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Dans tout l’exercice, \(X\) est une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre \(\lambda >0\).
Une première inégalité.
Montrer que \(\mathbb{P}(\left\vert X-\lambda \right\vert \geqslant \lambda )\leqslant {\dfrac{1}{\lambda }}\).
En déduire l’inégalité \[\mathbb{P}( X\geqslant 2\lambda )\leqslant {\dfrac{1}{\lambda }} \tag{$*$}\]
Première amélioration de l’inégalité (\(\ast\)).
Soit \(Y\) une variable aléatoire discrète, à valeurs positives et ayant une espérance.
On note \(Y(\Omega )=\{y_{0},y_{1},\dots ,y_{n},\dots \}\).
En minorant \(\mathbb{E}(Y)\), montrer l’inégalité de Markov : \[\forall a>0,\ \mathbb{P}( Y\geqslant a)\leqslant {\dfrac{\mathbb{E}(Y)}{a}}.\]
On considère une variable aléatoire discrète \(Z\), d’espérance nulle et de variance \(\sigma ^{2}\).
Montrer que, pour tout couple \((a,x)\)
de \(\left] 0,+\infty \right[ \times
\mathbb{R%
}_{+}\) : \[\mathbb{P}( Z\geqslant
a)\leqslant \mathbb{P}( (Z+x)^{2}\geqslant (a+x)^{2})\]
En appliquant l’inégalité obtenue en 2a à la variable alé atoire \((Z+x)^{2}\), montrer que : \[\forall a>0,\ \forall x\geqslant 0,\ \mathbb{P}( Z\geqslant a)\leqslant {\frac{% \sigma ^{2}+x^{2}}{(a+x)^{2}}}\]
En déduire que : \[\forall a>0,\ \mathbb{P}( Z\geqslant a)\leqslant {\dfrac{\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+a^{2}}}\]
On pourra étudier la fonction \(f\) qui, à tout \(x\) de \(\mathbb{R}_{+}\), associe \({\dfrac{\sigma ^{2}+x^{2}}{(a+x)^{2}}}\).
Utiliser cette dernière inégalité pour montrer que : \(% \mathbb{P}( X\geqslant 2\lambda )\leqslant {\dfrac{1}{\lambda +1}}\) .
Deuxième amélioration de l’inégalité (\(\ast\)).
Pour tout réel \(t\), on pose \(\displaystyle G_{X}(t)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty }\mathbb{P}( X=k) \, t^{k}\).
Justifier l’existence de \(G_{X}(t)\) et montrer que : \(% G_{X}(t)= \mathrm{e}^{\lambda (t-1)}\).
Montrer que : \[\forall t\in \left[ 1,+\infty \right[ ,\ \forall a>0,\ \mathbb{P}( X\geqslant a)\leqslant {\dfrac{G_{X}(t)}{t^{a}}}\]
Déterminer le minimum sur \([1,+\infty \lbrack\) de la fonction \(% g:t\mapsto {\dfrac{\mathrm{e}^{t-1}}{t^{2}}}\).
En déduire que : \(\mathbb{P}( X\geqslant 2\lambda )\leqslant \left( {\dfrac{\mathrm{e}}{4}}% \right)^{\lambda }\).
Montrer que cette dernière amélioration est meilleure que celle obtenue à la question 2e dès que \(\lambda\) prend des valeur assez grandes.
On pose, lorsque c’est possible, \(\displaystyle f(x)=\int_{1}^{+\infty }% {\dfrac{dt}{1+t+t^{x+1}}}\).
Montrer que le domaine de définition de la fonction \(f\) est \(]0,+\infty \lbrack\).
Montrer que \(f\) est décroissante sur \(]0,+\infty \lbrack\).
Justifier l’existence de la quantité \(g(x)\) définie sur \(]0,+\infty \lbrack\) par \(\displaystyle g(x)=\int_{1}^{+\infty }{\dfrac{\mathrm{d}t}{t \left(1+t^{x} \right)}}\).
Pour tout \(x\) de \(]0,+\infty \lbrack\) et pour tout \(t\) de \([1,+\infty \lbrack\), simplifier \({\dfrac{1}{t}}-{\dfrac{t^{x-1}}{1+t^{x}}}\), puis é tablir que : \[\forall x\in \left] 0,+\infty \right[ ,\ g(x)={\dfrac{\ln( 2)}{x}}\]
En déduire que : \[\forall x\in \left] 0,+\infty \right[ ,\ 0\leqslant f(x)\leqslant {\dfrac{\ln (2)% }{x}}\] puis déterminer \(\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)\).
Montrer que : \[\forall x\in \left] 0,+\infty \right[ ,\ 0\leqslant {\dfrac{\ln (2)}{x}}% -f(x)\leqslant {\dfrac{1}{2x+1}}\]
En déduire la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(0^{+}\) ainsi qu’un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) est au voisinage de \(0^{+}\).
Dresser le tableau de variation de \(f\).
On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), définies toutes les deux sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), indépendantes et suivant la loi uniforme sur \([0,1]\). On pose \(Z=X+Y\).
Déterminer une densité de \(Z\).
Montrer que, pour tout \(x\) de \(]0,1[\), les événements \([ Z>1 ]\) et \(% [ 1 -x<Z\leqslant 1+x ]\) sont indépendants.
On pose \(T=\max (X,Y)\). On admet que \(T\) est une variable aléatoire dé finie elle aussi sur l’espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Montrer que \(T\) est une variable à densité puis donner une densité de \(% T\).
En déduire que \(T\) possède une espérance \(\mathbb{E}(T)\) et la déterminer.
On pose \(U=\left\vert X-Y\right\vert\) et on admet que \(U\) est une variable aléatoire définie elle aussi sur l’espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\). Montrer que \(U\) est combinaison linéaire de \(Z\) et \(T\), puis en déduire l’espérance de \(U\).
Dans tout le problème, la lettre \(n\) désigne un entier naturel.
On note \(E_{n}\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des fonctions réelles de classe \(\mathcal C^{n}\) sur \([0,1]\).
En particulier, \(E_{0}\) est le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des fonctions ré elles continues sur \([0,1]\).
On note \(N\) l’ensemble des fonctions \(f\) de \(E_{2}\) vérifiant de plus \(% f(0)=f(1)=0\).
On considère l’application \(u\) de \(N\) dans \(E_{0}\) qui, à toute fonction \(f\) de \(N\) associe sa dérivée seconde, notée \(f^{\prime \prime }\).
Montrer que \(N\) est un sous-espace vectoriel de \(E_{2}\).
Montrer que \(u\) est une application linéaire injective.
Soit \(g\) un élément de \(E_{0}\). Pour tout \(x\) de \([0,1]\), on pose \[G(x)={\dfrac{1}{2}}\int_{0}^{1}\left\vert x-t\right\vert g(t) \,\mathrm{d}t\]
Justifier que \(G\) est élément de \(E_{1}\) et montrer que : \[\forall x\in \lbrack 0,1],\ G^{\prime }(x)={\frac{1}{2}}% \left( \int_{0}^{x}g(t) \,\mathrm{d}t-\int_{x}^{1}g(t) \, \mathrm{d}t\right)\]
En déduire que \(G\) est élément de \(E_{2}\) et déterminer \(G^{\prime \prime }\).
Pour tout \(x\) de \([0,1]\), on pose \(H(x)=G(x)+ax+b\).
Déterminer les réels \(a\) et \(b\) (sous forme d’intégrales) pour que \(H\) appartienne à \(N\).
Déterminer \(u(H)\) puis en déduire que \(u\) est surjective.
Que peut-on déduire des questions 2 et 3d ?
Vérifier que, pour tout \(x\) élément de \([0,1]\). \[(u^{-1})(g)(x)={\dfrac{1}{2}}\int_{0}^{1}\left\vert x-t\right\vert g(t) \,\mathrm{d}t-{\dfrac{1}{2}}\int_{0}^{1}tg(t) \, \mathrm{d}t-{\dfrac{x}{2}}% \int_{0}^{1} \left( 1-2t \right) g(t) \,\mathrm{d}t\]
On note \(P_{n}\) l’espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degr é inférieur ou égal à \(n\). Pour tout entier naturel \(k\) et pour tout réel \(x\), on pose \(e_{k}(x)=x^{k}\) , avec bien sûr \(e_{0}(x)=1\), et on rappelle que \(\mathcal{B}% =(e_{0},e_{1},\dots ,e_{n})\) est une base de \(P_{n}\).
On note \(N_{n}\) le sous-espace vectoriel de \(P_{n}\) constitué des fonctions polynomiales \(P\) de degré inférieur ou égal à \(n\) et telles que \(P( 0)=P( 1)=0\)
Pour tout entier naturel \(k\) et pour tout réel \(x\) on pose \(% f_{k}(x)=x^{k+1} \left( x-1 \right)\).
Montrer que \(C=(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})\) est une base de \(N_{n+2}\).
On considère l’application linéaire \(v\) de \(N_{n+2}\) dans \(P_{n}\) qui, à toute fonction \(P\) de \(N_{n+2}\) associe sa dérivée seconde, notée \(P^{\prime \prime }\).
Pour tout \(k\) de \([\hspace{-0.15em}[0,n]\hspace{-0.13em}]\), déterminer \(v(f_{k})\) en fonction de certains des vecteurs de \(\mathcal{B}\), puis en dé duire la matrice \(A\) de \(v\) relativement aux bases \(C\) et \(\mathcal{B}\).
En déduire que \(v\) est un isomorphisme de \(N_{n+2}\) sur \(P_{n}\).
Simplifier, pour tout réel \(x\) et pour tout entier naturel \(k\), la somme \(\displaystyle \sum\limits_{j=0}^{k}f_{j}(x)\).
Justifier que le résultat de la quatrième question de la partie 1 peut s’appliquer ici, puis déterminer, en utilisant le résultat de la question 2c, la matrice \(A^{-1}\).
Vérifier cette dernière, dans le cas où \(n=2\) (les calculs devront figurer sur la copie).
On considère l’application \(w\) qui à tout élément \(P\) de \(P_{n}\) associe \(w(P)\), où \(w(P)\) est la dérivée seconde de l’application qui à tout réel \(x\) associe \(\left( x^{2}-x \right) P( x)\).
Montrer que \(w\) est un endomorphisme de \(P_{n}\).
Pour tout \(k\) de \([\hspace{-0.15em}[0,n]\hspace{-0.13em}]\), déterminer \(w(e_{k})\).
En déduire que la matrice de \(w\) dans \(\mathcal{B}\) n’est autre que la matrice \(A\) de la question 2a.
L’endomorphisme \(w\) est-il diagonalisable ? Est-ce un automorphisme de \(P_{n}\) ?
Dans le cas \(n=2\), déterminer les sous-espaces propres de \(w\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
