EDHEC 2003Maths approfondies

Exercice 1

\(P\) désignant un polynôme de \(\mathbb{R}[X]\) tel que \(P=\displaystyle\sum_{k=0}^m a_kX^k\), on rappelle que, pour toute matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), \(P(A)=a_0I+a_1A+\cdots +a_mA^m\), où \(I\) désigne la matrice unité de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\).

On se propose de déterminer explicitement le terme général de la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par \(u_0=0\), \(u_1=1\), \(u_2=1\) et la relation, valable pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(u_{n+3}=4u_{n+2}-5u_{n+1}+2u_n\).

Pour ce faire, on pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(X_n=\begin{pmatrix} u_{n+2}\\ u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix}\).

1. 1. Écrire la matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), indépendante de \(n\), telle que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ X_{n+1}=AX_n.\]

   2. Vérifier que : \((A-I)^2(A-2I)=0\).

2. On considère le polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}[X]\) défini par : \(P(X)=(X-1)^2(X-2)\).

   1. Justifier l’existence et l’unicité d’un couple \((Q_n,R_n)\) de \(\mathbb{R}[X]\times \mathbb{R}_2[X]\), tel que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ X^n=PQ_n+R_n.\]

   2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), il existe des réels \(a_n,b_n\) et \(c_n\) tels que : \[R_n(X)=a_n+b_n\left(X-1\right) + c_n \left( X-1\right)^2.\]

   3. Établir que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ a_n=1,\ b_n=n \quad\text{et}\quad c_n=2^n-n-1.\]

3. 1. Utiliser la question précédente pour écrire, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(A^n\) comme combinaison linéaire de \(I,A-I\) et \((A-I)^2\).

   2. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), donner la troisième ligne de la matrice \(A^n\).

4. 1. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ X_n=A^n \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}.\]

   2. En déduire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(u_n\) en fonction de \(n\).

Exercice 2

Soit \(p\) un enter naturel et \(f\) une fonction continue, strictement positive, décroissante sur \([p,{+\infty}[\) et telle que \(\displaystyle\int_p^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t\) converge.

Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(p\), on pose : \(S_n=\displaystyle\sum_{k=p}^n f(k)\).

1. 1. Utiliser la décroissance de \(f\) pour montrer que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(p\), on a : \[S_n - f(p) \leqslant \int_p^n f(t)\,\mathrm{d}t.\]

   2. En déduire que la série de terme général \(f(n)\) est convergente. On pose désormais, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(p\) : \[R_n = \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}f(k).\]

2. 1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(p\), on a : \[\int_n^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t- f(n) \leqslant R_n \leqslant \int_n^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t.\]

   2. En déduire une condition suffisante portant sur \(f(n)\) pour que : \[R_n \underset{n\to+\infty}{\sim}\int_n^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t.\]

3. Dans cette question, pour tout réel \(x\) de \([2,{+\infty}[\), on pose : \[f(x) = \dfrac{1}{x \left( \ln(x) \right)^2}.\]

   1. Montrer que cette fonction vérifie les quatre hypothèses de l’énoncé ainsi que la condition trouvée à la question 2b.

   2. En déduire un équivalent, lorsque \(n\) est au voisinage de \({+\infty}\), de \[R_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k \left( \ln(k) \right)^2}.\]

   3. La série de terme général \(R_n\) est-elle convergente ?

Exercice 3

Pour toute matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\), on note \({}^t\!A\) la matrice transposée de \(A\) et \(\mathrm{Tr}(A)\) la trace de \(A\), c’est-à-dire la somme des éléments diagonaux de \(A\). On note \(I\) la matrice unité de \(% \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) et on considère la matrice \(J\), élément de \(% \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\), définie par \(J=% \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0% \end{pmatrix}%\).

À tout couple \((A,B)\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\times \mathcal{M}% _{3}(\mathbb{R})\), on associe le réel \(\left \langle A, B \right \rangle =\mathrm{Tr}({}^t\!AB)\).

1. Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur \(\mathcal{M}% _{3}(\mathbb{R})\).
   Dans toute la suite, on se place dans l’espace euclidien \(\mathcal{M}_{3}(% \mathbb{R})\) muni de ce produit scalaire.

2. Montrer que \((I,J,J^{2})\) est une famille orthogonale.

3. On note \(E\) le sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) engendré par \((I,J,J^{2})\).

   1. Déterminer une base orthonormale de \(E\), notée \((K_{0},K_{1},K_{2})\) telle que, pour tout \(i\) de \(\{0,1,2\}\), \(K_{i}\) soit proportionnelle à \(% J^{i}\) (avec bien sûr \(J^{0}=I\)).

   2. Soit \(A\) une matrice quelconque de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) dont le terme situé à l’intersection de la \(i\)-ième ligne et de la \(j\)-ième colonne est noté \(a_{i,j}\).
      Pour tout \(i\) de \(\{0,1,2\}\), déterminer \(\left \langle K_{i}, A \right \rangle\) en fonction de certains des éléments de \(A\).

   3. On note \(p\) la projection orthogonale sur \(E\). Exprimer \(p(A)\) en fonction de \(K_{0},K_{1},K_{2}\) et de certains éléments de \(A\).

   4. En déduire une base de \(\mathrm{Ker}(p)\).

Problème

Partie 1

Dans cette partie, \(r\) désigne un entier naturel et \(x\) désigne un réel de \(% ]0,1[\).

1. Pour tout entier naturel \(k\) non nul, calculer la dérivée \(k\)-ième de la fonction \(f\), définie sur \([0,1[\), par : \(f(x)=\dfrac{1}{(1-x)^{r+1}}\).

2. Montrer que, lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\), \(\displaystyle \binom{n+r}{r} \sim \dfrac{n^{r}}{r!}\).

3. Montrer que \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }n^{r+1}x^{n}=0\).

4. Soit \(\varphi _{x}\) la fonction définie sur \([0,x]\) par \(\varphi _{x}(t)=\dfrac{x-t}{1-t}\).

   Montrer que : \(\forall t\in \lbrack 0,x],\;0\leqslant \varphi _{x}(t)\leqslant x\).

5. 1. Écrire la formule de Taylor entre \(0\) et \(x\) avec reste intégral pour la fonction \(f\) à l’ordre \(n\).

   2. En déduire que : \(\displaystyle 0\leqslant f(x)-\sum\limits_{k=0}^{n} \binom{k+r}{k} x^{k}\leqslant (n+r+1) \binom{n+r}{r} x^{n}\int_{0}^{x}\dfrac{\mathrm{d}t}{(1-t)^{r+2}}\).

   3. Montrer finalement que : \(\displaystyle \forall x\in \left] 0,1 \right[,\ \forall r\in \mathbb{N}% ,\;\sum\limits_{k=0}^{+\infty } \binom{k+r}{k} x^{k}=\dfrac{1}{(1-x)^{r+1}}\).

Partie 2

Dans cette partie, \(n\) désigne un entier naturel non nul.
On effectue une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes telles que pour chacune d’entre elles, la probabilité de succès soit égale à \(p\), avec \(0<p<1\).
On note \(X_{n}\) le nombre d’épreuves qu’il faut réaliser pour obtenir, pour la première fois \(n\) succès, pas forcément consécutifs (\(X_{n}\) est donc le numéro de l’épreuve où l’on obtient le \(n\)-ième succès). On convient que \(% X_{n}=0\) si l’on n’obtient pas \(n\) succès.

1. Dans cette question seulement, on considère le cas \(n=1\).

   1. Reconnaître la loi de \(X_{1}\).

   2. Donner l’espérance et la variance de \(X_{1}\).

   Dans toute la suite, on suppose que \(n\geqslant 2\).

2. 1. Déterminer \(X_{n}(\Omega )\).

   2. Pour tout entier naturel \(k\), calculer la probabilité que l’on obtienne \(n-1\) succès au cours des \(n+k-1\) premières épreuves.

   3. Déduire de la question précédente que : \(\displaystyle \forall k\in \mathbb{N}% ,\ \mathbb{P}(X_{n}=n+k)=\binom{n+k-1}{n-1} p^{n}(1-p)^{k}\).

   4. Utiliser le résultat de la partie 1 pour vérifier que \(% \sum\limits_{k=0}^{+\infty } \mathbb{P}(X_{n}=n+k)=1\).

      En déduire \(\mathbb{P}(X_{n}=0)\).

3. 1. Montrer que : \(\displaystyle \displaystyle \forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\ \forall k\in \mathbb{N},\ (n+k) \binom{n+k-1}{n-1} =n \binom{n+k}{n}\).

   2. En utilisant le fait que, pour tout entier naturel \(n\), \(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{+\infty } \mathbb{P}(X_{n+1}=n+1+k)=1\), montrer que \(X_{n}\) possède une espérance et donner sa valeur en fonction de \(n\) et \(p\).

4. 1. Montrer que : \(\displaystyle \forall n\geqslant 2,\ \dfrac{n-1}{n+k-1}% \binom{n+k-1}{n-1}= \binom{n+k-2}{n-2}\).

   2. Utiliser le théorème de transfert pour montrer que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(2\), \(\dfrac{n-1}{X_{n}-1}\) possède une espé rance et que \(\mathbb{E}\! \left( \dfrac{n-1}{X_{n}-1} \right)=p\).

5. On suppose dans la suite que \(n\) est supérieur ou égal à \(2\).

   1. Justifier que \(\dfrac{n}{X_{n}}\) possède une espérance (on n’en demande pas le calcul).

   2. Montrer, sans calculer \(\mathbb{E}\! \left(\dfrac{n}{X_{n}} \right)\), que \(\mathbb{E}\! \left( \dfrac{n}{X_{n}} \right)>p\).

6. Dans cette question, on suppose que le paramètre \(p\) est inconnu.

   Pour tout \(n\geqslant 2\), on pose : \(Y_{n}=\dfrac{n-1}{X_{n}-1}\) et \(Z_{n}=% \dfrac{n}{X_{n}}\).

   Des deux suites \((Y_{n})_{n\geqslant 2}\) et \((Z_{n})_{n\geqslant 2}\), laquelle est un estimateur sans biais de \(p\) ? On ne se préoccupera pas de l’ éventuelle convergence de ces estimateurs.