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Montrer que l’on définit bien une unique suite réelle \((u_n)_{n\geqslant 1}\) à termes strictement positifs en posant \(u_1=1\) et, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\) : \[u_n=\frac{1}{2n-1}\sum_{j=1}^{n-1} u_j\]
Vérifier que \(u_2=\dfrac{1}{3}\) puis calculer \(u_3\).
Montrer que la série de terme général \(u_n\) est divergente et donner \(\lim\limits_{n\to+\infty}\displaystyle\sum_{j=1}^n u_j\).
Établir : \[\forall n\geqslant 2,\ u_{n+1}=\frac{2n}{2n+1}\,u_n\]
En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
Donner un équivalent de \(\ln\!\left(\dfrac{u_n}{u_{n+1}}\right)\) lorsque \(n\) est au voisinage de \({+\infty}\) puis déterminer la nature de la série de terme général \(\ln\!\left(\dfrac{u_n}{u_{n+1}}\right)\).
En déduire la limite de \(\ln(u_n)\) quand \(n\) tend vers \({+\infty}\) puis que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0\]
Montrer que : \[\forall n\geqslant 2,\ u_n=\frac{4^n}{4n\binom{2n}n}\]
En utilisant la question 2, déterminer la limite de \(nu_n\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\) puis montrer que : \[\binom {2n}n \underset {n\to {+\infty}}= \circ(4^n)\]
En utilisant le résultat de la question 3, montrer que : \[\frac{4^n}{n} \underset {n\to {+\infty}}= \circ\!\left(\!\binom {2n}n\!\right)\]
On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), indépendantes et suivant toutes deux la loi normale centrée réduite (de densité notée \(\varphi\) et de fonction de répartition notée \(\Phi\)).
On pose \(Z=\sup(X,Y)\) et l’on se propose de déterminer la loi de \(Z\) ainsi que son espérance et sa variance.
Montrer que \(Z\) est une variable aléatoire à densité sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Vérifier que \(Z\) admet pour densité la fonction \(f\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=2\varphi(x)\,\Phi(x)\]
Rappeler la valeur de l’intégrale \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\,\mathrm{d}t\).
En déduire la convergence et la valeur de l’intégrale \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\).
En remarquant que, pour tout réel \(x\), \(\varphi'(x)=-x\varphi(x)\), montrer, grâce à une intégration par parties, que : \[\int_0^{+\infty}xf(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+\frac{1}{\pi}\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\]
Montrer de même que : \[\int_{-\infty}^0 xf(x)\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^0 \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\]
En déduire que \(Z\) a une espérance et donner sa valeur.
Montrer que \(X^2\) et \(Z^2\) suivent la même loi.
Déterminer \(\mathbb{E}(Z^2)\) puis donner la valeur de la variance de \(Z\).
Un mobile se déplace sur les points à coordonnées entières d’un axe d’origine \(O\). Au départ, le mobile est à l’origine (point d’abscisse \(0\)). Le mobile se déplace selon la règle suivante : s’il est sur le point d’abscisse \(k\) à l’instant \(n\), alors, à l’instant \((n+1)\) il sera sur le point d’abscisse \((k+1)\) avec la probabilité \(\displaystyle \frac{k +1}{k+2}\) ou sur le point d’abscisse \(0\) avec la probabilité \(\displaystyle \frac{1}{k+2}\) .
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), on note \(X_n\) l’abscisse de ce point à l’instant \(n\) et l’on a donc : \(X_0 = 0\).
On admet que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(X_n\) est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et on pose : \(u_n=\mathbb{P}(X_n=0)\).
Vérifier que \(X_1(\Omega)=\{0,1\}\) puis donner la loi de \(X_1\).
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(X_n(\Omega)=\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\).
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}(X_n=k) =\frac{k}{k+1} \;\mathbb{P}(X_{n-1}=k-1)\]
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}(X_n=k) =\frac{1}{k+1}\,u_{n-k}\]
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \sum_{j=0}^n \frac{u_j}{n-j+1}=1\]
Retrouver ainsi les valeurs de \(u_0\) et \(u_1\) puis déterminer \(u_2\) et \(u_3\).
En remarquant que la relation obtenue dans la question 3a peut s’écrire sous la forme \[(k+1)\,\mathbb{P}(X_n=k)=k\,\mathbb{P}(X_{n-1}=k-1)\] montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{E}(X_n)-\mathbb{E}(X_{n-1})=u_n\]
En déduire, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(\mathbb{E}(X_n)\) sous forme de somme mettant en jeu certains termes de la suite \((u_n)\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, donner la valeur de \(\displaystyle \sum_{j=0}^{n-1} \frac{u_j}{n-j}\) et vérifier que : \[u_n+\sum_{j=0}^{n-1} \frac{u_j}{n-j+1}=1\]
Déduire de ces deux résultats que : \[u_n=\sum_{j=0}^{n-1} \frac{u_j}{(n-j)(n-j+1)}\]
Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\), \(\displaystyle u_n\geqslant \frac{1}{n+1}\). Déterminer ensuite \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \mathbb{E}(X_n)\).
On note \(T\) l’instant auquel le mobile se trouve pour la première fois à l’origine (sans compter son positionnement au départ) et on admet que \(T\) est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
On convient que \(T\) prend la valeur \(0\) si le mobile ne revient jamais en \(O\).
Par exemple, si les abscisses successives du mobile après son départ sont \(0, 0, 1, 2, 0, 0, 1\), alors on a \(T= 1\). Si les abscisses successives sont : \(1, 2, 3, 0, 0, 1\), alors on a \(T= 4\).
Pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), exprimer l’événement \((T = k)\) en fonction d’événements mettant en jeu certaines des variables \(X_i\).
Montrer que : \[\forall k\in\mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{P}(T=k)=\frac{1}{k \left( k+1 \right)}\]
Déterminer des constantes \(a\) et \(b\) telles que : \[\forall k\in\mathbb{N}^\ast,\ \frac{1}{k \left( k+1 \right)}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}\]
En déduire que \(\mathbb{P}(T=0)=0\), puis interpréter ce dernier résultat.
La variable \(T\) a-t-elle une espérance ?
Compléter les instructions manquantes pour que le programme
Python suivant, dans lequel \(n\) est déclaré comme constante (ici \(n = 100\)), calcule et affiche \(u_0,u_1,\dots,u_n\), ainsi que l’espérance
de \(X_n\) (stockée dans
E) :
Compléter le programme suivant pour qu’il simule l’expériene et affiche la valeur prise par \(T\).
On rappelle que, si \(k\) est un
entier naturel non nul, l’instruction
rd.randint(k) renvoie aléatoirement un entier
compris entre \(0\) et \(k-1\).
Est-on certain que le nombre de passages dans la boucle «
while » est fini ?
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