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On rappelle que l’ensemble \(\mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) des fonctions numériques définies et de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}\), muni des lois habituelles, possède une structure d’espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\). On note \(E\) l’ensemble des fonctions \(\varphi\) de \(\mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) qui vérifient la relation \((*)\) suivante : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ \varphi^{\prime \prime}(x)=\left(1+x^2\right) \varphi(x)\]
Montrer que \(E\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que si \(u\) et \(v\) sont deux éléments de \(E\), alors \(u^{\prime }v-v^{\prime }u\) est une fonction constante.
Soit \(f\) la fonction définie, pour tout réel \(x\), par : \(f(x)= \mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{2}}\).
Vérifier que \(f\) est élément de \(E\).
Soit \(g\) la fonction définie par : \(\forall x\in \mathbb{R},\ \displaystyle g(x)=f(x)\int_{0}^{x}\dfrac{1}{ \left[ f(t) \right]^{2}} \,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(g\) est élément de \(E\).
Soit \(h\) une solution de (\(\ast\)). Montrer, en utilisant le résultat de la deuxième question appliqué aux fonctions \(h\) et \(f\), que \(h\) est combinaison linéaire de \(f\) et de \(g\).
Montrer finalement que \((f,g)\) est une base de \(E\).
On rappelle que l’ensemble \(\mathcal C^{2}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) des fonctions numériques définies et de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \(\mathbb{R}\), muni des lois habituelles, possède une structure d’espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\).
On note \(E\) l’ensemble des fonctions \(\varphi\) de \(\mathcal C^{2}(\mathbb{R},\mathbb{% R})\) qui vérifient la relation (\(\ast\)) suivante : \[\forall x\in \mathbb{R}, \ \varphi ^{\prime \prime }(x)=(1+x^{2})\,\varphi (x)\]
Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(1\), on pose : \[u_n=\displaystyle\frac{1}{\sum\limits_{k=1}^n k^2}\]
On se propose de montrer que la série de terme général \(u_n\) converge et de calculer sa somme. On pose, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(1\) : \[v_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \quad\text{et}\quad w_n = v_n - \ln(n)\]
On rappelle que : \(v_n \underset{n\to+\infty}{\sim}\ln(n)\).
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ w_n - w_{n+1} \geqslant 0\]
Déterminer le développement limité à l’ordre \(2\), au voisinage de \(0\), de \(\ln(1+x)-\dfrac{x}{1+x}\).
En déduire que : \[w_n-w_{n+1} \underset{n\to {+\infty}}= \frac{1}{2n^2} + \circ\!\left( \frac{1}{n^2}\right)\]
Montrer que la série de terme général \(w_n-w_{n+1}\) est convergente.
En déduire que la suite \((w_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge. On note \(\gamma\) sa limite.
Montrer que la série de terme général \(u_n\) converge.
Déterminer des réels \(a,b\) et \(c\) tels que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ u_n=\frac{a}{n}+ \frac{b}{n+1} + \frac{c}{2n+1}\]
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k+1} = v_{2n+1} - \frac{v_n}{2} -1\]
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \sum_{k=1}^n u_k = 24 \left( v_n - v_{2n+1} \right) + 24 - \frac{6n}{n+1}\]
En utilisant la convergence de la suite \((w_n)\), calculer \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n\) en fonction de \(\ln(2)\).
On considère l’espace euclidien \(\mathbb{R}^{3}\), muni du produit scalaire noté \(\left( \cdot \,\vert \, \cdot \right)\) défini par : \[\forall u=(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3},\ \forall u^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })\in \mathbb{R}^{3},\ \left( u\,\vert \, u' \right) =xx^{\prime }+yy^{\prime }+zz^{\prime }\]
La norme du vecteur \(u\) est alors définie par \(\left\| u \right\| = \sqrt{\left( u\,\vert \, u \right)}\).
On note \(\mathcal B=(e_{1},e_{2},e_{3})\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) et on rappelle que \(\mathcal B\) est une base orthonormale pour le produit scalaire défini ci-dessus.
On désigne par \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels, on pose \(\omega =(a,b,c)\) et on suppose que \(c\) est non nul.
On note \(\varphi\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) qui à tout vecteur \(u=(x,y,z)\) de \(\mathbb{R}^{3}\) associe le vecteur \[\varphi (u)=(yc-zb,za-xc,xb-ya)\]
Écrire la matrice \(M\) de \(\varphi\) dans la base \(\mathcal B\).
Vérifier que \(\omega\) appartient à \(\mathrm{Ker}( \varphi )\).
Montrer que \((\varphi (e_{1}),\varphi (e_{2}))\) est une famille libre.
Déduire des questions précédentes que \(\mathrm{Ker}(\varphi ) =\mathrm{Vect} (\omega )\).
Montrer que pour tout vecteur \(u\) de \(\mathbb{R}^{3}\), \(\left( \varphi (u)\,\vert \, \omega \right)=0\).
En déduire que : \(\mathrm{Im}(\varphi) =\left( \mathrm{Ker}(\varphi) \right) ^\perp\).
Justifier que pour tout vecteur \(u\) de \(\mathbb{R}^{3}\), il existe un unique couple \((u_{1},u_{2})\) de \(\mathrm{Ker}( \varphi) \times \mathrm{Im}( \varphi )\) tel que \(u=u_{1}+u_{2}\).
Montrer que \(\left( u\,\vert \, \omega \right)= \left( u_1\,\vert \, \omega \right)\).
En déduire que \(u_{1}=\dfrac{\left( u\,\vert \, \omega \right)}{\left\Vert \omega \right\Vert ^{2}} \, \omega\), puis déterminer \(u_{2}\) en fonction de \(u\) et \(\omega\).
Montrer que \(M^{3}=-\left\Vert \omega \right\Vert ^{2}\,M\).
En déduire que : \(\forall v\in \mathrm{Im}(\varphi ) ,\ (\varphi \circ \varphi )(v)=-\left\Vert \omega \right\Vert ^{2}\,v\).
Montrer finalement que : \(\forall u\in \mathbb{R}^{3},\ (\varphi \circ \varphi )(u)=-\left\Vert \omega \right\Vert ^{2}u+\left( u\,\vert \, \omega \right)\,\omega\).
On désigne par \(n\) et \(r\) deux entiers naturels vérifiant \(n\geqslant 2\) et \(% r\geqslant 3\).
On considère une épreuve aléatoire pouvant aboutir à \(r\) résultats différents \(R_{1}\), \(R_{2}\), ..., \(R_{r}\) de probabilités respectives \(x_{1}\), \(x_{2}\), ..., \(x_{r}\). On admet que, pour tout \(i\) de \([% \hspace{-0.15em}[1,r]\hspace{-0.13em}]\), \(0<x_{i}<1\).
On effectue \(n\) épreuves indépendantes du type de celle décrite ci-dessus.
Pour tout \(i\) de \([\hspace{-0.15em}[1,r]\hspace{-0.13em}]\), on note \(X_{i}\) la variable aléatoire qui vaut 1 si le résultat numéro \(i\) n’est pas obtenu à l’issue de ces \(n\) épreuves et qui vaut \(0\) sinon.
On désigne par \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de résultats qui n’ont pas été obtenus à l’issue des \(n\) épreuves.
Exprimer la variable \(X\) en fonction de \(X_{1},X_{2},...,X_{r}\).
Donner la loi de \(X_{i}\) pour tout \(i\) de \(\{1,2,...,r\}\).
En déduire que l’espérance de \(X\) est \(\mathbb{E}(X)= \displaystyle \sum% \limits_{i=1}^{r}(1-x_{i})^{n}\).
La suite de cet exercice consiste à rechercher les valeurs des réels \(x_{i}\) en lesquelles \(\mathbb{E}(X)\) admet un minimum local.
Donner la valeur de \(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{r}\) puis écrire \(\mathbb{E}(X)\) comme une fonction, que l’on notera \(f\), des \((r-1)\) variables \(% x_{1},...,x_{r-1}.\)
La fonction \(f\) est donc définie sur l’ouvert \((]0,1[)^{r-1}\) de \(\mathbb{R}% ^{r-1}\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \((]0,1[)^{r-1}\).
Déterminer les dérivées partielles d’ordre 1 de \(f\).
Montrer que le seul point de \(\mathbb{R}^{r-1}\) en lequel les dérivées partielles d’ordre 1 de \(f\) s’annulent simultanément est le point \(R= \left( \dfrac{% 1}{r},\dfrac{1}{r},\cdots ,\dfrac{1}{r} \right)\).
Déterminer la matrice \(M\), élément de \(\mathcal{M}_{r-1}(\mathbb{R})\), dont l’élément situé à l’intersection de la ligne \(i\) et de la colonne \(j\) est \(\partial_{i,j}^2 f(R)\).
On pose \(A=I+J\), où \(I\) est la matrice unité de \(\mathcal{M}_{r-1}(% \mathbb{R})\) et \(J\) la matrice de \(\mathcal{M}_{r-1}(\mathbb{R})\) dont tous les éléments sont égaux à 1.
Montrer que \(J\) est diagonalisable.
Exprimer \(J^{2}\) en fonction de \(J\) et \(r\). En déduire que les valeurs propres de \(J\) sont \(0\) et \(r-1\).
Montrer que le sous-espace propre de \(J\) associé à la valeur propre \(% r-1\) est de dimension 1.
Utiliser une base de \(\mathcal{M}_{r-1,1}(\mathbb{R})\) formée de vecteurs propres de \(J\) pour montrer que \(A\) est diagonalisable et qu’il existe une matrice \(P\) d’inverse \({}^t\!P\), telle que \(A=PD \, {}^t\!P\) où \(D\) est la matrice diagonale de \(\mathcal{M}_{r-1}(\mathbb{R})\) dont les \((r-2)\) premiers éléments diagonaux sont égaux à \(1\), celui de la \((r-1)^{\grave{e}% me}\) ligne étant égal à \(r\).
Déduire des questions précédentes que pour tout \(H\) non nul de \(% \mathcal{M}_{r-1,1}(\mathbb{R})\), \({}^t\!HMH>0\).
En posant \({}^t\!H=(h_{1},..,h_{r-1}{)}\), exprimer \({}^t\!HMH\) en fonction des réels \(h_{i}\) et des dérivées partielles d’ordre \(2\) de \(f\) au point \(R\).
En déduire que \(f\) présente un minimum local au point \(R\).
Donner la valeur de \(\mathbb{E}(X)\) correspondant à ce minimum.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
