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Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(f_n\) la fonction définie par : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ f_n(x)=x-n \ln (x)\]
Étudier cette fonction et dresser son tableau de variations.
En déduire, lorsque \(n\) est supérieur ou égal à 3, l’existence de deux réels \(u_{n}\) et \(v_{n}\) solutions de l’équation \(f_{n}(x)=0\) et vérifiant \(0<u_{n}<n<v_{n}\).
Étude de la suite \(\left(u_{n}\right)\).
Montrer que : \(\forall n \geqslant 3, \ 1<u_{n}<\mathrm{e}\).
Montrer que \(f_{n}(u_{n+1})=\ln (u_{n+1})\), puis en conclure que \((u_{n} )\) est décroissante.
En déduire que \(\left(u_{n}\right)\) converge et montrer, en encadrant \(\ln (u_{n})\), que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=1\).
Montrer que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\ln (u_{n})}{u_{n}-1}=1\); en déduire que \(\displaystyle u_{n}-1 \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{n}\).
Étude de la suite \(\left(v_{n}\right)\).
Calculer \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} v_{n}\).
Calculer \(f_{n}(n \ln (n))\) puis montrer que : \(\forall n \geqslant 3, \ n \ln (n)<v_{n}\).
Soit la fonction \(\mathrm{g}\), définie par: \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{\ast}, \ {g}(x)=x-2 \ln (x)\).
Étudier \({g}\) et donner son signe. En déduire que : \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(n>2 \ln (n)\).
En déduire le signe de \(f_{n}(2 n \ln (n))\), puis établir que : \(n \ln (n)<v_{n}<2 n \ln (n)\).
Montrer enfin que : \(v_{n} \sim n \ln (n)\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(\displaystyle u_{n}=\frac{1}{\binom{n+p}p}\), où \(p\) désigne un entier naturel fixé.
Montrer que si \(p=0\) ou si \(p=1\), la série de terme général \(u_{n}\) diverge.
On suppose dans toute la suite que \(p\) est supérieur ou égal à 2 et on pose \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} u_{k}\).
Montrer que : \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, \ \left(n+ p+2 \right) u_{n+2}= \left( n+2 \right) u_{n+1}\).
En déduire, par récurrence sur \(n\), que \(\displaystyle S_{n}=\frac{1}{p-1}\left[1- \left(n+p+1 \right) u_{n+1}\right]\).
On pose \(v_{n}= \left(n+p \right) u_{n}\). Montrer que la suite \(\left(v_{n}\right)\) est décroissante.
En déduire que la suite \(({v}_{n} )\) converge et que sa limite \(\ell\) est positive ou nulle.
Utiliser les résultats précédents pour montrer que la série de terme général \(u_{n}\) converge et donner sa somme en fonction de \(p\) et \(\ell\).
On suppose, dans cette question seulement, que \(\ell \neq 0\).
Montrer qu’au voisinage de \(+\infty\), \(\displaystyle u_{n} \sim \frac{\ell}{n}\)
En déduire une contradiction avec le résultat de la troisième question.
Donner la valeur de \(\ell\) et en déduire, en fonction de \(p\), la somme de la série de terme général \({u}_{n}\).
\(I\) désigne la matrice identité de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) et \(M\) une matrice de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) pour laquelle il existe un entier \(p\) supérieur ou égal à 2 tel que \(M^{p}=0\) et \(M^{p-1} \neq 0\).
On définit alors les matrices suivantes : \[\exp (M)=\sum_{k=0}^{p-1} \frac{1}{k!} \, M^{k} \quad \text{et} \quad \ln (I+M)=\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\, M^{k}\]
On considère l’ensemble \(E\) des matrices triangulaires supérieures de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) dont tous les éléments diagonaux sont nuls.
Montrer que \(E\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\) et donner sa dimension.
Montrer que les matrices de \({E}\) ne sont pas inversibles.
Montrer que toute matrice non nulle de \({E}\) n’est pas diagonalisable.
Dans la suite, \(A\) désigne une matrice quelconque de \({E}\).
Calculer \(A^{k}\) pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\).
Exprimer \(\exp (A)\) et \(\ln (I+A)\) en fonction de \({I}\) et \(A\).
Montrer que \(\ln [\exp (A)]=A\).
Vérifier que \(\ln (I+A)\) appartient à \(E\).
Montrer que : \(\exp [\ln ({I}+A)]=\mathrm{I}+A\)
Montrer que : \(\forall m \in \mathbb{N}, \ \exp (mA)=[\exp (A)]^{m}\).
Montrer que \(\exp (A)\) est inversible et que : \([\exp (A)]^{-1}=\exp (-A)\).
Quelle condition doivent vérifier deux matrices \(A\) et \(B\) de \(E\) pour que \(\exp (A+B)=\exp (A) \, \exp (B) ?\)
Dans ce problème, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On effectue des tirages au hasard dans une urne contenant \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\). Un tirage consiste à extraire une boule de l’urne, la boule tirée étant ensuite remise dans l’urne. On note \(N\) la variable aléatoire égale au numéro du tirage au cours duquel, pour la première fois, on a obtenu une boule déjà obtenue auparavant.
On note \(N(\Omega)\) l’ensemble des valeurs que peut prendre \(N\). Montrer que \(N(\Omega)=\left[\kern-0.15em\left[ {2,n+1} \right]\kern-0.15em\right]\).
Montrer que : \(\displaystyle \forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}(N>k)=\frac{n!}{n^{k} \left( n-k \right)!}\).
Montrer que : \(\forall k \in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}(N=k)=\mathbb{P}(N>k-1)-\mathbb{P}(N>k)\).
Calculer \(\mathbb{P}(N=n+1)\) puis en déduire la loi de \(N\).
Montrer que l’espérance \(\mathbb{E}(N)\) de la variable aléatoire \(N\) est : \(\displaystyle \mathbb{E}(N)=\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{n^{k} \left( n-k \right)!}\).
Soit \(X\) une variable aléatoire, à valeurs dans \(\mathbb{R}_+\), de densité \(f\) (nulle sur \(\mathbb{R}_{-}^{*}\)) et de fonction de répartition \(F\). On suppose, de plus, \(f\) continue sur \(\mathbb{R}_+\).
On pose, pour tout réel \(x\) positif, \(\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{x} t f(t) \,\mathrm{d}t\).
Montrer, grâce à une intégration par parties, que : \[\forall x \in \mathbb{R}_+, \ \varphi(x)=\int_{0}^{x} \left[ 1-F(t) \right] \mathrm{d}t-x \, \mathbb{P}(X>x)\]
On suppose, dans cette question, que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \left[ 1-F(t) \right] \mathrm{d}t\) converge.
Calculer \(\varphi^{\prime}(x)\) et en déduire que la fonction \(\varphi\) est croissante sur \(\mathbb{R}_+\).
Montrer que \(\varphi\) est majorée et en déduire que \(X\) a une espérance.
Montrer que : \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}_+, \ 0 \leqslant x\, \mathbb{P}( X>x) \leqslant \int_{x}^{+\infty} {t} f(t) \,\mathrm{d}t\).
En utilisant le fait que \(X\) a une espérance, montrer que \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{+\infty} t f(t) \,\mathrm{d}t=0\).
En déduire \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x \, \mathbb{P}( X>x)\), puis montrer que : \(\displaystyle \mathbb{E}(X)=\int_{0}^{+\infty} \left[ 1-F(t) \right] \mathrm{d}t\).
On considère la fonction \(F_{n}\), définie par : \(F_{n}(x)=\begin{cases} \hfill 0 \hfill &\text { si } x<0 \\ \displaystyle 1-\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \mathrm{e}^{-x}& \text { si } x \geqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\).
Montrer que \(F_{n}\) est la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité \(T_{n}\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(k\), l’intégrale \(\displaystyle I_{k}=\int_{0}^{+\infty} x^{k} \, \mathrm{e}^{-x} \,\mathrm{d}x\) converge.
Montrer que \(I_{k+1}= \left(k+1 \right) I_{k}\) puis donner la valeur de \(I_{k}\).
En déduire, en utilisant la partie II, que \(T_{n}\) a une espérance et que \(\mathbb{E}(T_{n} )=\mathbb{E}(N)\).
On considère la déclaration de fonction suivante, rédigée en
Python :
Montrer que, si \(p\) est un entier naturel non nul et si \(q\) est un entier naturel : \(\displaystyle f(p, q)=\frac{p!}{p^{q} \left( p-q \right)!}\) .
Utiliser cette fonction pour écrire un algorithme en langage
Python donnant la valeur commune de \(\mathbb{E}(N)\) et \(\mathbb{E}(T_{n})\) lorsque l’utilisateur
entre la valeur de \(n\) au
clavier.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
