EDHEC 2007Maths appliquées

Exercice 1

Pour toute matrice \(M\) élément de \(\mathcal{M}_{2}( \mathbb{R}% ) ,\) on note \({}^t\!M\) la matrice transposée de \(M,\) définie de la façon suivante : si \(M=% \begin{pmatrix} a & b \\ c & d% \end{pmatrix}%\) alors \({}^t\!M=% \begin{pmatrix} a & c \\ b & d% \end{pmatrix}% .\)

On pose \(E_{1}=% \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0% \end{pmatrix}% ,\ E_{2}=% \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0% \end{pmatrix}% ,\ E_{3}=% \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0% \end{pmatrix}%\) et \(E_{4}=% \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1% \end{pmatrix}%\)

On rappelle que \(\mathcal{B=}\left( E_{1},E_{2},E_{3},E_{4}\right)\) est une base de \(\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) .\)

On note \(\varphi\) l’application qui à toute matrice \(M\) de \(\mathcal{M}% _{2}\left( \mathbb{R}\right)\) associe \(\varphi \left( M\right) =M+ {}^t\!M\).

1. 1. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_{2}( \mathbb{R}) .\)

   2. Écrire la matrice \(A\) de \(\varphi\) dans \(\mathcal{B}.\)

   3. En déduire que \(A\) est diagonalisable et non inversible.

2. Calculer \(A^{2}\) et en déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}% ^{\ast }:A^{n}=2^{n-1}A\).

3. 1. Montrer que \(\mathrm{Im}(\varphi) =\mathrm{Vect}\left( E_{1}, E_{2}+E_{3}, E_{4}\right) ,\) puis établir que \(\dim(\mathrm{Im}( \varphi ) )=3.\)

   2. En déduire la dimension de \(\mathrm{Ker}( \varphi )\) puis déterminer une base de \(\mathrm{Ker}( \varphi ).\)

   3. En déduire les valeurs propres de \(A\) et la dimension de leurs sous-espaces propres associés.

   4. Donner finalement une base de chacun des sous-espaces propres de \(A\).

Exercice 2

On admet que si \(Z_{1}\) et \(Z_{2}\) sont deux variables aléatoires à densité, définies sur le même espace probabilisé, alors leur covariance, si elle existe, est définie par : \[\mathrm{Cov}( Z_{1},Z_{2}) =\mathbb{E}( Z_{1}Z_{2}) -\mathbb{E}( Z_{1}) \, \mathbb{E}( Z_{2})\]

On admet également que si \(Z_{1}\) et \(Z_{2}\) sont indépendantes alors leur covariance est nulle.

On considère deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(U\) dé finies sur le même espace probabilisé \(( \Omega ,\mathcal{A},% \mathbb{P}) ,\) indépendantes, \(X\) suivant la loi normale \(\mathcal{% N}( 0,1)\) et \(U\) suivant la loi discrète uniforme sur \(% \left\{ -1,1\right\} .\)

On pose \(Y=UX\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire à densité, définie elle aussi sur l’espace probabilisé \(( \Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P}) .\)

1. 1. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que : \[\mathbb{P}( Y\leqslant x ) =\mathbb{P}( \left[ U=1\right] \cap % \left[ X\leqslant x\right] ) +\mathbb{P}( \left[ U=-1\right] \cap % \left[ X\geqslant -x\right] )\]

   2. En déduire que \(Y\) suit la même loi que \(X.\)

2. 1. Calculer l’espérance de \(U\) puis montrer que \(\mathbb{E}( XY) =0\).

   2. En déduire que \(\mathrm{Cov}( X,Y) =0\).

3. 1. Rappeler la valeur de \(\mathbb{E}( X^{2})\) et en déduire que \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty }x^{2} \,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\, \sqrt{2\pi }\).

   2. Montrer, grâce à une intégration par parties que : \[\forall A\in \mathbb{R}_{+},\ \int_{0}^{A}x^{4} \,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}% } \,\mathrm{d}x=-A^{3} \,\mathrm{e}^{-\frac{A^{2}}{2}}+3\int_{0}^{A}x^{2} \,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\mathrm{d}x\]

   3. En déduire que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty }x^{4} \,\mathrm{e}^{-\frac{% x^{2}}{2}} \,\mathrm{d}x\) converge et vaut \(\dfrac{3}{2} \, \sqrt{2\pi }.\)

   4. Établir finalement que \(X^4\) possède une espérance et que \(% \mathbb{E}( X^{4} ) =3\).

4. 1. Vérifier que \(\mathbb{E}( X^{2}Y^{2}) =3\).

   2. Déterminer \(\mathrm{Cov}( X^{2},Y^{2})\).

   3. En déduire que \(X^{2}\) et \(Y^{2}\) ne sont pas indépendantes. Montrer alors que \(X\) et \(Y\) ne le sont pas non plus.

   4. Cet exercice a permis de montrer qu’un résultat classique concernant les variables discrètes est encore valable pour les variables à densité. Lequel ?

Exercice 3

1. 1. Montrer que pour tout \(x>0:x-\ln (x) >0\)

   2. On pose alors \(f(x) =\begin{cases} \dfrac{\ln (x) }{x-\ln (x) } & \text{si }x>0 \\ \hfill -1 \hfill &\text{ si } x=0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\).

      Déterminer l’ensemble de définition \(D\) de la fonction \(f.\)

2. 1. Montrer que \(f\) est continue sur \(D.\)

   2. Montrer que \(f\) est dérivable (à droite) en \(0\) et que \(% f_{d}^{\prime }\left( 0\right) =0.\)

3. 1. Justifier que \(f\) est dérivable sur \(D\setminus \left\{ 0\right\}\) et calculer \(f^{\prime }(x)\) pour tout \(x\) de \(D\setminus \left\{ 0\right\} .\)

   2. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty .\)

   3. Dresser le tableau de variations de \(f.\)

4. Étudier le signe de \(f(x) .\)

5. Pour tout réel \(x\) élément de \(D,\) on pose \(\displaystyle F( x) =\int_{0}^{x}f( t) \,\mathrm{d}t\).

   1. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(D\) puis é tudier ses variations.

   2. Déterminer \(\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{x}\frac{% \ln(t)}{t} \,\mathrm{d}t.\)

   3. En déduire \(\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{x}\frac{% \ln(t)}{t-\ln(t)} \,\mathrm{d}t\) puis \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }F(x) .\)

Problème

On lance une pièce équilibrée, la probabilité d’obtenir pile et celle d’obtenir face étant toutes deux égales à \(% \frac{1}{2}\) et on note \(Z\) la variable aléatoire égale au rang du lancer où l’on obtient le premier pile.

Après cette série de lancers, si \(Z\) a pris la valeur \(k\) (\(k\in \mathbb{N}^{\ast }\)), on remplit une urne de \(k\) boules numérotées \(1,2,\dots,k\) puis on extrait au hasard une boule de cette urne.

On note \(X\) la variable aléatoire égale au numéro de la boule tir ée après la procédure décrite ci-dessus.

1. On décide de coder l’événement « obtenir pile » par \(0\) et l’événement « obtenir face » par \(1.\)

   On rappelle que la commande rd.randint(k) (où \(k\) désigne un entier supérieur ou égal à \(1\)) renvoie un entier aléatoire compris entre \(0\) et \(k-1.\)

   1. Compléter le programme suivant pour qu’il affiche la valeur prise par \(Z\) lors de la première partie de l’expérience décrite ci-dessus.

   2. Quelle instruction faut-il rajouter avant la dernière ligne de ce programme pour qu’il simule l’expérience aléatoire décrite dans ce problème et affiche la valeur prise par la variable aléatoire \(X\) ?

2. Établir la convergence de la série de terme général \(\frac{% 1}{k}\left( \frac{1}{2}\right) ^{k}\) (\(k\in \mathbb{N}^{\ast }\)).

3. Rappeler la loi de \(Z\) ainsi que son espérance et sa variance.

4. 1. Pour tout couple \(\left( i,k\right)\) de \(\mathbb{N}^{\ast }\times \mathbb{N}^{\ast },\) déterminer la probabilité \(\mathbb{P}_{\left[ Z=k\right] }( X=i)\).

   2. En déduire que : \(\displaystyle \forall i\in \mathbb{N}^{\ast }\), \(\displaystyle \mathbb{P}( X=i) =\sum\limits_{k=i}^{+\infty }\frac{1}{k}\left( \frac{1}{2}% \right) ^{k}.\)

   3. On admet dans cette question que \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{+\infty }\sum\limits_{k=i}^{+\infty }=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }\sum\limits_{i=1}^{k}\). Vérifier que \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{+\infty }% \mathbb{P}( X=i) =1\).

5. 1. Montrer que, pour tout entier naturel \(i\) non nul, on a : \(i \, \mathbb{P}( X=i) \leqslant \left( \frac{1}{2}\right) ^{i-1}\).

   2. En déduire que \(X\) possède une espérance.

   3. Montrer, en admettant qu’il est licite de permuter les symboles \(\sum\) comme dans la question 4c), que \[\mathbb{E}( X) =\frac{3}{2}\]

6. 1. Utiliser le résultat de la question 5a) pour montrer que \(X^2\) a une espérance.

   2. Établir, alors, toujours en admettant qu’il est licite de permuter les symboles \(\sum\) comme dans la question 4c), que \[\mathbb{E}( X^{2}) =\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{+\infty }\left( k+1\right) \left( 2k+1\right) \left( \frac{1}{2}\right) ^{k}\]

   3. Déterminer des réels \(a,b\) et \(c\) tels que : \(\forall k\in \mathbb{N}^{\ast }\), \(\left( k+1\right) \left( 2k+1\right) =ak\left( k-1\right) +bk+c\).

   4. En déduire la valeur de \(\mathbb{E}( X^{2})\) et vérifier que \(\mathbb{V}( X) =\dfrac{11}{12}\).

7. 1. Écrire l’inégalité de Bienaymé-Chebychev, pour la variable \(X\).

   2. En déduire \(\mathbb{P}( X\geqslant 3) \leqslant \dfrac{11}{27}\).

8. On se propose de calculer \(\mathbb{P}( X=1) ,\) \(\mathbb{P}% ( X=2)\) et \(\mathbb{P}( X\geqslant 3) .\)

   1. Écrire explicitement en fonction de \(x\) et \(n\) la somme \(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}x^{k-1}\) (\(n\) désignant un entier naturel non nul et \(x\) un réel différent de 1).

   2. En déduire que : \(\displaystyle \forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\left( \frac{1}{2}\right) ^{k}=\ln ( 2) -\int_{0}^{1/2}\frac{x^{n}}{1-x} \,\mathrm{d}x\).

   3. Montrer que \(\displaystyle \forall n\in \mathbb{N}^{\ast }\) : \(\displaystyle 0\leqslant \int_{0}^{1/2}\frac{% x^{n}}{1-x} \,\mathrm{d}x\leqslant \left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\).

      En déduire la valeur de \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\int_{0}^{1/2}\frac{x^{n}}{1-x} \,\mathrm{d}x\).

   4. Établir alors que \(\mathbb{P}( X=1) =\ln ( 2)\). puis donner la valeur de \(\mathbb{P}( X=2)\).

   5. Utiliser les résultats précédents pour calculer \(\mathbb{P}% ( X\geqslant 3)\), puis donner une valeur approchée de \(\mathbb{P}% ( X\geqslant 3)\) en prenant \(\ln( 2) \simeq 0,7\). Que peut-on en dé duire en ce qui concerne le majorant trouvé à la septième question ?