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Préliminaire. On rappelle que si \((u_{n})\) est une suite réelle, \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=a\) signifie que pour tout réel \(\varepsilon>0\), il existe un entier naturel \(n_{0}\) tel que pour tout \(n\) supérieur ou égal à \(n_{0}:\left|u_{n}-a\right| \leqslant \varepsilon\).
En déduire que si \((u_{n})\) est une suite réelle convergente de limite \(a\), strictement positive, alors il existe un entier naturel \(n_{0}\) tel que, pour tout \(n\) supérieur ou égal à \(n_{0}\) : \(\displaystyle u_{n} \geqslant \frac{a}{2}\).
Ce résultat pourra être admis dans la suite de l’exercice.
On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par : \(f(x)=x \left( 1 -x \right)\) et la suite \((u_{n})_{n \in N}\) définie par la donnée de \(u_{0}\) élément de \(]0,1 [\) et la relation de récurrence : \(u_{n+1}=f(u_{n})\) pour tout entier naturel \(n\).
Étudier les variations de \(f\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) : \(\displaystyle 0<u_{n}<\frac{1}{n+1}\) et en déduire la limite de la suite \(( u_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\).
Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(v_{n}=n u_{n}\). Montrer que la suite \((v_{n})_{n \in \mathbb{N}}\) est croissante.
En déduire qu’elle converge et que sa limite \(\ell\) appartient à \(] 0,1 ]\).
Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(w_{n}=n\left(v_{n+1}-v_{n}\right)\).
Montrer que la suite \((w_{n})_{n \in \mathbb{N}}\) converge et que sa limite vaut \(\ell \left( 1-\ell \right)\).
On suppose \(\ell \neq 1\), montrer en utilisant la question 1 qu’il existe un entier naturel \(n_{0}\) tel que : \[\forall n \geqslant n_{0}, \ v_{{n}+1}-v_{{n}} \geqslant \frac{ \ell \left( 1-\ell \right)}{2 n}\]
En déduire que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} v_{n}=+\infty\).
Montrer à l’aide de la question 3b que : \(\displaystyle u_n \underset{n\to+\infty}{\sim}\frac{1}{n}\)
\(E\) désigne un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\), de dimension \(n\) (\(n \geqslant 2)\).
On note \(i\) l’endomorphisme identité de \(E\) et \(\theta\) l’endomorphisme nul de \(E\). Soit s un endomorphisme involutif de \(E\), c’est-à-dire vérifiant \(s\circ s =i\).
Justifier que \(s\) est bijectif et définir \(s^{-1}\).
Déterminer les seules valeurs propres possibles de \(s\).
On suppose dans la suite de cette partie que de plus \(s \neq i\) et \(s \neq-i\).
Montrer que \((s-i) \circ (s+i)=\theta\).
En déduire que \(-1\) et \(1\) sont les valeurs propres de \(s\).
Montrer que \(E=\mathrm{Ker}(s-i) \oplus \mathrm{Ker}(s+i)\) (on montrera dans un premier temps que si pour tout \(x\) de \(E\) on a : \(x=u+v\), avec \(u\) élément de \(\mathrm{Ker}(s-i)\) et \(v\) élément de \(\mathrm{Ker}(s+i)\), alors nécessairement \(s(x)=u-v)\)).
\(s\) est appelée la symétrie par rapport à \(\mathrm{Ker}(s-i)\) parallèlement à \(\mathrm{Ker}(s+i)\).
\(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) désignant l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre \(n\), on note \(S\) l’ensemble des matrices symétriques de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(A\) l’ensemble des matrices antisymétriques de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Si \(M\) est la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dont \(M_{i, j}\) est l’élément de la \(i{ }^{\text {ème }}\) ligne et de la \(j^{\text {ème }}\) colonne, avec \(i\) et \(j\) éléments de \(\{1,2, \ldots, n\}\), on rappelle que :
M est symétrique si et seulement si pour tout \(( i, j)\) : \(M_{j, i}=M_{i, j}\).
\(M\) est antisymétrique si et seulement si pour tout \((i, j)\) : \(M_{j, i}=-M_{i, j}\).
Dans la suite \({}^t\!M\) désigne la matrice transposée de \(M\).
Vérifier que \(S\) et \(A\) sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Montrer que : \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})=S \oplus A\).
On note \(T\) l’endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) qui à chaque matrice associe sa transposée, montrer que \(T\) est la symétrie par rapport à \(S\) parallèlement à \(A\).
Dans tout l’exercice, \(n\) désigne un entier naturel non nul et \(\lambda\) un réel strictement positif.
\(j\) et \(k\) désignant des entiers naturels, \(a_{k, j}\) des réels tels que, pour tout \(j\) la série \(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} a_{k, j}\) soit convergente, montrer que : \(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{n} a_{k, j}=\sum_{j=0}^{n} \sum_{k=0}^{+\infty} a_{k, j}\).
Soient \(X\) une variable aléatoire prenant ses valeurs dans \(\mathbb{N}\) et \(S\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\{0,1, \ldots, n\}\). Pour tout \(k\) élément de \(\mathbb{N}\), on définit l’espérance conditionnelle de \(S\) sachant que \(X=k\) par : \[\mathbb{E}(S \,\vert \, X=k)=\sum_{j=0}^{n} j \, \mathbb{P}_{[X=k]}(S=j )\]
Montrer, en utilisant la première question, que : \(\displaystyle \mathbb{E}(S)=\sum_{k=0}^{+\infty} \mathbb{E}(S \,\vert \, X=k) \, \mathbb{P}(X=k)\).
Un ascenseur dessert \(n\) étages d’un immeuble.
À chaque voyage le nombre de personnes qui montent dans cet ascenseur au rez de chaussée est une variable aléatoire \(X\) suivant la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\).
On émet les hypothèses suivantes :
Aucun arrêt n’est dû à des personnes désirant monter dans l’ascenseur à un autre niveau que le rez de chaussée ;
Chaque personne choisit son étage d’arrivée au hasard et indépendamment des autres passagers.
(Ces choix se font dans l’ordre d’entrée des passagers dans l’ascenseur)
Enfin, pour tout entier naturel \(k\), on appelle \(S_{k}\) la variable aléatoire égale au nombre d’arrêts de l’ascenseur lorsque celui-ci contient \(k\) passagers au départ.
Montrer que pour tout \(j\) appartenant à \(\{1,2, \ldots, n\}\) et pour tout entier naturel \(k\) : \[\mathbb{P}(S_{k+1}=j)=\frac{j}{n} \, \mathbb{P}( S_{k}=j )+\frac{n-j+1}{n} \, \mathbb{P}(S_{k}=j-1 )\]
En déduire que \(\displaystyle \mathbb{E}(S_{k+1} )=1+\left(1-\frac{1}{n}\right) \mathbb{E}(S_{k} )\).
Après avoir justifié que \(\mathbb{E}(S_{0})=0\), déterminer \(\mathbb{E}(S_{k} )\) pour tout entier naturel \(k\).
Montrer que si \(S\) désigne la variable aléatoire égale au nombre d’arrêts de l’ascenseur à un voyage donné: \[\mathbb{E}(S)=n\left(1- \mathrm{e}^{-\frac{\lambda}{n}}\right)\]
\(p\) et \(n\) désignent deux entiers naturels non nuls.
On pose : \(\displaystyle u_{p}=\frac{1}{p}-\int_{p}^{p+1} \frac{\mathrm{d}t}{t}\) et \(\displaystyle v_{n}=\sum_{p=1}^{n} u_{p}\).
Prouver que pour tout \(p\) supérieur ou égal à 1 : \(\displaystyle 0 \leqslant u_{p} \leqslant \frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}\).
En déduire que la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est croissante puis prouver qu’elle converge et que sa limite \(\gamma\) est élément de \([ 0,1]\). On note maintenant : \(\displaystyle r_{n}=\sum_{p=n+1}^{+\infty} u_{p}\).
Montrer que pour tout entier \(p\) supérieur ou égal a 1 : \(\displaystyle u_{p}=\frac{1}{p} \int_{0}^{1} \frac{x}{p+x} \,\mathrm{d}x\).
En déduire que pour tout entier \(p\) supérieur ou égal à 2: \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}\right) \leqslant u_{p} \leqslant \frac{1}{2}\left(\frac{1}{p-1}-\frac{1}{p}\right)\).
À l’aide de cette dernière inégalité, établir que : \(\displaystyle \frac{1}{2 \left( n+1 \right)} \leqslant r_{n} \leqslant \frac{1}{2 n}\).
Écrire un programme Python renvoyant
une valeur approchée de \(\gamma\) à
\(10^{-5}\) près.
Dans cette partie, \(k\) est un entier supérieur ou égal à 1.
On pose, pour tout réel \(t\) strictement positif : \(\displaystyle f_{0}(t)=\frac{1}{t}\) et \(\displaystyle f_{k}(t)=\frac{1}{t \left( t+1 \right) \cdots(t+k)}\).
Montrer que \(f_{k-1}(t)-f_{k-1}(t+1)=k \, f_{k}(t)\).
En déduire que : \(\displaystyle \sum_{p=n+1}^{+\infty} f_{k}(p)=\frac{n!}{k \left( n+k \right)!}\).
On note \(P_{k}\) le polynôme défini par \(P_{1}(t)=t\) et, pour tout \(k\) supérieur ou égal à \(2\) : \[P_{k}(t)=t \left( 1-t \right)(2-t) \cdots(k-1-t)\]
On pose d’autre part : \(\displaystyle a_{k}=\int_{0}^{1} {P}_{k}({t}) \, \mathrm{d}t\).
Vérifier que, pour tout \(x\) positif : \(\displaystyle \frac{1}{p+x}=\frac{1}{p+1}+\frac{1}{p+1} \times \frac{1-x}{p+x}\).
En déduire que \(\displaystyle u_{p}=\frac{1}{2 p \left( p+1 \right)}+\frac{1}{p \left(p+1 \right)} \int_{0}^{1} \frac{P_{2}(x)}{p+x} \,\mathrm{d}x\).
Montrer que pour tout \(k\) entier supérieur ou égal à 1, et pour tout réel \(x\) positif : \[\frac{P_{k}(x)}{p+x}=\frac{P_{k}(x)}{p+k}+\frac{P_{k+1}(x)}{(p+k)(p+x)}\]
En déduire, par récurrence sur \({k}\), que: \[\begin{gathered} u_{p}=\frac{a_{1}}{p \left( p+1 \right)}+\frac{a_{2}}{p \left( p+1 \right)(p+2)}+\cdots+\frac{a_{k}}{p \left( p+1 \right)(p+2) \cdots(p+k)} \\ +\frac{1}{p \left( p+1 \right) \cdots(p+k)} \int_{0}^{1} \frac{P_{k+1}(x)}{p+x} \,\mathrm{d}x \end{gathered}\]
Montrer que pour tout entier \(p\) supérieur ou égal à \(2\) : \(\displaystyle 0 \leqslant \int_{0}^{1} \frac{P_{k+1}(x)}{p+x} \,\mathrm{d}x\leqslant \frac{a_{k+1}}{p-1}\)
En déduire, en utilisant la partie II, que pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 1 et pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 : \[r_{n}=\frac{a_{1}}{n+1}+\frac{a_{2}}{2 \left(n+1 \right)(n+2)}+\cdots+\frac{a_{k}}{k \left( n+1 \right)(n+2) \cdots(n+k)}+r_{n, k}\]
avec \(\displaystyle 0 \leqslant r_{n , k} \leqslant \frac{a_{k+1}}{(k+1) n \left( n+1 \right) \cdots(n+k)}\)
Construire une suite \(\left(v_{n, k}\right)_{n \in \mathbb{N}}\), de limite \(\gamma\) telle que : \(\displaystyle 0 \leqslant \gamma-v_{n, k} \leqslant \frac{a_{k+1}}{\left( k+1 \right) n \left( n+1 \right) \cdots(n+k)}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
