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Dans cette partie, on considère deux suites \(\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) et \(\displaystyle \left(b_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) définies par \(\displaystyle a_{0}=1\) et \(\displaystyle b_{0}=0\) et
\[\forall n \in \mathbb{N}, \quad a_{n+1}=\frac{7}{10} \, a_{n}+\frac{1}{10} \, b_{n} \quad \text { et } \quad b_{n+1}=\frac{3}{10} \, a_{n}+\frac{9}{10} \, b_{n}\]
Montrer que, pour tout entier naturel \(\displaystyle n\), \(\displaystyle a_{n}+b_{n}=1\).
Indication : On pourra utiliser un raisonnement par récurrence.
Montrer que, pour tout entier naturel \(\displaystyle n\), \(\displaystyle a_{n+1}=\frac{3}{5} a_{n}+\frac{1}{10}\).
Déterminer le réel \(\displaystyle \ell\) tel que \(\displaystyle \ell=\frac{3}{5} \ell+\frac{1}{10}\).
Soit \(\displaystyle \left(v_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) la suite définie par : \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, v_{n}=a_{n}-\ell\).
Montrer que la suite \(\displaystyle \left(v_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) est une suite géométrique.
Montrer que, pour tout entier naturel \(\displaystyle n\), \(\displaystyle a_{n}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}\).
Déterminer l’expression de \(\displaystyle b_{n}\), pour tout entier naturel \(\displaystyle n\).
Déterminer la limite de \(\displaystyle \left(b_{n}\right)_{n \geqslant 0}\).
Recopier et compléter la fonction en langage Python,
nommée rang, qui prend en entrée un réel \(\displaystyle s\) de \(\displaystyle \left] 0, \frac{3}{4}
\right[\) et renvoie le plus petit entier \(\displaystyle n\) tel que \(\displaystyle b_{n} \geqslant s\).
Dans cette partie, \(\displaystyle M\), \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) et \(\displaystyle D\) sont les matrices de \(\displaystyle \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) suivantes : \[M=\begin{pmatrix} 7 & 1 & 1 \\ 3 & 9 & -1 \\ 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}, \quad P=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix} 3 & 3 & -1 \\ -9 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \quad \text { et } \quad D=\begin{pmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}\]
Calculer \(\displaystyle Q P\).
Justifier que \(\displaystyle P\) est inversible et donner \(\displaystyle P^{-1}\).
Montrer que les vecteurs colonnes \(\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}\), \(\displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\) et \(\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}\) sont des vecteurs propres de \(\displaystyle M\) et préciser les valeurs propres associées.
Montrer que \(\displaystyle M=P D P^{-1}\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(\displaystyle n\), \(\displaystyle M^{n}=\frac{1}{12} \, P D^{n} Q\).
Déterminer \(\displaystyle Q\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\).
En déduire que, pour tout entier naturel \(\displaystyle n\), \(\displaystyle M^{n}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}=2^{n-1}\begin{pmatrix}5^{n}+3^{n} \\ 5^{n}-3^{n} \\ 2.5^{n}\end{pmatrix}\).
On considère maintenant les deux suites \(\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) et \(\displaystyle \left(y_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) définies par \(\displaystyle x_{0}=1\) et \(\displaystyle y_{0}=0\) et : \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad x_{n+1}=\frac{7}{10} \, x_{n}+\frac{1}{10} \, y_{n}+\frac{1}{10} \quad \text { et } \quad y_{n+1}=\frac{3}{10} \, x_{n}+\frac{9}{10} \, y_{n}-\frac{1}{10}\]
Montrer que, pour tout entier naturel \(\displaystyle n\), \(\displaystyle \begin{pmatrix}x_{n+1} \\ y_{n+1} \\ 1\end{pmatrix}=\frac{1}{10} \, M\begin{pmatrix}x_{n} \\ y_{n} \\ 1\end{pmatrix}\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(\displaystyle n\), \(\displaystyle \begin{pmatrix}x_{n} \\ y_{n} \\ 1\end{pmatrix}=\frac{1}{10^{n}} \, M^{n}\begin{pmatrix}x_{0} \\ y_{0} \\ 1\end{pmatrix}\).
En déduire que, pour tout entier naturel \(\displaystyle n\), \(\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}\).
La fonction \(\displaystyle g\) est définie sur \(\displaystyle \mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ g(x)=1-x \, \mathrm{e}^{1-x}\]
On admet que \(\displaystyle g\) est deux fois dérivable sur \(\displaystyle \mathbb{R}\). On appelle \(\displaystyle \mathscr{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
Déterminer la limite de \(\displaystyle g\) en \(\displaystyle -\infty\).
Déterminer la limite de \(\displaystyle g\) en \(\displaystyle +\infty\).
En déduire une asymptote de \(\displaystyle \mathscr{C}\).
Déterminer la dérivée de \(\displaystyle g\).
Dresser le tableau de variation de \(\displaystyle g\).
Déterminer, pour tout réel \(\displaystyle x\), \(\displaystyle g^{\prime \prime}(x)\).
Étudier la convexité de \(\displaystyle g\) sur \(\displaystyle \mathbb{R}\) et justifier que \(\displaystyle g\) admet un point d’inflexion au point d’abscisse 2.
Déterminer une équation de la tangente \(\displaystyle (T)\) à la courbe \(\displaystyle \mathscr{C}\) au point d’abscisse 2.
Déterminer la position relative de \(\displaystyle (T)\) et de \(\displaystyle \mathscr{C}\).
Tracer l’allure de la courbe \(\displaystyle \mathscr{C}\), les asymptotes, la droite \(\displaystyle (T)\) et la tangente au point d’abscisse 0. On rappelle que \(\displaystyle \mathrm{e} \simeq 2,72\) et \(\displaystyle \mathrm{e}^{-1} \simeq 0,37\).
On définit la fonction \(\displaystyle f\) par : \[f(t)=\begin{cases} 0 & \text { si } \quad t<\mathrm{e} \\ \displaystyle 4 \, \mathrm{e}^{2} \, \frac{\ln (t)-1}{t^{3}} & \text { si } \quad t \geqslant \mathrm{e} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Donner une primitive de \(\displaystyle t \mapsto \frac{1}{t^{3}}\) sur [e, \(\displaystyle +\infty[\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout réel \(\displaystyle x\) strictement supérieur à \(\mathrm{e}\) : \[\int_{\mathrm{e}}^{x} \frac{\ln (t)-1}{t^{3}} \, \mathrm{d} t=\frac{1}{2 x^{2}}\left(\frac{1}{2}-\ln (x)\right)+\frac{1}{4 \mathrm{e}^{2}}\]
En déduire que la fonction \(\displaystyle f\) est une densité de probabilité.
Soit \(\displaystyle (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) un espace probabilisé.
Soit \(\displaystyle X\) une variable aléatoire de densité \(\displaystyle f\) définie sur \(\displaystyle (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Déterminer la fonction de répartition \(\displaystyle F\) de \(\displaystyle X\) sur \(\displaystyle \mathbb{R}\).
Calculer les probabilités \(\displaystyle \mathbb{P}(X \leqslant \mathrm{e}^{2})\), \(\displaystyle \mathbb{P}(\mathrm{e}^{2}<X \leqslant \mathrm{e}^{3})\) et \(\displaystyle \mathbb{P}_{\left[X \geqslant \mathrm{e}^{2}\right]}(X<\mathrm{e}^{3})\), en fonction du nombre \(\mathrm{e}\).
On définit la fonction \(\displaystyle G\) par : \[\forall x \geqslant \mathrm{e}, \ G(x)=-\frac{\ln (x)}{x}\]
On admet que \(\displaystyle G\) est dérivable sur \(\displaystyle [\mathrm{e},+\infty[\).
Déterminer la dérivée de \(\displaystyle G\) sur \(\displaystyle [ \mathrm{e},+\infty[\).
Montrer que la variable aléatoire \(\displaystyle X\) admet une espérance et que son espérance vaut \(4\,\mathrm{e}\).
Montrer que, pour tout réel \(\displaystyle t\) supérieur ou égal à \(\displaystyle \mathrm{e}^{2}\), \(\displaystyle t^{2} f(t) \geqslant \frac{4 \mathrm{e}^{2}}{t}\).
Montrer que \(\displaystyle X\) n’admet pas de variance.
Soit \(\displaystyle n\) un entier naturel non nul.
On considère la famille de variables aléatoires indépendantes \(\displaystyle \left(X_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}\) définies sur \(\displaystyle (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) suivant toutes la même loi que \(\displaystyle X\).
On appelle \(\displaystyle Z_{n}\) la variable aléatoire égale à \(\displaystyle Z_{n}=\max \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\).
On rappelle que, pour tout réel \(\displaystyle x\), \(\displaystyle \left[Z_{n} \leqslant x\right]=\left[X_{1} \leqslant x\right] \cap\left[X_{2} \leqslant x\right] \cap \cdots \cap\left[X_{n} \leqslant x\right]\).
Montrer que la fonction de répartition \(\displaystyle F_{n}\) de \(\displaystyle Z_{n}\) est définie par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ F_{n}(x)=(F(x))^{n}\]
Vérifier que, pour tout réel \(\displaystyle x\) supérieur ou égal à \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle \mathbb{P} \! \left( \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}} \, Z_{n} \leqslant \mathrm{e}^{\frac{x}{2}} \right)=\left(1-x \,\mathrm{e}^{1-x}\right)^{n}\).
Est-il prévisible que, pour \(\displaystyle x=1\), \(\displaystyle \mathbb{P} \! \left( \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}} \, Z_{n} \leqslant \mathrm{e}^{\frac{x}{2}} \right)=0\) ?
Pour tout entier naturel \(\displaystyle n\) non nul, on définit la fonction \(\displaystyle h_{n}\) sur \(\displaystyle [ 1,+\infty\) [ par \[\forall x \in\left[1,+\infty\right[, \ h_{n}(x)=\left(1-x \,\mathrm{e}^{1-x}\right)^{n}=(g(x))^{n}\]
où \(\displaystyle g\) est la fonction définie à la partie 1.
On admet que \(\displaystyle h_{n}\) est dérivable sur \(\displaystyle [1,+\infty[\).
Soit \(\displaystyle n\) un entier naturel non nul.
Déterminer \(\displaystyle h_{n}(1)\) et \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} h_{n}(x)\).
Montrer que \(\displaystyle h_{n}\) est croissante sur \(\displaystyle [1,+\infty[\).
On admet que \(\displaystyle h_{n}\) est strictement croissante sur \(\displaystyle [1,+\infty[\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(\displaystyle n\) non nul, il existe un unique réel \(\displaystyle \alpha_{n}\) de \(\displaystyle \left[1,+\infty\left[\right.\right.\) tel que \(\displaystyle h_{n}\left(\alpha_{n}\right)=\frac{1}{2}\).
À l’aide du graphique suivant, conjecturer la monotonie de la suite \(\displaystyle \left(\alpha_{n}\right)_{n \in N}\).
Soit \(\displaystyle n\) un entier naturel non nul.
Vérifier que \(\displaystyle h_{n+1}\left(\alpha_{n}\right)=\frac{1-\alpha_{n} \,\mathrm{e}^{1-\alpha_{n}}}{2}\).
En déduire que \(\displaystyle \alpha_{n} \leqslant \alpha_{n+1}\).
Que dire du comportement de la suite \(\displaystyle \left(\alpha_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) quand \(\displaystyle n\) tend vers \(\displaystyle +\infty\) ?
Une boîte contient dix foulards dont trois foulards sur lesquels sont dessinés des roses, cinq foulards ayant des motifs à carreaux et deux foulards avec des représentations d’instruments de musique.
Ces foulards sont indiscernables au toucher, garantissant l’indépendance des tirages avec remise.
On suppose qu’il existe un espace probabilisé \(\displaystyle (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) modélisant cette expérience. Toutes les variables aléatoires sont alors définies dans cet espace probabilisé.
Dans cette partie, \(\displaystyle n\) tirages avec remise sont effectués dans cette boîte, \(\displaystyle n\) étant un entier naturel non nul.
On appelle \(\displaystyle R\) la variable aléatoire égale au nombre de foulards avec des roses obtenus au cours de ces \(\displaystyle n\) tirages.
Donner la loi de \(\displaystyle R\) en précisant l’ensemble \(\displaystyle R(\Omega)\) des valeurs prises par \(\displaystyle R\) ainsi que l’expression de la probabilité \(\displaystyle \mathbb{P}(R=k)\) pour tout élément \(\displaystyle k\) de \(\displaystyle R(\Omega)\).
Exprimer en fonction de \(\displaystyle n\) l’espérance et la variance de \(\displaystyle R\).
On admet que la variable aléatoire \(\displaystyle C\) égale au nombre de foulards avec des carreaux obtenus au cours de ces \(\displaystyle n\) tirages, suit une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle \left(n, \frac{1}{2}\right)\) et que la variable aléatoire \(\displaystyle M\) égale au nombre de foulards avec des représentations d’instruments de musique obtenus au cours de ces \(\displaystyle n\) tirages, suit une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle \left(n, \frac{1}{5}\right)\).
On considère la variable aléatoire \(\displaystyle S=R+C\).
Déterminer \(\displaystyle \mathbb{P}(S=0)\) et \(\displaystyle \mathbb{P}(S=1)\).
Justifier que \(\displaystyle S\) suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
Donner l’espérance de \(\displaystyle S\) et vérifier que \(\displaystyle \mathbb{V}(S)\), la variance de \(\displaystyle S\), vaut \(\displaystyle \frac{4}{25} \, n\).
Déterminer la covariance de \(\displaystyle R\) et \(\displaystyle C\).
Les variables \(\displaystyle R\) et \(\displaystyle C\) sont-elles indépendantes?
Montrer que le coefficient de corrélation linéaire de \(\displaystyle R\) et \(\displaystyle C\) est \(\displaystyle \rho(R, C)=-\sqrt{\frac{3}{7}}\).
Les bibliothèques suivantes sont importées comme suit :
Que renvoie la fonction Foulards?
À l’aide de la fonction précédente, écrire un script en langage
Python permettant de déterminer une valeur approchée de
\(\displaystyle \mathbb{E}(R C)-\mathbb{E}(R)
\, \mathbb{E}(C)\), où \(\displaystyle
\mathbb{E}\) désigne l’espérance.
Dans cette partie, les tirages sont effectués avec remise et jusqu’à l’obtention d’au moins un foulard avec des roses et d’au moins un foulard sans roses.
Soit \(\displaystyle T\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir un foulard portant soit des carreaux soit des instruments de musique, c’est-à-dire un foulard sans roses.
Reconnaître la loi de \(\displaystyle T\), en justifiant précisément.
Donner l’espérance \(\displaystyle \mathbb{E}(T)\) et la variance \(\displaystyle \mathbb{V}(T)\).
Pour tout entier naturel \(\displaystyle k\) non nul, \(\displaystyle R_{k}\) désigne l’événement « obtenir un foulard avec des roses au \(\displaystyle k^{\text {ème }}\) tirage ». Soit \(\displaystyle N\) la variable aléatoire égale au nombre total de tirages réalisés lorsque l’expérience s’arrête.
Préciser l’ensemble \(\displaystyle N(\Omega)\) des valeurs prises par \(\displaystyle N\).
Exprimer l’événement \(\displaystyle [N=2]\) à l’aide de \(\displaystyle R_{1}, \overline{R_{1}}, R_{2}, \overline{R_{2}}\).
Déterminer la probabilité \(\displaystyle \mathbb{P}(N=2)\).
Exprimer \(\displaystyle [N=3]\) à l’aide des événements \(\displaystyle R_{1}, R_{2}, R_{3}, \overline{R_{1}}, \overline{R_{2}}\) et \(\displaystyle \overline{R_{3}}\), puis montrer que \[\mathbb{P}(N=3)=\frac{21}{100}\]
On admet que, plus généralement, pour tout entier \(\displaystyle k\) supérieur ou égal à 2, \[\mathbb{P}(N=k)=\frac{7}{10} \cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{k-1}+\frac{3}{10} \cdot\left(\frac{7}{10}\right)^{k-1}\]
Vérifier que \(\displaystyle \sum_{k=2}^{+\infty} \mathbb{P}(N=k)=1\).
Soit \(\displaystyle q\) un réel non nul de \(\displaystyle ]-1,1[\) .
Pour tout entier naturel \(\displaystyle n\) non nul, on définit \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} k q^{k-1}\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(\displaystyle n\) non nul, \(\displaystyle (1-q)^{2} S_{n}=1- \left( n+1 \right) q^{n}+n q^{n+1}\).
On admet que, si \(\displaystyle x \in \left]-1,1\right[\), alors \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n x^{n}=0\).
En déduire que la série \(\displaystyle \sum_{k \geqslant 1} k q^{k-1}\) converge et donner la valeur de \(\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} k q^{k-1}\)
À l’aide du résultat de la question précédente, démontrer que \(\displaystyle N\) admet une espérance et que \(\displaystyle \mathbb{E}(N)=\frac{79}{21}\).
Calculer la probabilité \(\displaystyle \mathbb{P}([T=1] \cap[N=2])\).
Les variables aléatoires \(\displaystyle T\) et \(\displaystyle N\) sont-elles indépendantes?
L’entreprise qui fabrique ces foulards tient à jour une base de
données qui contient notamment la table foulards,
constituée ainsi :
Chaque référence désigne un unique type de foulard.
Une extraction de données affiche le résultat suivant (tableau partiel) :
| ref | tissu | motif | quantite |
|---|---|---|---|
| 2455 A | soie | roses | 5 |
| 732 GB 7 | coton | instruments | 68 |
| DE894 | lin | roses | 24 |
| S2457 | laine | instruments | 24 |
| 5848 E | soie | carreaux | 57 |
| $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
Écrire la requête permettant d’obtenir ce tableau.
Quel attribut peut-on choisir comme clé primaire?
Le prix du foulard référencé 26 ECR a évolué et vaut maintenant 72 €.
Quelle requête le gérant doit-il écrire pour modifier la table
foulards?
Quel est l’effet de la requête suivante ?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Ce sujet est équilibré et progressif, et couvre de manière représentative plusieurs points essentiels du programme ECG.
Le premier exercice mobilise des techniques classiques sur les suites linéaires couplées et la diagonalisation matricielle, avec une bonne articulation entre approche scalaire et approche matricielle.
Le deuxième exercice, plus riche, combine étude de fonction et variable aléatoire à densité non standard ; il constitue la partie la plus discriminante du sujet et demande une rédaction rigoureuse.
Le troisième exercice, plus direct, permet de consolider des résultats classiques sur les lois binomiale et géométrique, ainsi que des compétences de base en Python et SQL.
Dans l’ensemble, il s’agit d’un sujet bien construit, sans difficulté technique excessive, qui valorise la maîtrise du cours et la capacité à organiser un raisonnement.
Un étudiant solide pouvait traiter une large partie du sujet, tandis que les questions sur la densité et la variance infinie jouaient un rôle plus sélectif.