Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t} \sin ^{n}(t) \mathrm{d} t\) converge.
On note alors, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[I_{n}=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t} \sin ^{n}(t) \, \mathrm{d}t\]
Calculer \(I_{0}\).
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2.
À l’aide d’intégrations par parties, montrer que, pour tout réel \(A\) strictement positif : \[\begin{gathered} \int_{0}^{A} \mathrm{e}^{-t} \sin ^{n}(t) \, \mathrm{d}t=-\mathrm{e}^{-A} \sin ^{n-1}(A) \left[ \sin (A)+n \cos (A) \right]-n \int_{0}^{A} \mathrm{e}^{-t} \sin ^{n}(t) \, \mathrm{d}t\\+n(n-1) \int_{0}^{A} \mathrm{e}^{-t} \cos ^{2}(t) \sin ^{n-2}(t) \, \mathrm{d}t \end{gathered}\]
En déduire que : \(\displaystyle I_{n}=\frac{n(n-1)}{n^{2}+1} I_{n-2}\).
Compléter la fonction Python suivante pour que, prenant en argument un entier naturel \(n\), elle calcule et renvoie la valeur de \(I_{2 n}\).
On a représenté ci-dessous les premiers termes de la suite \(\left(\sqrt{n} \, I_{2 n}\right)_{n \geqslant 1}\), calculés à l’aide du programme Python précédent. Que peut-on conjecturer pour un équivalent de \(I_{2 n}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) ?
Soit \(n\) un entier naturel.
Justifier l’égalité :
\[\int_{0}^{(N+1) \pi} \mathrm{e}^{-t} \sin ^{n}(t) \, \mathrm{d}t=\left(\sum_{k=0}^{N}\left((-1)^{n} \mathrm{e}^{-\pi}\right)^{k}\right) \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-t} \sin ^{n}(t) \, \mathrm{d}t\]
En déduire que :
\[I_{n}=\frac{1}{1-(-1)^{n} \mathrm{e}^{-\pi}} \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-t} \sin ^{n}(t) \, \mathrm{d}t\]
Montrer que : \(I_{n}>0\).
On pose pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}: u_{n}=-\ln \! \left(\sqrt{n} \, I_{2 n}\right)\).
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \ln \! \left(\frac{2 n(2 n-1)}{4 n^{2}+1}\right)=\ln \!\left(1-\frac{1}{2 n}\right)-\ln \! \left(1+\frac{1}{4 n^{2}}\right)\]
Montrer, en utilisant la relation obtenue à la question 2, que : \[u_{n}-u_{n-1} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{1}{8 n^{2}}\]
En déduire la nature de la série de terme général \(u_{n}-u_{n-1}\), puis la convergence de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}*}\).
Établir l’existence d’une constante strictement positive \(K\) telle que : \(\displaystyle I_{2 n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{K}{\sqrt{n}}\).
On pose pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(\displaystyle J_{n}=\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-t} \sin ^{n}(t) \, \mathrm{d}t\).
Déterminer un équivalent de \(J_{2 n}\) en \(+\infty\) faisant intervenir \(K\).
Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(J_{2 n+2} \leqslant J_{2 n+1} \leqslant J_{2 n}\)
En déduire un équivalent de \(J_{2 n+1}\) puis de \(I_{2 n+1}\) faisant intervenir \(K\).
Les suites \(\left(I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) et \(\left(\sqrt{n} \, I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) sont-elles convergentes ?
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) muni d’un produit scalaire noté \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\).
Soit \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\), de même dimension \(d\).
On note \(p_{F}\) le projecteur orthogonal sur \(F\) et \(p_{G}\) le projecteur orthogonal sur \(G\).
Soit \(\mathcal{U}=\left(u_{1}, \ldots, u_{d}\right)\) et \(\mathcal{V}=\left(v_{1}, \ldots, v_{d}\right)\) des bases orthonormées de \(F\) et de \(G\) respectivement. On note \(B\) la matrice de \(\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})\) dont le coefficient de la \(i^{\text {ème }}\) ligne et \(j^{\grave{e}me}\) colonne est \(B_{i, j}=\left\langle u_{i}, v_{j}\right\rangle\).
Vérifier que l’ensemble \(G\) est stable par \(p_{G} \circ p_{F}\), c’est-à-dire que : \(\forall x \in G,\left(p_{G} \circ p_{F}\right)(x) \in G\).
Montrer que l’application \(\pi\) qui à tout élément \(x\) de \(G\) associe \(\left(p_{G} \circ p_{F}\right)(x)\) est un endomorphisme de \(G\).
Que vaut \(\pi\) si \(F=G\) ?
Que vaut \(\pi\) si \(F\) et \(G\) sont orthogonaux ?
On suppose dans cette question uniquement que \(E=\mathbb{R}^{3}\) muni de son produit scalaire canonique, et que : \[F=\{(x, y, z) \in E,\ x+y=0\} \quad \text{et} \quad G=\{(x, y, z) \in E,\ y+z=0\}\]
Quelle est la valeur de \(d\) dans ce cas-là ?
Déterminer une base orthonormée \(\mathcal{U}\) de \(F\) dont le premier vecteur est \(u_{1}=(0,0,1)\), et une base orthonormée \(\mathcal{V}\) de \(G\) dont le premier vecteur est \(v_{1}=(1,0,0)\).
En déduire une expression de \({}^t\!B B\).
Déterminer les valeurs propres de la matrice \({}^t\!B B\).
On revient au cas général dans cette question et les suivantes.
Soit \(x \in G\). Montrer que: \[\displaystyle \left(p_{G} \circ p_{F}\right)(x)=\sum_{i=1}^{d}\left(\sum_{k=1}^{d}\left\langle u_{k}, x\right\rangle\left\langle u_{k}, v_{i}\right\rangle\right) v_{i}\]
En déduire que la matrice de \(\pi\) dans la base \(\mathcal{V}\) est \({}^t\!B B\), puis que \(\pi\) est un endomorphisme symétrique de \(G\).
Montrer alors qu’il existe un unique \(d\)-uplet \(\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{d}\right) \in \mathbb{R}^{d}\), vérifiant, \(\lambda_{1} \geqslant \cdots \geqslant \lambda_{d}\) tel que la matrice diagonale \(\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & (0) \\ & \ddots & \\ (0) & & \lambda_{d} \end{pmatrix}\) soit la matrice de \(\pi\) dans une base orthonormée de \(G\) que l’on note \(\mathscr{C}\).
Établir que pour tout vecteur \(x\) de \(G\) :
\[\langle x, \pi(x)\rangle=\left\langle x, p_{F}(x)\right\rangle=\left\|p_{F}(x)\right\|^{2}\]
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(\pi\), et \(x\) un vecteur propre associé.
Montrer que :
\[\lambda\|x\|^{2}=\left\|p_{F}(x)\right\|^{2}\]
En déduire que \(\lambda \in[0,1]\).
En déduire que, pour tout \(k \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,d} \right]\kern-0.15em\right]\), il existe un unique \(t_{k} \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\), tel que \(\lambda_{k}=\cos ^{2}(t_k)\), où les réels \(\lambda_{k}\) sont définis à la question 3c.
\(\operatorname{Angle}(F, G)\) désigne le \(d\)-uplet \(\left(t_{1}, \ldots, t_{d}\right)\) que l’on peut définir pour tout couple \((F, G)\) de sous-espaces vectoriels de \(E\) de même dimension \(d\).
Exemples.
Montrer que \(\operatorname{Angle}(F, G)=\left(\frac{\pi}{2}, \ldots, \frac{\pi}{2}\right)\) si et seulement si \(F\) et \(G\) sont orthogonaux.
Montrer que \(\mathrm{Angle}(F, G)=(0, \ldots, 0)\) si et seulement si \(F\) et \(G\) sont égaux.
Déterminer \(\operatorname{Angle}(F, G)\) si on reprend les hypothèses de la question 2.
Dans tout le problème, \(p\) désigne un réel de ]0,1[.
On réalise une expérience aléatoire qui consiste à effectuer une suite de tests successifs \(t_{1}, \ldots, t_{n}, \ldots\) sur un objet de la manière suivante:
Le test \(t_{1}\) est toujours effectué ;
Pour tout \(i \in \mathbb{N}^{*}\), sachant que le test \(t_{i}\) a été effectué, soit l’expérience s’arrête alors avec une probabilité \(p\), soit elle continue avec une probabilité \(q=1-p\) et dans ce cas on réalise le test \(t_{i+1}\).
On considère un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) qui modélise cette expérience et on note :
\(N\) la variable aléatoire réelle égale au nombre total de tests effectués lors de l’expérience ;
Pour tout entier naturel \(i\) non nul, \(T_{i}\) la durée aléatoire du test \(t_{i}\);
Pour tout entier naturel \(k\) non nul, \(D_{k}=\sum\limits_{i=1}^{k} T_{i}\);
\(D\) la durée totale de l’expérience, en supposant que seules les durées des tests effectués sont comptabilisées.
On suppose enfin que, pour tout entier naturel \(i\) non nul, \(T_{i}\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda_{i}\), et que cette durée est indépendante des durées des autres tests et de \(N\).
Montrer que pour tout entier naturel \(k\) non nul, \(D_{k}\) admet une espérance et donner une expression de celle-ci en fonction des \(\lambda_{i}\) où \(i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,k} \right]\kern-0.15em\right]\).
Soit \(\lambda\) un réel strictement positif. On suppose dans cette question uniquement que : \(\forall i \in \mathbb{N}^{*}, \lambda_{i}=\lambda\).
Déterminer pour tout entier \(k \geqslant 1\), une densité de \(\lambda D_{k}\), puis de \(D_{k}\).
On ne suppose plus à présent que les réels \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}, \ldots\) sont tous égaux.
On définit par récurrence les fonctions \(f_{k}\) pour tout \(k \geqslant 1\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f_{1}(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \\ \lambda_{1} \mathrm{e}^{-\lambda_{1} x} & \text { sinon }\end{cases}\]
et : \[\forall k \in \mathbb{N}^{*}, \forall x \in \mathbb{R}, \ f_{k+1}(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \\ \displaystyle \lambda_{k+1} \, \mathrm{e}^{-\lambda_{k+1} x} \int_{0}^{x} f_{k}(t) \, \mathrm{e}^{\lambda_{k+1} t} \,\mathrm{d}t& \text { sinon} \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]
Montrer par récurrence que, pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}\), \(f_{k}\) est une densité de probabilité de \(D_{k}\) et que sa restriction à \(\mathbb{R}_{+}\) est continue.
Donner une expression sans intégrale de \(f_{2}(x)\) pour tout réel \(x\).
Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à 2. On suppose dans cette question que les réels \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}, \ldots\) sont distincts deux à deux. On définit, pour tout \(i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,k} \right]\kern-0.15em\right]\), le réel \(\ell_{i, k}\) et le polynôme \(L_{i}\) de \(\mathbb{R}[x]\) par : \[\ell_{i, k}=\frac{1}{\prod\limits_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{k}\left(\lambda_{i}-\lambda_{j}\right)} \quad \text{et} \quad \forall x \in \mathbb{R}, L_{i}(x)=\ell_{i, k} \prod_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{k}\left(x-\lambda_{j}\right)\]
On note enfin \(P\) le polynôme défini par: \(P=\sum\limits_{i=1}^{k} L_{i}\).
Montrer que \(P \in \mathbb{R}_{k-1}[x]\).
Pour tout \(r \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,k} \right]\kern-0.15em\right]\), calculer \(P \! \left(\lambda_{r}\right)\).
En déduire que \(\sum\limits_{i=1}^{k} L_{i}=1\), puis que \(\sum\limits_{i=1}^{k} \ell_{i, k}=0\).
Montrer, par récurrence que, pour tout entier naturel \(k \geqslant 2\) :
\[f_{k}(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \\ (-1)^{k-1} \lambda_{1} \cdots \lambda_{k} \sum\limits_{i=1}^{k} \ell_{i, k} \, \mathrm{e}^{-\lambda_{i} x} & \text { sinon }\end{cases}\]
Soit \(\alpha\) un réel strictement positif. On suppose dans cette question que, \(\forall i \in \mathbb{N}^{*}\), \(\lambda_{i}=\alpha i\).
Soit \(k\) un entier naturel non nul.
Montrer que : \(\forall i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,k} \right]\kern-0.15em\right], \ \ell_{i, k}=\dfrac{(-1)^{k-i}}{(k-1) ! \, \alpha^{k-1}} \binom{k-1}{i-1}\).
En déduire que, pour \(x \geqslant 0\) : \(f_{k}(x)=k \alpha \, \mathrm{e}^{-\alpha x}\left(1-\mathrm{e}^{-\alpha x}\right)^{k-1}\).
Déterminer \(F_{k}\) la fonction de répartition de \(D_{k}\).
On suppose que l’on a défini la fonction Python
lamb(i) qui prend en argument un entier \(i\) et qui renvoie la valeur de \(\lambda_{i}\).
Compléter le script suivant pour qu’il affiche une valeur aléatoire qui suit la même loi que \(D\) :
Donner la loi de \(N\), et préciser son(ses) éventuel(s) paramètre(s).
En déduire que : \[\forall x \geqslant 0, \ F_{D}(x)=\sum_{k=1}^{+\infty} p q^{k-1} \mathbb{P}_{[N=k]}(D \leqslant x)\] puis que : \[\forall x \geqslant 0, \ F_{D}(x)=\sum_{k=1}^{+\infty} p q^{k-1} F_{k}(x)\]
Montrer que pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}\) et \(t \in \mathbb{R}_{+}\) : \(f_{k}(t) \leqslant \lambda_{1}\).
Indication: On pourra utiliser la définition de la fonction \(f_{k}\) à la question 3.
Montrer que pour tout réel \(t\), la série \(\sum\limits_{k \geqslant 1} p q^{k-1} f_{k}(t)\) converge.
Soit alors la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall t \in \mathbb{R}, \ f(t)=\sum_{k=1}^{+\infty} p q^{k-1} f_{k}(t)\]
On admet que la restriction de \(f\) à \(\mathbb{R}_{+}\) est continue.
Montrer que pour tout \(x \geqslant 0\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) :
\[0 \leqslant \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t-\sum_{k=1}^{n} p q^{k-1} \int_{0}^{x} f_{k}(t) \, \mathrm{d}t\leqslant q^{n} \lambda_{1} x\]
Montrer que la fonction \(\displaystyle x \mapsto \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t\) coïncide avec \(F_{D}\) sur \(\mathbb{R}_{+}\).
En déduire que \(f\) est une densité de probabilité de \(D\).
Soit \(\lambda\) un réel strictement positif. On suppose dans cette question uniquement que \(\forall i \in \mathbb{N}^{*}, \lambda_{i}=\lambda\)
En utilisant le résultat de la question 2, établir que \(D\) suit la loi exponentielle de paramètre \(p \lambda\).
Soit \(\alpha\) un réel strictement positif. On suppose dans cette question uniquement que \(\forall i \in \mathbb{N}^{*}, \lambda_{i}=\alpha i\).
En utilisant les résultats de la partie 1, montrer que la fonction de répartition \(F_{D}\) de \(D\) est définie par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ F_{D}(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ \displaystyle \frac{p}{p+q\, \mathrm{e}^{-\alpha x}}\left(1-\mathrm{e}^{-\alpha x}\right) & \text { sinon }\end{cases}\]
Montrer que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left[ 1-F_{D}(x)\right] \mathrm{d} x\) converge et vaut \(-\dfrac{ \ln (p)}{\alpha q}\).
Montrer que pour tout réel \(A>0\) :
\[\int_{0}^{A} t f(t) \, \mathrm{d}t=-A\left[ 1-F_{D}(A)\right] +\int_{0}^{A}\left[1-F_{D}(t)\right] \mathrm{d}t\]
En déduire que \(D\) admet une espérance et préciser sa valeur en fonction de \(p\) et \(\alpha\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
