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Soit \(E\) l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{3}\) muni du produit scalaire canonique.
On note \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) la base canonique de \(E\).
On notera \(\langle\cdot, \cdot\rangle\) le produit scalaire canonique de \(E\), et \(\left\| \cdot \right\|\) la norme associée.
Pour tout sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\), on notera \(F^{\perp}\) l’orthogonal de \(F\) pour le produit scalaire \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\).
Dans cette partie, on note \(g\) l’endomorphisme de \(E\) dont la matrice représentative dans la base \(\mathcal{B}\) est la matrice : \[A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]
Calculer la matrice \(A^{2}\), puis la matrice \(A^{3}\).
Déterminer un réel \(\alpha>0\) tel que : \(A^{3}=-\alpha^{2} A\).
Démontrer que 0 est valeur propre de \(g\) et déterminer un vecteur \(v_{1}\) de norme 1 tel que \(\left(v_{1}\right)\) soit une base de l’espace propre de \(g\) associé à la valeur propre 0.
Déterminer l’ensemble des valeurs propres de \(g\).
L’endomorphisme \(g\) est-il bijectif? Est-il diagonalisable?
On pose \(v_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)\).
Démontrer que \(v_{2} \in\left(E_{0}(g)\right)^{\perp}\), puis déterminer un vecteur \(v_{3}\) tel que la famille \(\left(v_{2}, v_{3}\right)\) soit une base orhonormale de \(\left(E_{0}(g)\right)^{\perp}\).
Démontrer que la famille \(\mathcal{C}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)\) est une base orthonormale de \(E\), et déterminer la matrice représentative de \(g\) dans la base \(\mathscr{C}\).
Pour tout endomorphisme \(f\) de \(E\), démontrer que les deux propriétés \((P 1)\) et \((P 2)\) ci-dessous sont équivalentes :
\begin{align*} & (P 1) \ : \ \forall x \in E, \ \langle f(x), x\rangle=0 \\ & (P 2) \ : \ \forall(x, y) \in E^{2}, \ \langle f(x), y\rangle=-\langle x, f(y)\rangle \end{align*}
Un endomorphisme vérifiant les propriétés \((P 1)\) et \((P 2)\) est dit antisymétrique.
Démontrer que l’endomorphisme \(g\) défini dans la partie précédente est antisymétrique.
Dans toute la suite de l’exercice, on considère un endomorphisme \(f\) de \(E\) antisymétrique.
L’objectif de cette partie est de démontrer qu’il existe une base orthonormale de \(E\) dans laquelle la matrice représentative de \(f\) est de la forme : \[A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\alpha \\ 0 & \alpha & 0 \end{pmatrix}\]
où \(\alpha\) est un réel.
On veut démontrer par l’absurde que \(f\) n’est pas bijective. On suppose donc que \(f\) est bijective.
Soit \(x\) un vecteur non nul de \(E\), et soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par \(x\) et \(f(x)\).
Déterminer la dimension de \(F\).
Démontrer qu’il existe un vecteur \(y\) non nul de \(E\) tel que la famille \((x, f(x), y)\) est orthogonale.
Démontrer alors que la famille \((x, f(x), y, f(y))\) est libre.
Conclure.
Démontrer qu’il existe trois vecteurs \(e_{1}^{\prime}\), \(e_{2}^{\prime}\), et \(e_{3}^{\prime}\) de \(E\) tels que \(e_{1}^{\prime}\) appartienne au noyau de \(f\) et la famille \(\mathscr{B}^{\prime}=\left(e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, e_{3}^{\prime}\right)\) soit une base orthonormale de \(E\).
Démontrer que la matrice représentative de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}'\) est antisymétrique.
Conclure quant à l’objectif annoncé au début de cette partie.
Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(\displaystyle W_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin (t))^{n} \,\mathrm{d}t\).
Calculer \(W_{0}\) et \(W_{1}\).
Étudier les variations de la suite \(\left(W_{n}\right)_{n \geqslant 0}\).
Démontrer que :
\[\forall n \in \mathbb{N}, \ W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2} \, W_{n}\]
puis que :
\[\forall n \in \mathbb{N}, \ \left( n+1 \right) W_{n} W_{n+1}=\frac{\pi}{2}\]
Déduire des questions précédentes que \(W_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} W_{n+1}\), puis que \(W_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \sqrt{\frac{\pi}{2 n}}\).
Montrer que :
\[\forall n \in \mathbb{N}, \ W_{2 n}=\frac{\pi}{2} \times \frac{(2 n) !}{2^{2 n}(n !)^{2}}\]
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \(\displaystyle u_{n}=\frac{n !}{n^{n}} \times \frac{\mathrm{e}^{n}}{\sqrt{n}}\).
Montrer que :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \ln \! \left(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)=1-\left(n+\frac{1}{2}\right) \ln \! \left(1+\frac{1}{n}\right)\]
Rappeler le développement limité à l’ordre 3 de \(\ln (1+u)\) au voisinage de 0.
En déduire que : \(\displaystyle \ln \! \left(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right) \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim}-\frac{1}{12 n^{2}}\).
Déterminer la nature de la série de terme général \(\left(\ln (u_{n+1}) -\ln (u_{n})\right)\).
En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n} \geqslant 1\) converge vers un réel \(\ell\).
À l’aide des résultats de la partie I, déterminer la valeur de \(\ell\).
Démontrer alors la formule de Stirling :
\[n ! \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^{n}\]
Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}\left(t \,\mathrm{e}^{-t}\right)^{n} \,\mathrm{d}t\)
Dresser le tableau de variations de la fonction \(h\) définie sur \([0,1]\) par : \(\forall t \in[0,1], h(t)=t \,\mathrm{e}^{-t}\).
En déduire que :
\[\forall n \in \mathbb{N}, \ 0 \leqslant I_{n} \leqslant\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)^{n}\]
En déduire \(\lim\limits_{n\to+\infty}I_{n}\).
Quelle est la nature de la série de terme général \(I_{n}\) ?
On considère une suite \(\left(X_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi exponentielle de paramètre 1.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \(S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n} X_{k}\).
Quelle est la loi de \(S_{n}\) ? En donner une densité.
Montrer que :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ I_{n}=\frac{n !}{n^{n+1}} \,\mathbb{P}(S_{n+1} \leqslant n)\]
On rappelle que dans la librairie
numpy.random importée sous
rd, se trouvent les commandes suivantes:
rd.random() renvoie une simulation
d’une variable aléatoire de loi uniforme sur \([0,1[\).
rd.exponential(a) renvoie une
simulation d’une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre
\(\frac{1}{a}\).
rd.normal(0,1) renvoie une simulation
d’une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.
rd.gamma(a) renvoie une simulation
d’une variable aléatoire de loi gamma de paramètre \(a\).
Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous afin qu’elle prenne en argument une valeur de \(n\) entière, simule 10000 fois la réalisation de la variable aléatoire \(S_{n+1}\) et renvoie une valeur approchée de \(\mathbb{P}(S_{n+1} \leqslant n )\) :
Écrire alors un programme qui demande à l’utilisateur une valeur de \(n\), puis calcule et affiche sous forme de liste les valeurs estimées de \(I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}\).
Ce programme pourra faire appel à la fonction Python de la question précédente.
Pour tout entier \(n\) non nul, on pose : \[\displaystyle \overline{X}_{n}=\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} X_{k}\]
On note alors \(\overline{X}_{n}^{*}\) la variable aléatoire centrée réduite associée à \(\overline{X}_{n}\) et \(Y_{n}=\overline{X}_{n}^{*}+\frac{1}{\sqrt{n}}\).
Justifier que la suite \((\overline{X}_{n}^{*} )_{n \geqslant 1}\) converge en loi vers une variable aléatoire \(Z\) dont on précisera la loi. On admet que la suite \(\left(Y_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) converge alors également en loi vers la variable aléatoire \(Z\).
Démontrer que: \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}( S_{n+1} \leqslant n )= \mathbb{P}( Y_{n+1} \leqslant 0 )\).
En utilisant les questions précédentes et la formule de Stirling rappelée dans la partie précédente, montrer alors que :
\[I_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \mathrm{e}^{-n} \sqrt{\frac{\pi}{2 n}}\]
Pour tous entiers naturels \(a\) et \(b\) non nuls, et pour tout entier naturel \(r\), on considère l’expérience aléatoire suivante.
Une urne contient initialement \(a\) boules blanches et \(b\) boules noires.
On effectue dans cette urne une infinité de tirages d’une boule, en procédant de la façon suivante : après chaque tirage, on remet la boule piochée dans l’urne et on rajoute systématiquement \(r\) boules blanches avant de procéder au tirage suivant. On note dans tout le problème \(X\) la variable aléatoire égale au rang d’apparition de la première boule noire si on obtient au moins une boule noire dans l’expérience, et qui prend la valeur 0 si on n’obtient jamais de boule noire.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(A_{n}\) l’événement: « Lors des \(n\) premiers tirages, on n’obtient que des boules blanches ».
Démontrer que : \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}( A_{n} )=\prod_{k=0}^{n-1} \frac{a+k r}{a+b+k r}\).
Montrer alors que : \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ -\ln (\mathbb{P}(A_{n}) )=\sum_{k=0}^{n-1} \ln \! \left(1+\frac{b}{a+k r}\right)\).
Étudier la nature de la série \(\sum\limits_{k \geqslant 0} \ln \!\left(1+\frac{b}{a+k r}\right)\), puis calculer la limite lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) de \(\mathbb{P}(A_n)\).
Démontrer alors soigneusement que \(\mathbb{P}(X=0)=0\).
Dans toute la suite du problème, on traduira ce résultat en supposant que \(X(\Omega)=\mathbb{N}^{*}\).
Écrire une fonction Python qui prend en entrée les entiers \(a, b\) et \(r\) et simule les tirages dans l’urne jusqu’à l’obtention de la première boule noire puis renvoie la valeur de \(X\) obtenue.
Écrire alors une fonction Python qui en prend en entrée les entiers \(a, b\) et \(r\), et une valeur de \(N\), qui simule \(N\) réalisations de la variable aléatoire \(X\) et renvoie la moyenne des résultats obtenus.
On suppose dans cette question que \(r=0\).
Donner la loi de \(X\).
Montrer que \(X\) admet une espérance et une variance, que l’on exprimera en fonction de \(a\) et \(b\).
On suppose dans cette question que \(a=b=r=1\).
Donner la loi de \(X\).
Démontrer que \(X\) n’admet pas d’espérance.
Dans cette partie, on pose \(r=1\) et on suppose que \(b\) est supérieur ou égal à 2 .
On suppose de plus que \(a=1\).
Démontrer que :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}( X=n)=\frac{b \cdot b !}{n(n+1) \cdots(n+b)}=\frac{b \cdot(n-1) ! \cdot b !}{(n+b) !}\]
On note \(\left(v_{n}\right)\) la suite définie par : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*},\ v_{n}=\frac{1}{(n+1)(n+2) \cdots(n+b-1)}=\frac{n !}{(n+b-1) !}\]
Démontrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ n \,\mathbb{P}(X=n)=\frac{b \cdot b !}{b-1}\left(v_{n}-v_{n+1}\right)\]
En déduire que \(X\) admet une espérance, et que : \(\mathbb{E}(X)=\frac{b}{b-1}\). On admettra que pour tout entier naturel \(a\) non nul, \(X\) admet une espérance.
Le réel \(a\) n’est plus supposé être égal à 1 mais seulement supérieur ou égal à 1.
On notera alors, et uniquement dans cette question, \(X_{a}\) la variable aléatoire \(X\).
Soit \(B_{1}\) l’événement : « On obtient une boule blanche au premier tirage ».
Montrer que: \(\forall a \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{E}(X_{a} \mid B_{1} )=1+ \mathbb{E}(X_{a+1} )\).
Déterminer \(\mathbb{E}( X_{a} \mid \overline{B_{1}} )\).
Démontrer que :
\[\forall a \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{E}(X_{a} )=1+\frac{a}{a+b} \,\mathbb{E}(X_{a+1} )\]
puis que :
\[\forall a \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{E}(X_{a} )=\frac{a+b-1}{b-1}\]
On revient au cas général où \(a, b\) et \(r\) sont des entiers naturels non nuls et on suppose cette fois que \(r\) est non nul.
On rappelle le résultat démontré dans la première partie :
\[\forall n \geqslant 1, \ -\ln \! \left( \mathbb{P}( A_{n} )\right)=\sum_{k=0}^{n-1} \ln \! \left(1+\frac{b}{a+k r}\right)\]
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \(u_{n}=-\ln \! \left( \mathbb{P}( A_{n} )\right) -\dfrac{b}{r} \, \ln (n)\).
Démontrer que la série de terme général \(\left(u_{n+1}-u_{n}\right)\) converge.
En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)\) converge vers un réel \(\ell\).
Démontrer que \(\mathbb{P}( A_{n} )\) est équivalent à \(\mathrm{e}^{-\ell} \times \frac{1}{n^{\frac{b}{r}}}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Démontrer que \(n \,\mathbb{P}(X=n) \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{b}{r} \, \mathbb{P}( A_{n-1} )\).
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la variable aléatoire \(X\) admette une espérance.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
