ECRICOME 2025ECT

Exercice 1

Partie 1

On considère les matrices suivantes de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) : \[I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad M=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\]

1. Soit \(J=M-2 I\).

   1. Expliciter les coefficients de \(J\).

   2. Déterminer les coefficients de \(J^{2}\) et exprimer \(J^{2}\) en fonction de \(J\).

   3. Donner une expression de \(M^{2}\) en fonction de \(I\) et \(J\).

   4. Montrer que \(M^{2}=7 M-10 I\).

2. Soit \(R(X)=X^{2}-7 X+10\).

   1. Que dire du polynôme \(R\) pour la matrice \(M\) ?

   2. Vérifier que 2 est racine de \(R\), puis déterminer une autre racine de \(R\).

   3. En déduire des valeurs propres possibles pour \(M\).

3. Soit \(U=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\).

   Calculer \(M U\). Que peut-on en déduire?

4. Montrer que les vecteurs \(V=\begin{pmatrix}1 \\0 \\ -1\end{pmatrix}\) et \(W=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}\) sont des vecteurs propres de \(M\) associés à la valeur propre 2.

5. On considère les matrices \(D=\begin{pmatrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}, P=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}\) et \(Q=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1\end{pmatrix}\).

   1. Calculer le produit \(Q P\).

   2. En déduire que \(P\) est inversible et exprimer \(P^{-1}\) en fonction de \(Q\).

   3. Vérifier que \(P D=M P\).

   4. Démontrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ M^{n}=\frac{1}{3} \, P D^{n} Q\]

Partie 2

6. Les suites \(\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0},\left(b_{n}\right)_{n \geqslant 0},\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) sont définies par : \[a_{0}=0, \quad b_{0}=1 \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad\begin{cases} { a _ { n + 1 } = 7 a _ { n } + b _ { n } } \\ { b _ { n + 1 } = - 10 a _ { n } } \end{cases} \text { et } \begin{cases} u_{n}=5 a_{n}+b_{n} \\ v_{n}=-2 a_{n}-b_{n} \end{cases}\]

   1. Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) est géométrique de raison 5, puis exprimer \(u_{n}\) en fonction de \(n\).

   2. Montrer que la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) est géométrique, puis exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\).

   3. En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad a_{n}=\frac{1}{3}\left(5^{n}-2^{n}\right) \quad \text{et} \quad b_{n}=\frac{1}{3}\left(5 \times 2^{n}-2 \times 5^{n}\right)\]

7. Montrer par récurrence sur \(n\) que pour tout entier naturel \(n\), \(M^{n}=a_{n} M+b_{n} I\).

   On admet que pour tout entier naturel \(n\) : \[M^{n}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}5^{n}+2^{n+1} & 5^{n}-2^{n} & 5^{n}-2^{n} \\ 5^{n}-2^{n} & 5^{n}+2^{n+1} & 5^{n}-2^{n} \\ 5^{n}-2^{n} & 5^{n}-2^{n} & 5^{n}+2^{n+1}\end{pmatrix}\]

Partie 3

Un chat se nourrit chaque jour dans une des trois maisons numérotées \(1,2,3\).

Le jour numéro 1, le chat se nourrit dans la maison 1.

Puis chaque jour suivant, ce chat se nourrit dans la même maison que la veille avec la probabilité \(\frac{3}{5}\), ou dans l’une des deux autres maisons de façon équiprobable.

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on définit la variable aléatoire \(X_{n}\) égale au numéro de la maison où le chat se nourrit le jour numéro \(n\).

Ainsi \(X_{1}\) est la variable aléatoire certaine égale à 1.

8. 1. Justifier que : \(\mathbb{P}(X_{2}=1)=\frac{3}{5}\) et que \(\mathbb{P}(X_{2}=2)=\mathbb{P}(X_{2}=3)=\frac{1}{5}\).

   2. Déterminer l’espérance de \(X_{2}\).

   3. Vérifier que la variance de \(X_{2}\) est \(\frac{16}{25}\), et en déduire l’écart type de \(X_{2}\).

9. 1. Déterminer la loi de la variable aléatoire \(X_{3}\).

   2. Sachant que le troisième jour le chat est dans la troisième maison, quelle est la probabilité que le chat se soit nourri dans la deuxième maison le deuxième jour?

10. On considère, pour tout entier naturel non nul \(n\), la matrice colonne \(C_{n}=\begin{pmatrix}\mathbb{P}(X_{n}=1) \\ \mathbb{P}(X_{n}=2) \\ \mathbb{P}(X_{n}=3)\end{pmatrix}\).

    1. Justifier précisément que : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ C_{n+1}=\frac{1}{5} \, M C_{n}\).

    2. Démontrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ C_{n}=\frac{1}{5^{n-1}} \, M^{n-1} C_{1}\]

    3. En déduire la loi de probabilité de la variable \(X_{n}\).

11. 1. Exprimer l’espérance \(\mathbb{E}(X_{n})\) en fonction de \(n\).

    2. Déterminer \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{E}(X_{n})\).

Partie 4

Un voisin du quartier, vétérinaire, se soucie de la santé des chats qui y vivent et tient à jour une base de données qui contient deux tables : chats et propriétaires :

12. Quel est l’effet de la requête suivante ?

13. Mme Michel a pour identifiant idprop 1234. Son chat très âgé ayant disparu, elle a acquis un nouveau chat nommé « Niels » dont le numéro de puce est 987654321.

    Écrire une requête permettant de modifier l’enregistrement adéquat dans la table propriétaires.

14. Niels est un chat mâle de race birmane, de couleur blanche, d’âge 1 an, de poids 2 kg. Son identifiant dans la table chats est 457 et son numéro de puce est 987654321.

    Écrire la requête permettant d’enregistrer ces informations dans la table chats.

15. On souhaite regrouper des informations contenues dans les deux tables.

    Compléter la requête suivante :

Exercice 2

Partie 1

Les fonctions \(f\) et \(g\) sont définies sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x} \quad \text{et} \quad g(x)=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\]

On admet que \(f\) et \(g\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\).

1. Montrer que : \(\forall x \in \mathbb{R}, \ f^{\prime}(x)=g(x)\) et \(g^{\prime}(x)=f(x)\).

2. 1. Déterminer les limites de \(g\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

   2. Étudier les variations de \(g\) et dresser son tableau de variation.

3. 1. Résoudre l’équation \(g(x)=0\).

   2. Dresser le tableau de signes de la fonction \(g\).

   3. En déduire le tableau de variation de la fonction \(f\), avec ses limites aux bornes.

   4. Étudier la convexité de \(f\).

4. Étudier la convexité de \(g\).

5. \(\mathcal{C}_{f}\) et \(\mathcal{C}_{g}\) sont les courbes représentatives respectives de \(f\) et de \(g\).

   1. Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \(\mathcal{C}_{g}\) au point d’abscisse 0.

   2. Préciser la position relative de \(\mathcal{C}_{g}\) et \((T)\).

   3. En déduire que : \(\forall x \leqslant 0, \ g(x) \leqslant 2 x\) et \(\forall x \geqslant 0, \ g(x) \geqslant 2 x\).

6. 1. Justifier que : \(\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x) \geqslant g(x)\).

   2. Que peut-on en déduire pour la position relative des courbes \(\mathcal{C}_{f}\) et \(\mathcal{C}_{g}\) ?

7. Tracer, dans un repère orthogonal du plan, l’allure des courbes \(\mathcal{C}_{f}\) et \(\mathcal{C}_{g}\) ainsi que la droite \((T)\).

8. Notons \(\mathcal{A}\) l’aire de la surface délimitée par \((T)\) et \(\mathcal{C}_{f}\) entre les bornes 0 et 1.

   1. Hachurer cette surface sur le graphique de la question 7.

   2. Déterminer l’aire de la surface comprise entre la courbe \(\mathcal{C}_{f}\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=1\).

   3. Calculer \(\mathcal{A}\) (en unités d’aire).

9. On considère les fonctions \(h\) et \(k\) définies sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ h(x)=f(x)-2-x^{2} \quad \text{et} \quad k(x)=g(x)-2 x-\frac{1}{3}\, x^{3}\]

   On admet que \(h\) et \(k\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\).

   1. Calculer \(h^{\prime}(x)\) pour tout réel \(x\).

   2. En déduire que : \(\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x) \geqslant 2+x^{2}\).

   3. Calculer \(k^{\prime}(x)\) pour tout réel \(x\).

   4. En déduire que : \(\forall x \leqslant 0, \ g(x) \leqslant 2 x+\frac{1}{3} \, x^{3}\) et que \(\forall x \geqslant 0,\ g(x) \geqslant 2 x+\frac{1}{3} \, x^{3}\).

Partie 2

10. Soit \(n\) un entier naturel non nul.

    Démontrer que l’équation \(g(x)=\frac{1}{n}\) admet une unique solution.

    On note \(u_{n}\) cette solution et ainsi : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ g(u_{n})=\frac{1}{n}\).

11. Démontrer que \(0<u_{1}<1\). (On donne \(\mathrm{e} \simeq 2,7\) et \(\mathrm{e}^{-1} \simeq 0,4\)).

12. Démontrer que : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ u_{n}>0\).

13. 1. Démontrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est décroissante.

    2. En déduire que \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est convergente.

14. La bibliothèque numpy est importée de la manière suivante :

    1. Écrire en langage Python, une fonction nommée d qui prend en entrée un réel \(x\) et un entier naturel \(n\) non nul et qui renvoie le réel \(g(x)-\frac{1}{n}\).

    2. Recopier et compléter, en langage Python, la fonction suivante nommée SuiteU qui prend en entrée un entier naturel non nul \(n\) et qui renvoie sous la forme d’une liste des valeurs approchées à \(10^{-3}\) près des termes \(u_{1}, \ldots, u_{n}\) de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\).

    3. Les fonctions précédentes permettent d’obtenir le tracé suivant des 100 premiers termes de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\).

       Quelle conjecture peut-on émettre quant à la limite de \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) ?

Exercice 3

Partie 1

Soit \(T\) une variable aléatoire représentant la durée de vie (en jours) d’un papillon. On suppose que \(T\) est une variable aléatoire à densité de loi exponentielle de paramètre 1.

1. 1. Rappeler une densité de \(T\), son espérance et sa variance.

   2. Rappeler l’expression de la fonction de répartition \(F_{T}\) de \(T\).

   3. Calculer la probabilité que le papillon vive au plus trois jours.

   4. Sachant que le papillon a déjà vécu une journée, quelle est la probabilité qu’il vive au moins un jour de plus?

2. Soit \(U\) une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur \(] 0,1[\).

   Soit \(X=-\ln (U)\). On admet que \(X\) est une variable aléatoire à densité.

   1. Rappeler une densité \(f_{U}\) de \(U\) et sa fonction de répartition \(F_{U}\).

   2. Montrer que: \(\forall x \in \mathbb{R}, \ \mathbb{P}(X \leqslant x)=\mathbb{P}(U \geqslant \mathrm{e}^{-x})\).

   3. En déduire que : \(\forall x<0, \ \mathbb{P}(X \leqslant x)=0\).

   4. En déduire la fonction de répartition de \(X\) et une densité de \(X\).

   5. Les bibliothèques suivantes sont importées ainsi :

      Écrire en langage Python, une fonction nommée SimulT simulant la variable aléatoire \(T\).

Partie 2

3. 1. Soit \(A>0\). Calculer \(\displaystyle I_{1}(A)=\int_{0}^{A} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x\).

   2. En déduire que l’intégrale \(\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x\) converge et vaut 1.

4. Pour tout réel \(A>0\) et tout entier naturel non nul \(n\), on pose \(\displaystyle I_{n}(A)=\int_{0}^{A} x^{n-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x\).

   Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que :

   \[I_{n+1}(A)=-\frac{A^{n}}{\mathrm{e}^{A}}+n I_{n}(A)\]

5. Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Démontrer que si \(I_{n}(A)\) admet une limite finie quand \(A\) tend vers \(+\infty\), alors \(I_{n+1}(A)\) admet aussi une limite finie quand \(A\) tend vers \(+\infty\).

6. En déduire par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) non nul, l’intégrale \(\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{+\infty} x^{n-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x\) converge puis établir que :

   \[\forall n \in \mathbb{N}^{*},\ I_{n+1}=n I_{n}\]

7. Prouver que :

   \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ I_{n}=(n-1)!\]

Partie 3

Pour tout entier naturel non nul \(n\), la fonction \(f_{n}\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f_{n}(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{(n-1)!} \, x^{n-1} \, \mathrm{e}^{-x} & \text { si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0\end{cases}\]

8. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, prouver que \(f_{n}\) est une densité de probabilité.

9. Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Soit \(Y\) une variable aléatoire à densité de densité \(f_{n}\).

   1. Montrer que \(Y\) admet une espérance et que \(\mathbb{E}(Y)=n\).

      On admet que \(Y\) admet une variance et que \(\mathbb{V}(Y)=n\).

   2. Soit \(\left(Y_{N}\right)_{N \geqslant 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que \(Y\).

      Pour tout entier naturel non nul \(N\), on pose \(F_{N}=\frac{1}{N}\left(Y_{1}+\cdots+Y_{N}\right)\). Déterminer l’espérance et la variance de \(F_{N}\).

   3. On rappelle l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

      Si \(X\) est une variable aléatoire admettant une espérance et une variance, alors

      \[\forall \varepsilon>0, \mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{\mathbb{V}(X)}{\varepsilon^{2}}.\]

      Déterminer un majorant, dépendant de \(n\), de \(N\) et de \(\varepsilon\), de \(\mathbb{P}\left(\left|F_{N}-n\right| \geqslant \varepsilon\right)\).

   4. À l’aide d’un programme Python, on représente \(F_{N}\) en fonction de \(N\) pour un paramètre \(n\) inconnu que l’on cherche à estimer.

      Estimer la valeur de \(n\).

   5. On effectue 10 réalisations de \(F_{N}\), et pour chacune de ces réalisations, sont tracés ci-dessous les intervalles de confiance, pour \(\varepsilon=\frac{1}{10}\), \(N=600\) et \(n\) la valeur conjecturée précédemment.

      Expliquer pourquoi certains intervalles ne contiennent pas la valeur de \(n\).