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On considère la suite \(\left(d_{n}\right)\) définie par \(d_{0}=1, d_{1}=0\) et : \[\forall n \in \mathbb{N}^{\ast}, \ d_{n+1}=n\left(d_{n}+d_{n-1}\right)\]
Compléter le programme suivant pour que l’appel de
d(n) renvoie la valeur de \(d_n\) :
Calculer \(d_{2}, d_{3}, d_{4}\) et \(d_{5}\).
Montrer que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \ d_{n} \in \mathbb{N}\).
Montrer que: \[\forall n \in \mathbb{N}, \ d_{n+1}= \left( n+1 \right) d_{n}+(-1)^{n+1}\]
On considère, pour tout entier naturel \(n\), l’intégrale \(\displaystyle I_{n}=\frac{1}{n!} \int_{0}^{1} t^{n} \,\mathrm{e}^{t} \,\mathrm{d}t\).
Calculer \({I}_{0}\), puis exprimer, pour tout entier naturel \(n\), \(I_{n+1}\) en fonction de \(I_{n}\).
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \mathrm{e}\,d_{n}=n!\left(1+(-1)^{n} I_{n}\right)\]
Montrer alors que : \[\displaystyle \forall n \in \mathbb{N},\ \left|d_{n}-\frac{n!}{\mathrm{e}}\right| \leqslant \frac{1}{n+1}\]
Vérifier que cette dernière inégalité détermine parfaitement \({d}_{n}\) pour \(n \geqslant 2\).
On considère les matrices \(\mathrm{I}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\) et \(J=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\).
Soit, de plus, la matrice \(M=\begin{pmatrix}2 / 3 & 1 / 6 & 1 / 6 \\ 1 / 6 & 2 / 3 & 1 / 6 \\ 1 / 6 & 1 / 6 & 2 / 3\end{pmatrix}\).
Exprimer \(J^{2}\), puis pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(2\), \(J^{n}\) en fonction de \(J\).
En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) : \[M^{n}=\frac{1}{2^{n}} \, I+\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right) J\]
Un mobile se déplace aléatoirement dans l’ensemble des sommets d’un triangle \(\mathrm{ABC}\) de la façon suivante : si, à l’instant \(n\), il est sur l’un quelconque des trois sommets, alors à l’instant \((n+1)\), soit il y reste, avec une probabilité de \(2 / 3\), soit il se place sur l’un des deux autres sommets, et ceci avec la même probabilité.
On note :
\({A}_{n}\) l’événement : « le mobile se trouve en \(\mathrm{A}\) à l’instant \(n\) » ;
\({B}_{n}\) l’événement : « le mobile se trouve en \(\mathrm{B}\) à l’instant \(n\) » ;
\({C}_{n}\) l’événement : « le mobile se trouve en \(\mathrm{C}\) à l’instant \(n\) ».
On pose \(a_{n}= \mathbb{P}(A_{n})\), \(b_{n}=\mathbb{P}(B_{n})\) et \(c_{n}=\mathbb{P}(C_{n})\).
Pour tout \(n\) entier naturel, déterminer \(a_{n}+b_{n}+c_{n}\).
Exprimer, pour tout entier naturel \(n, a_{n+1}, b_{n+1}\) et \(c_{n+1}\) en fonction de \(a_{n}, b_{n}\) et \(c_{n}\).
Déduire de la question précédente que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}-b_{n}\right) \quad \text { et } \quad a_{n+1}-c_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}-c_{n}\right)\]
On suppose, dans cette question seulement, que le mobile se trouve en \(\mathrm{A}\) à l’instant 0.
Calculer \(a_{n}, b_{n}\) et \(c_{n}\) en fonction de \(n\).
Vérifier que \(\begin{pmatrix}a_{n} \\ b_{n} \\ c_{n}\end{pmatrix}\) est la première colonne de \(M^{n}\).
Démontrer ce résultat.
Expliquer comment retrouver, grâce à une méthode analogue à celle employée dans la troisième question, les deux autres colonnes de \({M}^{n}\) (aucun calcul n’est demandé)
Montrer que : \(\displaystyle \forall t>0, \ \ln (1+t)>\frac{t}{1+t}\).
Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par : \(f(x)=\mathrm{e}^{-x} \ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)\).
Pour tout réel \(x\), calculer \(f^{\prime}(x)\) et en déduire les variations de \(f\).
Calculer \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\) et \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\).
Pour tout réel \(x\), vérifier que : \(\displaystyle f(x)=1-f^{\prime}(x)-\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}\). En déduire, en fonction de \(f\), une primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que l’intégrale impropre \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{d}x\) est convergente et donner sa valeur.
Soit \(\alpha\) un réel et \(g\) la fonction définie par : \(g(x)=0\) si \(x<0\) et \(g(x)=\alpha f(x)\) si \(x \geqslant 0\). Déterminer \(\alpha\) pour que \({g}\) puisse être considérée comme densité d’une variable aléatoire \({X}\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\), par \(f(x)=x-\ln (x)\).
Étudier \(f\) et résumer cette étude par un tableau de variations.
Étudier le signe de \(f(x)-x\), pour tout réel \(x\) strictement positif.
On considère l’algorithme suivant :
Que fait ce programme ?
Dorénavant, dans le cas général, on note \(u_{n}\) et \(p_{n}\) les contenus respectifs des variables \(u\) et \(p\) à la fin de l’algorithme, lorsque leur calcul est possible.
Pour quelles valeurs de \(a\), peut-on définir la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) dont le premier terme est \(u_{0}={a}\), et dont le terme général \({u}_{n}\) est calculé par l’algorithme précédent?
Pour les valeurs de \(a\) trouvées ci-dessus, donner en fonction de \(n\) le nombre d’appels de fonction utilisés au cours de cet algorithme, ainsi que le nombre de soustractions, de multiplications et d’affectations nécessaires au calcul de \(u\) et de \({p}\). On considérera qu’un appel de la fonction suppose une affectation.
Pour quelle valeur de \(a\) la suite \(( u_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\) est-elle constante ?
On suppose, dans cette question que \(a>1\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n}>1\).
Étudier les variations de la suite \(( u_{n})_{n \in \mathbb{N}}\).
En déduire que \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge et donner sa limite.
On suppose, dans cette question, que \(0<{a}<1\).
Montrer que \(u_{1}>1\).
En déduire que \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est convergente et donner sa limite.
Dans cette partie, on choisit \({a}>1\).
On pose, pour tout entier naturel \(n\) : \(\displaystyle v_{n}=\int_{u_{n+1}}^{u_{n}} f(t) \,\mathrm{d}t\).
Vérifier que la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est bien définie.
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n+2} \ln (u_{n}) \leqslant v_{n} \leqslant u_{n+1} \ln (u_{n})\).
En déduire que \(v_{n} \sim \ln (u_{n})\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
