EDHEC 2006Maths appliquées

Exercice 1

Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{R}^{3}\) est : \[A=% \begin{pmatrix} 2 & 10 & 7 \\ 1 & 4 & 3 \\ -2 & -8 & -6% \end{pmatrix}%\]

On note \(I\) la matrice unité et \(O\) la matrice nulle de \(\mathcal{M}_{3}(% \mathbb{R})\) et on pose \(u=(2,1,-2)\)

1. 1. Montrer que \(\mathrm{Ker}(f)=\mathrm{Vect}(u)\).

   2. La matrice \(A\) est-elle inversible ?

2. 1. Déterminer le vecteur \(v\) de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la \(2\)-ième coordonné e dans \(B\) vaut 1, et tel que \(f(v)=u.\)

   2. Démontrer que le vecteur \(w\) de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la \(2\)-ième coordonnée dans \(B\) vaut 1 et qui vérifie \(f(w)=v\) est \(w=(0,1,-1)\).

   3. Montrer que \((u,v,w)\) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\) que l’on notera \(\mathcal{B}^{\prime }\). On note \(P\) la matrice de passage de la base \(% \mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{B}^{\prime }\).

3. 1. Écrire la matrice \(N\) de \(f\) relativement à la base \(\mathcal{B}^{\prime }\) puis déterminer la seule valeur propre de \(N\). La matrice \(N\) est-elle diagonalisable ?

   2. Donner la relation liant les matrices \(A,N,P\) et \(P^{-1}\), puis en dé duire que, pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 3, on a : \(A^{k}=O\).

4. On note \(C_{N}\) (respectivement \(C_{A}\)) l’ensemble des matrices de \(% \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) qui commutent avec \(N\) (respectivement \(A\)).

   1. Montrer que \(C_{N}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{3}(% \mathbb{R})\) et que \(C_{N}=\mathrm{Vect}(I,N,N^{2})\).
      On admet que \(C_{A}\) est aussi un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{3}(% \mathbb{R})\).

   2. Établir que : \(M\in C_{A} \Leftrightarrow P^{-1}MP\in C_{N}\). En déduire que \(C_{A}=\mathrm{Vect}(I,A,A^{2})\).

      Quelle est la dimension de \(% C_{A}\) ?

Exercice 2

On considère la fonction \(f\) définie par \(f (x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2 \left( 1-x \right) ^{2}} & \text{si }x\in \left[ 0,\dfrac{1}{2}\right[ \\ \hfill \dfrac{1}{2x^{2}} \hfill & \text{si }x\in \left[ \dfrac{1}{2},1\right[ \rule[0pt]{0pt}{20pt} \\ \hfill 0 \hfill & \text{si }x\in \mathbb{R}\backslash \left[ 0,1\right[ \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\).

1. Montrer que \(f\) peut être considérée comme une densité de probabilité.

   Dans toute la suite, on considère une variable aléatoire \(X\) définie sur un certain espace probabilisé \((\Omega ,A,\mathbb{P})\) et admettant la fonction \(f\) pour densité.

2. Déterminer la fonction de répartition \(F\) de \(X\).

3. Montrer que \(X\) a une espérance et que celle-ci vaut \(\dfrac{1}{2}\).

4. 1. Déterminer \(\mathbb{E}((X-1)^{2})\).

   2. En déduire que \(X\) a une variance et que \(\mathbb{V}(X)=\dfrac{3}{4}-\ln (2)\).

5. On appelle variable indicatrice d’un événement \(A\) la variable de Bernoulli qui vaut 1 si \(A\) est réalisé et 0 sinon. On considère maintenant la variable aléatoire \(Y\), indicatrice de l’événement \(\left[ X\leqslant \frac{1}{2} \right]\) et la variable aléatoire \(Z\), indicatrice de l’événement \(\left[ X> \frac{1}{2} \right]\).

   1. Préciser la relation liant \(Y\) et \(Z\) puis établir sans calcul que le coefficient de corrélation linéaire de \(Y\) et \(Z\), noté \(\rho (Y,Z)\), est é gal à \(-1.\)

   2. En déduire la valeur de la covariance de \(Y\) et \(Z\).

Exercice 3

Soit \(f\) la fonction définie pour tout couple \((x,y)\) de \(\mathbb{R}^{2}\) par : \[f(x,y)=2x^{2}+2y^{2}+2xy-x-y\]

1. 1. Calculer les dérivées partielles premières de \(f\).

   2. En déduire que le seul point critique de \(f\) est \(A=\left( \dfrac{1}{6}% ,\dfrac{1}{6}\right)\).

2. 1. Calculer les dérivées partielles secondes de \(f\).

   2. Montrer que \(f\) présente un minimum local en \(A\) et donner la valeur \(m\) de ce minimum.

3. 1. Développer \(2\left( x+\dfrac{y}{2}-\dfrac{1}{4}\right) ^{2}+\dfrac{3}{2% }\left( y-\dfrac{1}{6}\right) ^{2}\).

   2. En déduire que \(m\) est le minimum global de \(f\) sur \(\mathbb{R}^{2}\).

4. On considère la fonction \(g\) définie pour tout couple \((x,y)\) de \(% \mathbb{R}^{2}\), par : \[g(x,y)=2 \,\mathrm{e}^{2x}+2\,\mathrm{e}^{2y}+2\,\mathrm{e}^{x+y}- \mathrm{e}^{x}- \mathrm{e}^{y}\]

   1. Utiliser la question 3 pour établir que : \(\forall (x,y)\in \mathbb{R}% ^{2},\ g(x,y)\geqslant -\frac{1}{6}\).

   2. En déduire que \(g\) possède un minimum global sur \(\mathbb{R}^{2}\) et pr éciser en quel point ce minimum est atteint.

Problème

Partie I : Étude d’une variable discrète sans mémoire

Soit \(X\) une variable aléatoire discrète, à valeurs dans \(\mathbb{N}\), telle que : \(\forall m\in \mathbb{N},\ \mathbb{P}( X\geqslant m)>0\).

On suppose également que \(X\) vérifie : \(\forall (m,n)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N},\ \mathbb{P}_{(X \geqslant m)}(X\geqslant n+m)=\mathbb{P}( X\geqslant n)\).

On pose \(\mathbb{P}( X=0)=p\) et on suppose que \(p>0\).

1. On pose \(q=1-p\). Montrer que \(\mathbb{P}( X\geqslant 1)=q\). En déduire que \(0<q<1\).

2. Montrer que : \(\forall (m,n)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N},\ \mathbb{P}( X\geqslant n+m)=\mathbb{P}( X\geqslant m) \, \mathbb{P}( X\geqslant n)\).

3. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) on pose \(u_{n}=\mathbb{P}( X\geqslant n)\).

   1. Utiliser la relation obtenue à la deuxième question pour montrer que la suite \((u_{n})\) est géométrique.

   2. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), exprimer \(\mathbb{P}( X\geqslant n)\) en fonction de \(n\) et de \(q\).

   3. Établir que : \(\forall n\in \mathbb{N},\ \mathbb{P}( X=n)=\mathbb{P}( X\geqslant n)-\mathbb{P}( X\geqslant n+1)\).

   4. En déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), on a \(\mathbb{P}( X=n)=q^{n}p\).

4. 1. Reconnaître la loi suivie par la variable \(X+1\).

   2. En déduire \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathbb{V}(X)\).

Partie II : Taux de panne d’une variable discrète

Pour toute variable aléatoire \(Y\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) et telle que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{P}( Y\geqslant n)>0\), on définit le taux de panne de \(Y\) à l’instant \(n\), noté \(\lambda _{n}\) par : \(\forall n\in \mathbb{N},\ \lambda _{n}=\mathbb{P}_{[ Y \geqslant n ]}(Y= n).\)

5. 1. Montrer que : \(\forall n\in \mathbb{N},\ \lambda _{n}=\dfrac{\mathbb{P}( Y=n)% }{\mathbb{P}( Y\geqslant n)}.\)

   2. En déduire que : \(\forall n\in \mathbb{N},\ 1-\lambda _{n}=\dfrac{% \mathbb{P}( Y\geqslant n+1)}{\mathbb{P}( Y\geqslant n)}.\)

   3. Établir alors que : \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(0\leqslant \lambda _{n}<1\).

   4. Montrer par récurrence, que : \(\forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\ \mathbb{P}( Y\geqslant n)=\displaystyle \prod\limits_{k=0}^{n-1}(1-\lambda _{k}).\)

6. 1. Montrer que : \(\forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\ \displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n-1}\mathbb{P}( Y=k)=1-\mathbb{P}( Y\geqslant n)\)

   2. En déduire que : \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathbb{P}( Y\geqslant n)=0\).

   3. Montrer que :\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n-1}-\ln (1-\lambda _{k})=+\infty\).

   4. Conclure quant à la nature de la série de terme général \(\lambda _{n}\).

7. 1. On considère la fonction récursive suivante en langage Python :

      Quel est le résultat renvoyé à l’appel de g(a,n) ?

   2. Proposer un programme Python utilisant la fonction précédente et permettant d’une part le calcul de la somme \(\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{a^{k}}{k!} \, \mathrm{e}^{-a}\) et d’autre part, à l’aide du résultat de la question l.a), le calcul et l’affichage du taux de panne à l’instant \(n\) d’une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre \(% a>0\), lorsque \(n\) et \(a\) sont entrés au clavier par l’utilisateur (on supposera \(n\geqslant 1\)).

Partie III : Caractérisation des variables dont la loi est du type de celle de \(X\)

8. Déterminer le taux de panne de la variable \(X\) dont la loi a été trouvé e à la question 3d) de la partie 1.

9. On considère une variable aléatoire \(Z\), à valeurs dans \(\mathbb{N}\), et vérifiant : \(\forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\ \mathbb{P}( Z\geqslant n)>0\).

   On suppose que le taux de panne de \(Z\) est constant, c’est-à-dire que l’on a : \(\forall n\in \mathbb{N},\ \lambda _{n}=\lambda\).

   1. Montrer que \(0<\lambda <1\).

   2. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), déterminer \(\mathbb{P}( Z\geqslant n\)) en fonction de \(\lambda\) et \(n\).

   3. Conclure que les seules variables aléatoires \(Z\) à valeurs dans \(% \mathbb{N}\) dont le taux de panne est constant et telles que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N},\ \mathbb{P}( Z\geqslant n)>0\), sont les variables dont la loi est du type de celle de \(X\).