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Montrer que \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1-\mathrm{e}^{-t}}{t} \, \mathrm{d} t\) converge.
Montrer que \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{t} \, \mathrm{d}t\) converge.
Soit \(a\) un réel strictement positif, montrer que \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-a t}}{t} \, \mathrm{d}t\) converge.
Que dire de la nature de \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-a t}}{t} \, \mathrm{d}t\) pour \(a\) un réel négatif ou nul? Justifier votre réponse.
On notera désormais pour tout réel \(a\) strictement positif, \(\displaystyle G(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-a t}}{t} \, \mathrm{d}t\).
Soit \(x\) un réel strictement positif.
Prouver que \(\displaystyle \int_{0}^{x} \frac{\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-a t}}{t} \, \mathrm{d}t=\ln (a)-\int_{x}^{a x} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{t} \, \mathrm{d}t\).
Indication: On pourra remarquer que, pour tout réel \(t\) de \(] 0, x]\) : \[\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-a t}=\left(1-\mathrm{e}^{-a t}\right)-\left(1-\mathrm{e}^{-t}\right)\]
En déduire la valeur de \(G(a)\).
En effectuant le changement de variable \(u=\mathrm{e}^{-t}\) dont on justifiera la validité, prouver l’existence et déterminer la valeur de \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{u-1}{\ln (u)} \, \mathrm{d} u\).
Soit \(f: u \mapsto \begin{cases} \displaystyle \frac{u-1}{\ln (u)} & \text { si } u \in \left] 0,1 \right[ \\ \hfill u \hfill & \text { si } u \in\{0,1\}\end{cases}\).
On admet que \(f\) est continue sur \([0,1]\).
Soit \(\varphi\) une fonction continue sur \([0,1]\). Que vaut \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \varphi\left(\frac{k}{n}\right)\) ?
Écrire une fonction, nommée Rect, en langage
Python, qui prend en argument un entier \(n\) non nul et renvoie la valeur de \(\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \!
\left(\frac{k}{n}\right)\).
Les bibliothèques suivantes sont importées comme suit :
Expliquer ce que renvoie la fonction suivante :
On a tracé ci-dessous en pointillés la suite obtenue par la méthode de la question 5b et en trait plein celle obtenue par la méthode de la question 5c.
Laquelle des deux suites donne une meilleure approximation de \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{u-1}{\ln (u)} \, \mathrm{d} u\) ?
Soit \(A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}\).
Déterminer le spectre de \(A\).
Justifier que \(A\) est diagonalisable.
Déterminer une matrice \(V\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) inversible et une matrice \(D\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) diagonale telles que \(A=V D V^{-1}\). On ordonnera les coefficients diagonaux de \(D\) dans l’ordre croissant. On ne demande pas le calcul de \(V^{-1}\).
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Pour tout entier naturel \(k, P_{k}\) désigne le polynôme \(x^{k}\).
\(\varphi\) est l’application qui, à tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_{n}[x]\), associe le polynôme \[\varphi(P)(x)=\left(x^{2}-1\right) P^{\prime \prime}(x)+5 x P^{\prime}(x)\]
Si \(\lambda\) est une valeur propre de \(\varphi\), \(E_{\lambda}(\varphi)\) désigne le sous-espace propre de \(\varphi\) associé à la valeur propre \(\lambda\).
Un polynôme sera dit unitaire lorsque son coefficient dominant vaut 1. Par exemple le polynôme \(x^{3}-2 x+4\) est unitaire.
Calculer \(\varphi(P_{0}), \varphi(P_{1}), \varphi(P_{k})\) pour tout entier naturel \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right]\).
Déterminer le degré et le coefficient dominant de \(\varphi(P)\) pour tout polynôme unitaire \(P\) de degré \(d\) où \(d\) est inférieur ou égal à \(n\).
Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_{n}[x]\).
Écrire la matrice de \(\varphi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}_{n}[x]\).
Montrer que, pour tout entier \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\mathbb{R}_{k}[x]\) est stable par \(\varphi\).
On considère l’endomorphisme \(\Psi: \mathbb{R}_{2}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{2}[x]\) défini par \[\Psi(P)(x)=\left(x^{2}-1\right) P^{\prime \prime}(x)+5 x P^{\prime}(x)\] Écrire la matrice de \(\Psi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}_{2}[x]\).
Justifier que \(\operatorname{Sp}(\varphi)=\{k \left(k+4 \right), k \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right] \}\).
Montrer que \(\varphi\) admet \(n+1\) valeurs propres deux à deux distinctes.
Indication : On pourra étudier la fonction \(x \mapsto x \left( x+4 \right)\).
Que peut-on en déduire sur \(\varphi\) ?
Montrer que, pour tout entier naturel \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), il existe un unique polynôme unitaire noté \(G_{k}\) tel que \[E_{k \left( k+4 \right)}(\varphi)=\operatorname{Vect}(G_{k})\]
Que valent \(G_{0}\) et \(G_{1}\) ?
Vérifier que \(G_{2}(x)=x^{2}-\frac{1}{6}\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(k\) de \(\left[\!\left[0, n\right]\!\right]\), le degré de \(G_{k}\) est \(k\).
Soit \(k\) un entier naturel de \(\left[\!\left[0, n\right]\!\right]\).
Soit \(P\) un vecteur propre de \(\varphi\) associé à la valeur propre \(k \left(k+4\right)\). Notons \(Q\) le polynôme \(P(-x)\).
Donner l’expression de \(Q^{\prime}\) et de \(Q^{\prime \prime}\) à l’aide de \(P^{\prime}\) et de \(P^{\prime \prime}\).
Montrer que \(Q\) est un vecteur propre de \(\varphi\) associé à la valeur propre \(k \left(k+4\right)\).
En déduire la parité du polynôme \(G_{k}\) en fonction de \(k\).
Pour tout couple \((P, Q)\) de polynômes de \(\mathbb{R}_{n}[x]\), on pose \(\displaystyle \langle P, Q\rangle=\int_{-1}^{1} P(t) \, Q(t)\left(1-t^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \, \mathrm{d}t\).
Montrer que \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_{n}[x]\).
On munit désormais \(\mathbb{R}_{n}[x]\) de la structure euclidienne associée à ce produit scalaire.
À l’aide du changement de variable \(t=\sin (s)\) dont on justifiera la validité, montrer que \[\int_{-1}^{1}\left(1-t^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \, \mathrm{d}t=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{4}(s) \, \mathrm{d} s\]
Montrer que, pour tout réel \(s, \cos ^{4}(s)=\frac{1}{8} \left[ \cos (4 s)+4 \cos (2 s)+3 \right]\).
En déduire la valeur de \(\left\|G_{0}\right\|^{2}\).
Soit \(P \in \mathbb{R}_{n}[x]\). Déterminer la dérivée de la fonction \(t \mapsto P^{\prime}(t)\left(1-t^{2}\right)^{\frac{5}{2}}\).
Soit \((P, Q)\) un couple de polynômes de \(\mathbb{R}_{n}[x]\).
Montrer que \(\displaystyle \langle\varphi(P), Q\rangle=\int_{-1}^{1} P^{\prime}(t) \, Q^{\prime}(t)\left(1-t^{2}\right)^{\frac{5}{2}} \, \mathrm{d}t\).
Que peut-on en déduire sur l’endomorphisme \(\varphi\) ?
Justifier que, pour tout entier naturel \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), la famille \(\left(G_{0}, \ldots, G_{k}\right)\) est une base orthogonale de \(\mathbb{R}_{k}[x]\).
En déduire que, pour tout entier naturel \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(G_{k}\) est orthogonal à tout élément de \(\mathbb{R}_{k-1}[x]\).
Vérifier que, pour tout triplet \((P, Q, R)\) de polynômes de \(\mathbb{R}_{n}[x],\langle P Q, R\rangle=\langle P, Q R\rangle\).
Justifier que, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_{n}[x]\) de degré \(d\), \(\displaystyle P=\sum_{i=0}^{d} \frac{\left\langle P, G_{i}\right\rangle}{\left\|G_{i}\right\|^{2}} \, G_{i}\).
Soit \(k\) un entier de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\).
Montrer qu’il existe un unique triplet de réels \(\left(\alpha_{k}, \beta_{k}, \gamma_{k}\right)\) tel que \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad x G_{k}(x)=\alpha_{k} G_{k+1}(x)+\beta_{k} G_{k}(x)+\gamma_{k} G_{k-1}(x)\]
Montrer que \(\alpha_{k}=1\) et \(\beta_{k}=0\).
Indication : On pourra exploiter les résultats des questions \(4 d\) et \(5 c\). On admet que \[\gamma_{k}=\frac{k \left( k+3 \right)}{4 \left( k+2 \right)(k+1)}\]
Déterminer \(G_{3}\).
En Python , on représente un polynôme de \(\mathbb{R}_{n}[x]\) par le tableau numpy de
taille \(n+1\) de ses coefficients
suivant les puissances croissantes. Ainsi le polynôme \(P(x)=x^{2}+2 x+3\) est représenté par le
tableau de taille \(n+1 [3,2,1,0, \cdots,
0]\).
On suppose que la bibliothèque numpy est importée comme
suit :
Compléter la fonction Python suivante afin qu’elle
renvoie le tableau correspondant au polynôme \(x P\).
Écrire une fonction, en langage Python Python,
nommée VP qui prend en argument \(n\) et un entier naturel \(k\) et qui renvoie le tableau
numpy associé à \(G_{k}\).
Les variables aléatoires considérées dans ce problème sont toutes définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Soit \(d\) un entier naturel supérieur ou égal 2.
Un dé équilibré à \(d+1\) faces numérotées de 0 à \(d\) est lancé à plusieurs reprises. Les lancers sont indépendants les uns des autres.
Soit \(r\) un entier naturel non nul.
On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires jusqu’à l’obtention, pour la première fois, de \(r\) faces 0 consécutives et \(Y\) la variable aléatoire égale au rang d’apparition du premier lancer donnant une valeur non nulle.
Soit \(x\) un réel de \(] 0,1[\).
Rappeler la valeur de \(\displaystyle \sum_{k=1}^{r} x^{k}\).
Soit \(x\) un réel de \(] 0,1[\).
Simplifier \(\displaystyle (1-x)^{2} \sum_{k=1}^{r} k x^{k-1}\) et en déduire la valeur de \(\displaystyle \sum_{k=1}^{r} k x^{k-1}\).
Rappeler la loi de \(Y\), son espérance et sa variance.
Vérifier que \(\displaystyle \mathbb{P}(Y>r)=\left(\frac{1}{d+1}\right)^{r}\).
On admet que \(X\) possède une espérance.
Déterminer \(\mathbb{E}(X \mid[Y>r])\).
Pour tout entier naturel \(i\) de \(\left[\!\left[1, r\right]\!\right]\), justifier que \(\mathbb{E}(X \mid[Y=i])=i+\mathbb{E}(X)\).
Montrer que \(\displaystyle \mathbb{E}(X)=\sum_{i=1}^r i \, \mathbb{P}(Y=i)+\mathbb{E}(X) \left[ 1-\mathbb{P}(Y>r) \right] +r \, \mathbb{P}(Y>r)\).
En déduire que \(\displaystyle \mathbb{E}(X)=\frac{1}{d}\left[ (d+1)^{r+1}-d-1\right]\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, notons \(U_{n}\) la variable aléatoire égale au numéro obtenu lors du \(n^{\text {ème }}\) lancer d’un dé équilibré à \(d+1\) faces numérotées de 0 à \(d\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, notons \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} U_{k}\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, rappeler la loi de la variable aléatoire \(U_{n}\) et déterminer son espérance.
Donner \(S_{2}(\Omega)\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(k\) de \(S_{2}(\Omega)\), \(\displaystyle \mathbb{P}(S_{2}=k)=\sum_{i=0}^{d} \mathbb{P}\left(U_{1}=i\right) \mathbb{P}\left(U_{2}=k-i\right)\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(k\) de \(S_{2}(\Omega)\), \(\displaystyle \mathbb{P}(S_{2}=k)= \begin{cases} \displaystyle \frac{k+1}{(d+1)^{2}} & \text { si } 0 \leqslant k<d \\ \displaystyle \frac{2 d+1-k}{(d+1)^{2}} & \text { si } k \geqslant d \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\).
Déterminer \(\mathbb{P}(S_{2} \geqslant d)\).
Soit \(T\) la variable aléatoire égale au plus petit entier naturel \(n\) non nul tel que \(S_{n} \geqslant d\).
Les bibliothèques suivantes sont importées comme suit :
La fonction rd.randint de la bibliothèque
numpy.random prend en arguments d’entrée deux entiers \(a\) et \(b\) (avec \(a<b\) ) et renvoie une réalisation
aléatoire de la loi uniforme discrète sur \(\left[\!\left[a, b-1\right]\!\right]\). Cette
fonction pourra être utilisée dans la suite du problème.
Écrire une fonction, en langage Python, nommée
Atteinte qui prend en entrée l’entier \(d\), simule l’expérience et qui renvoie le
plus petit entier naturel \(n\) non nul
tel que \(S_{n} \geqslant d\).
On admet que \(T\) admet une espérance.
Recopier et compléter la fonction, en langage Python,
nommée EspT, qui prend en entrée deux entiers naturels
\(d\) et \(N\) et qui renvoie une valeur approchée de
l’espérance de \(T\).
Quel théorème utilisez-vous à travers cette fonction?
En exécutant le script suivant, on obtient la courbe ci-dessous :
Que pouvez-vous conjecturer à l’aide de cette figure?
On admet que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(\displaystyle \mathbb{P}(T \geqslant n)=\frac{\binom{n+d-2}{n-1}}{(d+1)^{n-1}}\).
Soit \(V\) une variable aléatoire telle que \(V(\Omega) \subset \mathbb{N}\) et \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \mathbb{P}(V \geqslant n)\) converge.
Montrer que, pour tout entier naturel \(N\) non nul \[\displaystyle \sum_{n=1}^{N} \mathbb{P}(V \geqslant n)=\sum_{i=1}^{N} i \, \mathbb{P}(V=i)+N \, \mathbb{P}(V \geqslant N+1)\]
Montrer que \(V\) admet une espérance.
Montrer que \(\displaystyle \lim _{N \rightarrow+\infty} N \, \mathbb{P}(V \geqslant N+1)=0\).
Montrer que \(\displaystyle \mathbb{E}(V)=\sum_{n=1}^{+\infty} \mathbb{P}(V \geqslant n)\).
Soit \(r\) un entier naturel et \(h\) la fonction définie sur \(\left[0, \frac{1}{2}\right]\) par \[\forall t \in\left[0, \frac{1}{2}\right], \ h(t)=\frac{r!}{(1-t)^{r+1}}\]
Justifier que \(h\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\left[0, \frac{1}{2}\right]\) et, pour tout entier naturel \(k\), déterminer \(h^{(k)}\), la dérivée \(k^{\text {ème }}\) de \(h\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul et pour tout réel \(x\) de \(\left[0, \frac{1}{2}\right]\) \[\left|\int_{0}^{x} \frac{(x-t)^{n-1}}{(1-t)^{r+n+1}} \, \mathrm{d}t\right| \leqslant 2^{r+n+1} \, \frac{x^{n}}{n}\]
Soit \(x\) un réel de \(\left[0, \frac{1}{2}[\right.\).
À l’aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que la série \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0}(n+r) \cdots(n+1) \, x^{n}\) converge et \[\sum_{n=0}^{+\infty}(n+r) \cdots(n+1) \, x^{n}=\frac{r!}{(1-x)^{r+1}}\]
En déduire que \(T\) admet une espérance et vérifier que \(\displaystyle \mathbb{E}(T)=\left(\frac{d+1}{d}\right)^{d}\).
Déterminer, si elle existe, la limite de \(\mathbb{E}(T)\) quand \(d\) tend vers \(+\infty\).
Soit \(\left(U_{n}\right)_{n \in N^{*}}\) une suite de variables aléatoires à densité indépendantes, suivant la loi uniforme sur \([0, d ]\) où \(d\) est un réel strictement positif.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(\displaystyle S_{n}=\sum_{i=1}^{n} U_{i}\) et on admet que \(S_{n}\) est une variable aléatoire à densité, de densité notée \(f_{n}\).
Rappeler une densité de \(S_{1}\), son espérance et sa variance.
Justifier que, pour tout réel \(x\) de \(\left]-\infty, 0\right[ \cup\left[2 d,+\infty\right[\), \(\displaystyle f_{2}(x)=0\).
Montrer que, pour tout réel \(x\) de \([0, d]\), \(\displaystyle f_{2}(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{d^{2}} \, \mathrm{d}t\).
En déduire une expression de \(f_{2}(x)\) pour tout réel \(x\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
On suppose que \(f_{n}\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et vérifie \[\forall x \in \left]-\infty, 0\right[, \ f_{n}(x)=0\] et \[\forall x \in[0, d], \ f_{n}(x)=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!d^{n}}\]
Justifier que, pour tout réel \(x\) de \(]-\infty, 0[\), \(f_{n+1}(x)=0\).
Montrer que, pour tout réel \(x\) de \([0, d]\), \(\displaystyle f_{n+1}(x)=\frac{x^{n}}{n!d^{n+1}}\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(\displaystyle \mathbb{P}(S_{n}<d)=\frac{1}{n!}\).
On considère la variable aléatoire \(T\) définie par :
\[T=\min \left\{n \in \mathbb{N}^{*}, S_{n} \geqslant d\right\}\]
Que vaut \(\mathbb{P}(T=1)\) ?
Exprimer, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \([T>n]\) en fonction de \(\left[S_{n}<d\right]\).
Établir l’existence de l’espérance \(\mathbb{E}(T)\) et calculer \(\mathbb{E}(T)\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Ce sujet est bien équilibré et représentatif des attendus de la filière ECG : il combine analyse, algèbre linéaire et probabilités dans des cadres classiques mais exigeant une bonne maîtrise technique.
L’exercice 1 mobilise des outils d’intégration impropre, de changements de variables et d’équivalents, avec une ouverture intéressante vers l’approximation numérique (sommes de Riemann et méthode de Monte-Carlo), ce qui valorise à la fois la rigueur analytique et l’interprétation numérique.
L’exercice 2 propose une étude spectrale structurée d’un endomorphisme puis d’un opérateur différentiel sur l'espace vectoriel des polynômes, typique des questions de diagonalisation : il distingue bien les candidats solides en algèbre sans introduire de difficulté technique excessive.
Enfin, le problème de probabilités repose sur des raisonnements classiques (espérance conditionnelle, convolution discrète, temps d’attente), mais demande méthode et clarté dans l’organisation des calculs, ce qui en fait une très bonne épreuve discriminante.
Dans l’ensemble, il s’agit d’un sujet progressif, accessible aux candidats bien préparés, mais suffisamment structuré pour valoriser la rigueur rédactionnelle et la maîtrise des raisonnements standards du programme.