EDHEC 2005Maths approfondies

Exercice 1

Dans tout cet exercice, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et on note \(I\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

On note \(\mathrm{Tr}\) l’application trace, qui à une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) associe la somme de ses coefficients diagonaux et on rappelle que \(\mathrm{Tr}\) est une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

1. 1. Prouver que : \(\mathrm{Im}(\mathrm{Tr})= \mathbb{R}\).

   2. En déduire la dimension de \(\mathrm{Ker}(\mathrm{Tr})\).

   3. Prouver que : \[\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathrm{Ker}(\mathrm{Tr}) \oplus \mathrm{Vect}(I)\]

2. Soit \(f\) l’application définie sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) par : \[\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\ f(M) = M + \mathrm{Tr}(M)\, I\]

   1. Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

   2. En utilisant le résultat de la question 1, montrer que \(f\) est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.

   3. En déduire que \(f\) est un automorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

3. Soit \(J\) une matrice non nulle de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et de trace nulle et \(g\) l’endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) défini par : \[\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\ g(M) = M + \mathrm{Tr}(M)\, J\]

   1. Démontrer que le polynôme \(P\) tel que \(P(x)=x^2-2x+1\) est un polynôme annulateur de \(g\).

   2. Montrer que \(1\) est la seule valeur propre de \(g\).

   3. \(g\) est-il diagonalisable ?

Exercice 2

Pour tout réel \(x\), on note \(\lfloor x\rfloor\) la partie entière de \(x\) et on rappelle que \(\lfloor x\rfloor\) est le seul entier vérifiant : \(\lfloor x\rfloor \leqslant x<\lfloor x\rfloor+1\).

On considère une variable aléatoire \(X\) définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) (avec \(\lambda>0\)). On note \(F\) sa fonction de répartition. On pose \(X_1=\lfloor X\rfloor\), \(X_2=\left\lfloor 10\left(X-X_1\right)\right\rfloor\) et l’on admet que \(X_1\) et \(X_2\) sont des variables aléatoires définies elles aussi sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

1. 1. Déterminer \(X_1(\Omega)\).

   2. Pour tout \(k\) de \(X_1(\Omega)\), exprimer \(\mathbb{P}( X_1=k)\) à l’aide de \(F\).

   3. En déduire que \(X_1+1\) suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre.

   4. Déterminer \(\mathbb{E}(X_1)\) en fonction de \(\lambda\).

2. 1. Déterminer \(X_2(\Omega)\) et dire ce que représente \(X_2\).

   2. Justifier que, pour tout \(k\) élément de \(\{0,1, \ldots, 9\}\) :

      \[\mathbb{P}( X_2=k)=\sum_{i=0}^{+\infty} \mathbb{P}( [ X_1=i ] \cap [ X_2=k] )\] puis montrer que, pour tout \(k \in\{0,1, \ldots, 9\}\) :

      \[\mathbb{P}( X_2=k )=\sum_{i=0}^{+\infty}\left[ F \! \left(i+\frac{k+1}{10}\right)-F \! \left(i+\frac{k}{10}\right)\right]\] En déduire que, pour tout \(k \in\{0,1, \ldots, 9\}\) : \[\mathbb{P}( X_2=k)=\mathrm{e}^{ -\frac{\lambda k}{10}} \, \frac{1-\mathrm{e}^{ -\frac{\lambda}{10}}}{1-\mathrm{e}^{ -\lambda}}\]

3. Montrer que \(X_1\) et \(X_2\) sont indépendantes.

Exercice 3

Dans cet exercice, \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction de \(n\) variables réelles, notée \(f\), définie par : \[\forall\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n, \ f(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sum_{k=1}^n x_k^2+\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2-\sum_{k=1}^n x_k\]

1. 1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^2\) sur \(\mathbb{R}^n\).

   2. Calculer les dérivées premières et secondes de \(f\).

2. 1. Déterminer le seul point critique \(\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)\) de \(f \operatorname{sur} \mathbb{R}^n\).

   2. Vérifier que la hessienne de \(f\) en ce point est la matrice \(A_n=2\left(I_n+J_n\right)\), où \(I_n\) désigne la matrice unité de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(J_n\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dont tous les éléments sont égaux à 1.

3. 1. Déterminer le rang de \(J_n\). En déduire que 0 est valeur propre de \(J_n\) et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.

   2. Calculer le produit \(J_n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}\).

   3. À l’aide des questions précédentes, donner les valeurs propres de \(J_n\), puis celles de \(A_n\).

4. En déduire que \(f\) admet un minimum local en \(\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)\) et vérifier que ce minimum est égal à \(-\dfrac{n}{4 \left( n+1 \right)}\).

Problème

On dispose de deux jetons équilibrés \(J_1\) et \(J_2\). Le jeton \(J_1\) possède une face numérotée \(0\) et une face numérotée \(1\). Le jeton \(J_2\) possède deux faces numérotées \(1\).

Un joueur choisit au hasard un jeton puis effectue une série de lancers indépendants de ce jeton. On note \(E\) l’événement « le jeton \(J_1\) est choisi pour le jeu » et, pour tout entier naturel \(k\) non nul, \(U_k\) l’événement « le \(k^{\grave{e}me}\) lancer fait apparaître une face numérotée \(1\) ».

Partie 1 : étude de quelques variables aléatoires liées à cette épreuve

1. Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\).

   1. Déterminer la probabilité que le joueur obtienne \(n\) fois une face portant le numéro \(1\) lors des \(n\) premiers lancers.

   2. Dans cette question, on suppose que le joueur a obtenu \(n\) fois une face portant le numéro \(1\) au cours des \(n\) premiers lancers. Quelle est la probabilité qu’il ait joué avec le jeton \(J_1\) ? Quelle est la limite de cette probabilité lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\) ? Interpréter ce résultat.

2. Dans la suite, on note \(X\) le rang d’apparition de la première face portant le numéro \(0\) si cela arrive \(X=0\) si la face portant le numéro \(0\) n’apparaît jamais. On note également \(Y\) le rang d’apparition de la première face portant le numéro \(1\) si cela arrive et \(Y=0\) si la face \(1\) n’apparaît jamais.

   On admet qu’il existe un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) (que l’on ne cherchera pas à déterminer) sur lequel \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires réelles.

   1. Calculer, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(\mathbb{P}(X=n)\).

   2. En déduire la valeur de \(\mathbb{P}(X=0)\). Ce résultat était-il prévisible ?

   3. Montrer que \(X\) admet une espérance et calculer \(\mathbb{E}(X)\).

   4. Montrer que \(X\left( X-1 \right)\) admet une espérance, la calculer puis vérifier que : \(\mathbb{V}(X)=2\).

3. 1. Calculer, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(\mathbb{P}(Y=n)\).

   2. En déduire la valeur de \(\mathbb{P}(Y=0)\).

   3. Montrer que \(Y\) a une espérance puis déterminer \(\mathbb{E}(Y)\).

   4. Montrer que \(Y \left( Y-1 \right)\) admet une espérance, la calculer puis vérifier que : \(\mathbb{V}(Y)=\dfrac{5}{4}\).

4. On définit sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) la variable aléatoire \(S=\sup(X,Y)\) par : \[\forall \, \omega\in\Omega,\ S(\omega)=\max(X(\omega),Y(\omega))\]

   1. Déterminer \(S(\Omega)\).

   2. Montrer que : \(\mathbb{P}(S=1)=\mathbb{P}(X=0)=\dfrac{1}{2}\).

   3. Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\), comparer les événement \([X=n]\) et \([Y<n]\) d’une part, les événements \([Y=n]\) et \([X<n]\) d’autre part puis en déduire que : \[[S=n]=[X=n] \cup [Y=n]\]

   4. Reconnaître alors la loi de \(S\) et préciser son espérance et sa variance.

5. On définit sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) la variable aléatoire \(I=\inf(X,Y)\) par : \[\forall \, \omega\in\Omega,\ I(\omega)=\min(X(\omega),Y(\omega))\]

   1. Montrer que \(I\) est une variable de Bernoulli.

   2. Calculer \(\mathbb{P}(I=0)\) puis donner la loi de \(I\) ainsi que son espérance et sa variance.

Partie 2 : simulation des variables \(X\) et \(Y\)

6. On considère le script suivant :

   1. Expliquer le fonctionnement de ce script et déterminer le contenu de la variable affichée à la fin.

   2. Est-on certain que le nombre de passages dans la boucle while est fini ?

7. Écrire un script renvoyant la valeur de \(Y\) et n’utilisant pas de boucle while.