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On note \(f\) la fonction définie, pour tout réel \(x\) strictement positif, par : \(f \! \left({x}\right) = \dfrac{\exp\!\left(\frac{1}{x}\right)}{{% x^{2}}}\).
Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(1\), montrer que l’intégrale \(I_{n}=\displaystyle \int_{n}^{+\infty }f(x)\, \mathrm{d}x\) est convergente et exprimer \(I_{n}\) en fonction de \(n\).
En déduire que : \[I_{n}\mathop{\sim}\limits_{+\infty }\dfrac{1}{n}\]
Montrer que la série de terme général \(u_{n}=f \! \left( {n}% \right)\) est convergente.
Établir que : \[\forall k\in {\mathbb{N}}^{*},\ f(k+1) \leqslant \displaystyle \int_{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant f(k)\]
En sommant soigneusement cette dernière inégalité, montrer que : \[\forall n\in {\mathbb{N}}^{*},\ \displaystyle \sum_{k=n+1}^{+\infty }u_{k}\leqslant I_{n}\leqslant \sum_{k=n+1}^{+\infty }u_{k}+\dfrac{\exp\!\left( \frac{1% }{n} \right)}{n^{2}}\]
Déduire des questions précédentes un équivalent simple, lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\), de \(\displaystyle % \sum_{k=n+1}^{+\infty }\dfrac{\exp\!\left( \frac{1}{k}\right)}{k^{2}}\).
Dans cet exercice, \(n\) désigne un entier naturel non nul.
Soit \(f_{n}\) la fonction définie par : \(f_{n}(x)= \begin{cases} n x^{n-1} & \text { si } x \in[0 , 1] \\ 0 & \text { sinon } \end{cases}\).
Montrer que \(f_{n}\) est une densité de probabilité.
On considère une variable aléatoire \(X_{n}\) réelle dont une densité de probabilité est \(f_{n}\). On dit alors que \(X_{n}\) suit une loi monôme d’ordre \(n\).
Reconnaître la loi de \(X_{1}\).
Dans le cas où \(n\) est supérieur ou égal à 2, déterminer la fonction de répartition \(F_{n}\) de \(X_{n}\), ainsi que son espérance \(\mathbb{E}(X_{n})\) et sa variance \(\mathbb{V}(X_{n} )\).
On considère deux variables aléatoires \(U_{n}\) et \(V_{n}\) définies sur le même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\), suivant la loi monôme d’ordre \(n\) (\(n \geqslant 2\)) et indépendantes, c’est-à-dire qu’elles vérifient en particulier l’égalité suivante : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ \mathbb{P}(U_{n} \leqslant x \cap V_{n} \leqslant x)=\mathbb{P}(U_{n} \leqslant x) \, \mathbb{P}(V_{n} \leqslant x)\]
On pose \(M_{n}=\sup \left(U_{n}, V_{n}\right)\) et on admet que \(M_{n}\) est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\).
Pour tout réel \(x\), écrire, en justifiant la réponse, l’événement \([ M_{n} \leqslant x ]\) à l’aide des événements \([ U_{n} \leqslant x ]\) et \([ V_{n} \leqslant x ]\).
En déduire une densité de \(M_{n}\). Vérifier que \(M_{n}\) suit une loi monôme dont on donnera l’ordre, puis déterminer sans calcul \(\mathbb{E}( M_{n} )\).
On pose \(T_{n}=\inf \left(U_{n}, V_{n}\right)\). Exprimer \(M_{n}+T_{n}\) en fonction de \(U_{n}\) et \(V_{n}\), puis en déduire, sans calcul d’intégrale, la valeur de \(\mathbb{E}(T_{n})\).
Montrer que : \(\forall x \in \mathbb{R}^{*}, \ \dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}>0\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)= \begin{cases} \displaystyle \ln \! \left(\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}\right) & \text {si } x \neq 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text{si } x=0 \end{cases}\).
Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(]-\infty , 0[\) et sur \(] 0 , +\infty [\), puis préciser \(f^{\prime}(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^{*}\).
Montrer que \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\).
En déduire que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et donner \(f^{\prime}(0)\).
Étudier les variations de la fonction \(g\) définie par: \(\forall x \in \mathbb{R}, \ g(x)=x \,\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1\).
En déduire le signe de \(f'(x)\), puis dresser le tableau de variations de \(f\) (limites comprises).
On considère la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par la donnée de son premier terme \(u_{0}>0\) et par la relation, valable pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1}=f(u_{n})\).
Montrer que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n}>0\).
Vérifier que : \(\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)-x=f(-x)\).
En déduire le signe de \(f(x)-x\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).
Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est décroissante.
En déduire que \(\left(u_{n}\right)\) converge et donner sa limite.
Écrire un programme Python permettant
de déterminer et d’afficher le plus petit entier naturel \(n\) pour lequel \(u_{n} \leqslant 10^{-3}\), dans le cas où
\(u_{0}=1\).
Un joueur participe à un jeu se jouant en plusieurs parties. Ses observations lui permettent d’affirmer que :
s’il gagne deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité \(\dfrac{2}{3}\).
s’il perd une partie et gagne la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité \(\dfrac{1}{2}\).
s’il gagne une partie et perd la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité \(\dfrac{1}{2}\).
s’il perd deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité \(\dfrac{1}{3}\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(A_{n}\) l’événement: « le joueur gagne la \(n^{\text {ième }}\) partie ». De plus, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2, on pose : \[E_{n}=A_{n-1} \cap A_{n} \quad F_{n}=\overline{A_{n-1}} \cap A_{n} \quad G_{n}=A_{n-1} \cap \overline{A_{n}} \quad H_{n}=\overline{A_{n-1}} \cap \overline{A_{n}}\]
On admet que \(\left(E_{n}, F_{n}, G_{n}, H_{n}\right)\) est un système complet d’événements.
Utiliser la formule des probabilités totales pour montrer que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2, on a : \[\mathbb{P}( E_{n+1})=\frac{2}{3} \, \mathbb{P}(E_{n} )+\frac{1}{2} \, \mathbb{P}(F_{n})\]
Exprimer de la même façon (aucune explication n’est exigée) les probabilités \(\mathbb{P}(F_{n+1})\), \(\mathbb{P}(G_{n+1})\) et \(\mathbb{P}(H_{n+1})\) en fonction de \(\mathbb{P}(E_{n})\), \(\mathbb{P}(F_{n})\), \(\mathbb{P}(G_{n})\) et \(\mathbb{P}(H_{n})\).
Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2, on pose : \(U_{n}= \begin{pmatrix} \mathbb{P}(E_{n}) \\ \mathbb{P}(F_{n}) \\ \mathbb{P}(G_{n}) \\ \mathbb{P}(H_{n}) \end{pmatrix}\).
Vérifier que \(U_{n+1}=M U_{n}\), où \(M=\begin{pmatrix} 2 / 3 & 1 / 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 / 2 & 1 / 3 \\ 1 / 3 & 1 / 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 / 2 & 2 / 3 \end{pmatrix}\).
Soient \(P= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3 \\ -2 & -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & -3 & 3 \end{pmatrix}\) et \(Q=\begin{pmatrix} -1 & -3 & 3 & 1 \\ 2 & -3 & -3 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\).
Calculer \(P Q\). En déduire que \(P\) est inversible et donner son inverse.
On note \(C_{1}, C_{2}, C_{3}\) et \(C_{4}\) les colonnes de \(P\). Calculer \(M C_{1}, M C_{2}, M C_{3}\) et \(M C_{4}\), puis en déduire que \(-\dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{1}{6}\), \(\dfrac{1}{2}\) et 1 sont les valeurs propres de \(M\).
Justifier que \(M=P D P^{-1}\), où \(D\) est une matrice diagonale que l’on déterminera.
Dans toute la suite, on suppose que le joueur a gagné les deux premières parties.
Montrer par récurrence que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \ M^{n}=P D^{n} P^{-1}\).
Montrer, également par récurrence, que : \(\forall n \geqslant 2, \ U_{n}=M^{n-2} U_{2}\).
Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2, donner la première colonne de \(M^{n}\), puis en déduire \(\mathbb{P}(E_{n})\), \(\mathbb{P}(F_{n})\), \(\mathbb{P}(G_{n})\) et \(\mathbb{P}(H_{n})\).
Montrer que l’on a : \[\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}(E_{n})=\frac{3}{10} \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}(F_{n})=\frac{2}{10} \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}(G_{n})=\frac{2}{10} \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}(H_{n})=\frac{3}{10}\]
Pour tout entier naturel \(k\) non nul, on note \(X_{k}\) la variable aléatoire qui vaut 1 si le joueur gagne la \(k^{\text {ième }}\) partie et qui vaut 0 sinon (\(X_{1}\) et \(X_{2}\) sont donc deux variables certaines).
Pour tout entier naturel \(k\) supérieur ou égal à 2, exprimer \(A_{k}\) en fonction de \(E_{k}\) et \(F_{k}\).
En déduire, pour tout entier naturel \(k\) supérieur ou égal à 2, la loi de \(X_{k}\).
Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2, on note \(S_{n}\) la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur lors des \(n\) premières parties.
Calculer \(\mathbb{P}(S_{n}=2)\) en distinguant les cas \(n=2\), \(n=3\) et \(n \geqslant 4\).
Déterminer \(\mathbb{P}(S_{n}=n)\).
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3, écrire \(S_{n}\) en fonction des variables \(X_{k}\), puis déterminer \(\mathbb{E}(S_{n})\) en fonction de \(n\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
