\left( \frac{k}{n}\right) ^{i}\left( 1-\frac{k}{n}% \right) ^{m-i}\]

      Montrer alors que l’espérance de \(X_{n}\left( X_{n}-1\right)\) est é gale à \(\dfrac{m\left( m-1\right) \left( n-1\right) \left( 2n-1\right) }{% 6n^{2}}\).

   4. En déduire finalement que la variance de \(X_{n}\) est égale à \(\displaystyle \dfrac{m\left( m+2\right) \left( n^{2}-1\right) }{% 12n^{2}}\).

4. 1. En utilisant les résultats obtenus aux deux premières questions de la première partie, calculer, pour tout i de \(X_{n}\left( \Omega \right)\), \(\lim \limits_{n\rightarrow +\infty } \mathbb{P}\! \left( X_{n}=i\right)\).

   2. En déduire que la suite \(\left( X_{n}\right)\) converge en loi vers une variable aléatoire \(X\) dont on précisera la loi.

   3. Vérifier que \(\lim \limits_{n\rightarrow +\infty }\mathbb{E}( X_{n}) =\mathbb{E}( X)\) et \(\lim \limits_{n\rightarrow +\infty } \mathbb{V}(X_{n})=\mathbb{V}(X)\).