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Dans tout l’exercice, \(a\) désigne un réel strictement positif fixé.
On considère la fonction définie sur \(] 0,+\infty[\) par :
\[\forall x \in \left] 0,+\infty\right[, \ f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{a}{x}\right)\]
On note \(\mathscr{C}_{f}\) la courbe représentative de la fonction \(f\).
Calculer \(f(\sqrt{a})\).
Résoudre l’équation \(f(x)=x\), d’inconnue \(x\) réel strictement positif.
Déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0^{+}\). Interpréter graphiquement le résultat.
Déterminer les limites de \(f(x)\) et de \(f(x)-\frac{x}{2}\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). Interpréter graphiquement le résultat.
Calculer \(f^{\prime}(x)\) pour tout réel \(x\) strictement positif.
En déduire que \(f\) est décroissante sur \(] 0, \sqrt{a}]\) et croissante sur \([\sqrt{a},+\infty[\).
La courbe \(\mathscr{C}_{f}\) admet-elle des tangentes horizontales ?
Tracer dans un même repère la droite d’équation \(y=x\) ainsi que l’allure de la courbe \(\mathscr{C}_{f}\) dans le cas où \(a=1\). On prendra soin de faire apparaitre les éléments mis en valeur dans les questions 1,2 et 3 .
On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :
\[u_{0}=1 \quad \text { et } \quad \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+\frac{a}{u_{n}}\right)\]
On admet que cette suite est ainsi bien définie.
Démontrer par récurrence que : \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n}>0\).
En utilisant l’étude de la fonction \(f\) faite en partie A, montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1} \geqslant \sqrt{a}\]
Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est décroissante.
En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est convergente. On notera \(\ell\) sa limite.
En remarquant que \(\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n+1}=\ell\) et que \(\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(\ell+\dfrac{a}{\ell}\right)\), déterminer une équation vérifiée par le réel \(\ell\), puis la valeur de \(\ell\).
Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(0 \leqslant u_{n+1} - \ell \leqslant u_{n}-u_{n+1}\).
En déduire que s’il existe un entier naturel \(n\) non nul tel que \(u_{n}-u_{n+1} \leqslant 10^{-5}\), alors \(u_{n+1}\) est une valeur approchée de \(\ell\) à \(10^{-5}\) près.
Dans cette question, on suppose que \(a=3\).
Recopier et compléter la fonction Python suivante prenant en argument d’entrée un entier \(n\), et renvoyant la valeur de \(u_{n}\) :
On considère la fonction Python mystere suivante :
Que renvoie cette fonction? Expliquer votre réponse à l’aide des questions précédentes.
On note \(\mathrm I_{3}\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\), définie par : \[\mathrm I_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
On note : \[A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]
Déterminer \(\left(\mathrm I_{3}\right)^{2}\) et \(A^{2}\).
En déduire que l’équation \(M^{2}=\mathrm I_{3}\), d’inconnue \(M \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\), admet au moins quatre solutions.
Soit \(\lambda\) un réel strictement positif.
On définit les matrices \(N\) et \(T\) par : \[N= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad T= \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}\]
Vérifier que \(N^{2}=0\).
Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(T=a \mathrm I_{3}+b N\).
Soient \(x\) et \(y\) deux réels. On pose \(M=x\, \mathrm I_{3}+y N\). Calculer \(M^{2}\).
En déduire que l’équation \(M^{2}=T\), d’inconnue \(M \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\), admet exactement deux solutions dans l’ensemble des matrices qui s’écrivent sous la forme \(x \, \mathrm I_{3}+y N\) avec \(x, y\) deux réels.
On note : \[B=\begin{pmatrix}-1 & 4 & -1 \\ -2 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}, \quad P=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad D=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}\]
Vérifier que les vecteurs \(X_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\), \(X_{2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\), \(X_{3}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\) sont des vecteurs propres de la matrice \(B\), et préciser pour chacun la valeur propre associée.
On considère le script Python suivant :
À son exécution, on obtient :
Que peut-on en conjecturer sur la matrice \(P\) ? sur la matrice \(D\) ?
On suppose qu’il existe une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) telle que \(M^{2}=D\) et on note \(V=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\).
Justifier que \(D M=M D\).
Justifier que \(D M V=-2 M V\).
On note \(M V=\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}\). Montrer que \(-2 b=b\) et que \(-2 c=3 c\) puis en déduire que \(M V=a V\).
Calculer \(M^{2} V\) de deux manières différentes et aboutir à une contradiction.
Que peut-on conclure sur l’équation \(M^{2}=D\) d’inconnue \(M \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) ?
On admet les conjectures effectuées à la question 4.
Montrer que si une matrice \(M\) vérifie l’équation \(M^{2}=B\), alors on a \((Q M P)^{2}=D\).
Que peut-on en conclure sur l’équation \(M^{2}=B\), d’inconnue \(M \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) ?
Une agence de voyage propose deux formules à sa clientèle : une formule hôtel comprenant transport et hébergement, et une formule club comprenant transport, hébergement, circuit et animation.
Une étude montre que \(50 \%\) des clients choisissent la formule hôtel et \(50 \%\) choisissent la formule club.
D’autre part, parmi les clients ayant choisi la formule hôtel, \(20 \%\) effectuent leur voyage en France et \(80 \%\) à l’étranger. Enfin, parmi ceux ayant choisi la formule club, \(40 \%\) effectuent leur voyage en France et \(60 \%\) à l’étranger.
Soit \(H\) : « le client choisit la formule hôtel » et \(C\) : « le client choisit la formule club ».
Soit \(E\) : « le client fait un voyage à l’étranger ».
Un client se présente à l’agence.
Montrer que la probabilité qu’il choisisse un voyage à l’étranger est égale à \(\frac{7}{10}\).
Le client demande un voyage à l’étranger. Calculer la probabilité qu’il prenne la formule club.
Dix clients se présentent à l’agence. Soit \(T\) le nombre de clients faisant un voyage à l’étranger.
Déterminer la loi de \(T\) et préciser son ou ses paramètres. Calculer son espérance et sa variance.
Écrire une fonction Python T renvoyant
une simulation de la variable aléatoire \(T\).
Le forfait d’un voyage, en centaines d’euros, versé à l’agence par un client, définit une variable aléatoire \(X\). Des études antérieures ont permis d’établir que \(X=2+\frac{1}{2} \, Y\), où \(Y\) est une variable aléatoire dont la fonction de répartition est définie par : \[F(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } x \leqslant 0 \\ 1-\frac{x+6}{6} \,\mathrm{e}^{-\frac{x}{6}} & \text { si } x>0 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]
Calculer la probabilité que le forfait ne dépasse pas 5 centaines d’euros.
Montrer que pour tout réel \(x>0: F^{\prime}(x)=\frac{x}{36} \,\mathrm{e}^{-\frac{x}{6}}\).
Déterminer une densité de probabilité \(f\) de la variable aléatoire \(Y\).
Vérifier que l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{d}x\) converge et vaut 1.
Soit \(A>0\). On pose : \(\displaystyle I(A)=\int_{0}^{A} x^{2} \,\mathrm{e}^{-\frac{x}{6}} \,\mathrm{d}x\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : \[I(A)=-6 A^{2} \,\mathrm{e}^{-\frac{A}{6}}+12 \int_{0}^{A} 36 f(x) \,\mathrm{d}x\]
En déduire que l’espérance de la variable aléatoire \(Y\) existe et que : \(\mathbb{E}(Y)=12\).
Quel est le prix moyen du forfait?
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(X\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
