ECRICOME 2023 Sujet 0Maths appliquées

Exercice 1

Partie 1

Soit \(A\) la matrice carrée d’ordre 3 donnée par :

\[A= \begin{pmatrix} 5 & 1 & -4 \\ 3 & 3 & -4 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\]

et soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) est \(A\).

1. Déterminer le rang de \(A-6 \, \mathrm{I}_{3}\).

   En déduire une valeur propre de \(A\) et la dimension du sous-espace propre associé.

2. Soit \(V= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(U=A V-2 V\).

   Montrer que \(U\) est un vecteur propre de \(A\) et déterminer la valeur propre associée.

3. Posons \(W= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

   1. Montrer que \((U, V, W)\) est une base de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\).

   2. Donner la matrice \(B\) de \(f\) dans cette base.

   3. Montrer alors qu’il existe une matrice \(P\) inversible telle que \(A=P B P^{-1}\) et expliciter la matrice \(P\). On ne cherchera pas \(P^{-1}\).

4. La matrice \(A\) est-elle inversible? La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?

Partie 2

On considère le système différentiel \((\mathscr E)\) suivant :

\[\forall t \in \mathbb{R}, \ \begin{cases} x^{\prime}(t) =5 x(t)+y(t)-4 z(t) \\ y^{\prime}(t) =3 x(t)+3 y(t)-4 z(t) \\ z^{\prime}(t) =x(t)-y(t)+2 z(t) \end{cases}\]

où \(x, y, z\) sont trois fonctions inconnues, de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\). On note pour tout réel \(t: X(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}\) et on suppose que \((x,y,z)\) est solution de \((\mathscr E)\).

5. En utilisant le module scipy.integrate de Python, on obtient le tracé suivant des solutions du système, en faisant varier les valeurs de \(x(0), y(0), z(0)\).

   Que peut-on conjecturer quand \(x(0)=y(0)\) ?

6. Montrer que, pour tout réel \(t: X^{\prime}(t)=A X(t)\).

7. On note pour tout réel \(t: Y(t)=P^{-1} X(t)\). On admet que pour tout réel \(t, Y^{\prime}(t)=P^{-1} X^{\prime}(t)\). Montrer que, pour tout réel \(t\) : \(Y^{\prime}(t)=B Y(t)\).

8. 1. Donner les fonctions \(\varphi\) définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\) vérifiant l’équation différentielle \(\left(\mathscr{E}_{1}\right)\) :

      \[\forall t \in \mathbb{R}, \ \varphi^{\prime}(t)=6\, \varphi(t) \quad\left(\mathscr{E}_{1}\right)\]

   2. Donner les fonctions \(\varphi\) définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\) vérifiant l’équation différentielle \(\left(\mathscr{E}_{2}\right)\) :

      \[\forall t \in \mathbb{R}, \ \varphi^{\prime}(t)=2 \, \varphi(t) \quad\left(\mathscr{E}_{2}\right)\]

   3. Soit \(c\) un réel.

      Montrer que la fonction \(t \mapsto c t \mathrm{e}^{2 t}\) est une solution de l’équation différentielle \((\mathscr{E}_{3})\) :

      \[\forall t \in \mathbb{R}, \ \varphi^{\prime}(t)=2 \, \varphi(t)+c \,\mathrm{e}^{2 t} \quad\left(\mathscr{E}_{3}\right)\]

      Déterminer toutes les solutions de \(\left(\mathscr{E}_{3}\right)\).

9. On note, pour tout réel \(t\), \(Y(t)=\begin{pmatrix} \alpha(t) \\ \beta(t) \\ \gamma(t) \end{pmatrix}\). Montrer que \(\gamma\) est solution de \(\left(\mathscr{E}_{1}\right)\), \(\beta\) est solution de \(\left(\mathscr{E}_{2}\right)\) et \(\alpha\) est solution de \(\left(\mathscr{E}_{3}\right)\) pour un réel \(c\) bien choisi.

10. Montrer que qu’il existe trois réels \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\) tels que : \[\forall t \in \mathbb{R}, \ \begin{cases} x(t)=2\left(\lambda_{1} t+\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) \mathrm{e}^{2 t}+\lambda_{3} \,\mathrm{e}^{6 t} \\ y(t)=2\left(\lambda_{1} t+\lambda_{2}\right) \mathrm{e}^{2 t}+\lambda_{3} \,\mathrm{e}^{6 t} \\ z(t)=\left(2 \lambda_{1} t+\lambda_{1}+2 \lambda_{2}\right) \mathrm{e}^{2 t} \end{cases}\]

11. En déduire, en notant \(x_{0}=x(0)\), \(y_{0}=y(0)\) et \(z_{0}=z(0)\), que :

    \[\forall t \in \mathbb{R}, \ \begin{cases} x(t) =\left(\left(x_{0}-y_{0}\right) t+z_{0}+\frac{1}{2}\left(x_{0}-y_{0}\right)\right) \mathrm{e}^{2 t}+\left(\frac{1}{2}\left(x_{0}+y_{0}\right)-z_{0}\right) \mathrm{e}^{6 t} \\ y(t) =\left(\left(x_{0}-y_{0}\right) t+z_{0}+\frac{1}{2}\left(y_{0}-x_{0}\right)\right) \mathrm{e}^{2 t}+\left(\frac{1}{2}\left(x_{0}+y_{0}\right)-z_{0}\right) \mathrm{e}^{6 t} \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ z(t) =\left(\left(x_{0}-y_{0}\right) t+z_{0}\right) \mathrm{e}^{2 t} \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]

12. Justifier la conjecture faite à la question 5.

Exercice 2

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Seul le résultat de la question 4 de la partie 1 est utilisé dans la partie 2 à l’endroit indiqué (à la question 8).

Partie 1

Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([0,1[\) par :

\[\forall x \in\left[0,1\right[, \ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\]

1. Justifier que la fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \([0,1[\).

2. 1. Soit \(x \in \left] 0,1 \right[\). Montrer par récurrence que :

      \[\forall n \in \mathbb{N}, \ f(x)=\sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(0) \, \frac{x^{k}}{k !}+\int_{0}^{x} f^{(n+1)}(t) \, \frac{(x-t)^{n}}{n !} \,\mathrm{d}t\]

      où \(f^{(n)}\) désigne la dérivée \(n^{\text {ème }}\) quand \(n\) est un entier naturel non nul de \(f\) et \(f^{(0)}=f\).

      Indication : dans l’hérédité, on effectuera une intégration par parties.

   2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), la dérivée \(f^{(n)}\) de \(f\) est donnée par :

      \[\forall x \in\left[0,1\right[,\ f^{(n)}(x)=\frac{(2 n) !}{2^{2 n} \, n !} \left( 1-x \right)^{-n-\frac{1}{2}}\]

   3. En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ \forall x \in\left[0,1\right[, \ f(x)=\sum_{k=0}^{n} \binom{2k}k \left(\frac{x}{4}\right)^{k}+\frac{n+1}{2^{2 n+2}} \binom {2n+2}{n+1} \int_{0}^{x}(1-t)^{-\frac{3}{2}}\left(\frac{x-t}{1-t}\right)^{n} \mathrm{d}t\]

3. Soit \(x\) un réel de \(] 0,1[\).

   1. Montrer que la fonction \(\varphi_{x}: t \mapsto \dfrac{x-t}{1-t}\) est décroissante sur l’intervalle \([0, x]\).

   2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) :

      \[0 \leqslant \int_{0}^{x}(1-t)^{-\frac{3}{2}}\left(\frac{x-t}{1-t}\right)^{n} \mathrm{d}t\leqslant 2 x^{n} \left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}-1\right)\]

   3. On admet que :

      \[n ! \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \sqrt{2 \pi n} \, n^{n} \mathrm{e}^{-n}\]

      Montrer que :

      \[\frac{n+1}{2^{2 n+2}} \binom{2n+2}{n+1} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{\pi}}\]

   4. En déduire que :

      \[\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n+1}{2^{2 n+2}} \binom{2n+2}{n+1} \int_{0}^{x}(1-t)^{-\frac{3}{2}}\left(\frac{x-t}{1-t}\right)^{n} \mathrm{d}t=0\]

4. Soit \(x\) un réel de \(] 0,1[\). Montrer que la série \(\sum\limits_{k \geqslant 0} \binom{2k}k \left(\frac{x}{4}\right)^{k}\) converge et que :

   \[\frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{k=0}^{+\infty} \binom{2k}k \left(\frac{x}{4}\right)^{k}\]

Partie 2

Soit \(p\) un réel fixé dans l’intervalle \(] 0,1[\).

On considère une suite de variables aléatoires \(\left(Y_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) à valeurs dans \(\{-1,1\}\) mutuellement indépendantes, de même loi, définies sur un même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\), telles que :

\[\forall n \in \mathbb{N}, \ \mathbb{P}\left(Y_{n}=1\right)=p \quad \text { et } \quad \mathbb{P}\left(Y_{n}=-1\right)=1-p\]

Posons : \[X_0=0 \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N},\ X_{n+1} = X_n + Y_n\]

5. 1. Écrire une fonction Python simulY(p) qui prend en argument la valeur de \(p\) et qui renvoie une simulation de la variable aléatoire \(Y_{0}\), c’est-à-dire qu’elle doit renvoyer 1 avec une probabilité \(p\) et \(-1\) avec une probabilité \(1-p\).

   2. Écrire une fonction Python marche(n,p) prenant en argument le couple \((n, p)\) et qui renvoie une simulation de la variable aléatoire \(X_{n}\).

6. On note pour tout \(n \in \mathbb{N}: Z_{n}=\frac{Y_{n}+1}{2}\).

   1. Reconnaitre la loi de \(Z_{n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et préciser son(ses) paramètre(s).

   2. Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Quelle est la loi de la variable aléatoire \(\sum\limits_{k=0}^{n-1} Z_{k}\) ?

   3. Montrer que pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) : \(X_{n}=2 \sum\limits_{k=0}^{n-1} Z_{k}-n\).

7. On note pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(p_{n}=\mathbb{P} (X_{n}=0 )\). Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[p_{2 n+1}=0 \quad \text { et } \quad p_{2 n}= \binom {2n}n p^{n}(1-p)^{n}\]

8. On considère dans cette question le cas où \(p \neq \frac{1}{2}\).

   1. Montrer que : \(0<p \left( 1-p \right)<\frac{1}{4}\).

   2. Montrer à l’aide de la partie 1 que la série \(\sum\limits_{n \geqslant 0} p_{2 n}\) converge et déterminer sa somme.

9. On considère dans cette question le cas où \(p=\frac{1}{2}\).

   1. Montrer que : \(p_{2 n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\).

   2. Montrer que la série \(\sum\limits_{n \geqslant 0} p_{2 n}\) diverge et \(\lim\limits _{N \rightarrow+\infty} \sum\limits_{n=0}^{N} p_{2 n}=+\infty\).

Exercice 3

Soit \(\left(F_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) la suite définie par

\[\begin{cases} F_{0}=0 \\ F_{1}=1 \\ \forall n \in \mathbb{N}, \ F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} \end{cases}\]

Partie 1

1. 1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(F_{n}>0\) et \(F_{n+1}>0\).

   2. Montrer que la suite \(\left(F_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) est strictement croissante à partir du rang 2.

   3. Pour tout entier \(n\) non nul, donner une expression de \(F_{n}\) uniquement en fonction de \(n\).

   4. En déduire que \(\left(F_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) diverge et que \(\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} F_{n}=+\infty\).

2. Écrire une fonction Python fibo(n) prenant en argument un entier naturel \(n\) et renvoyant la valeur de \(F_{n}\). Si on exécute le script Python suivant :

   on doit obtenir :

   \([0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181]\)

3. Écrire une fonction recherche(x,L) prenant en entrée :

   • un entier naturel \(x\),

   • une liste L déjà triée dans l’ordre croissant, dont le premier élément est inférieur ou égal à x et le dernier est strictement supérieur à x

   et qui renvoie le plus grand élément de la liste \(\mathrm{L}\) qui soit inférieur ou égal à \(\mathrm{x}\).

Partie 2

On s’intéresse dans cette partie au théorème suivant, appelé Théorème de Zeckendorf.

Par exemple, \(n=4\) se décompose en : \[4=1+3=F_{2}+F_{4}\] Ainsi, pour \(n=4\), \(k=2\) et \(\left(c_{1}, c_{2}\right)=(2,4)\).

Par ailleurs, \(n=17\) se décompose en : \[17=1+3+13=F_{2}+F_{4}+F_{7}\] Ainsi, pour \(n=17\), \(k=3\) et \(\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)=(2,4,7)\).

4. On rappelle que la liste des premiers termes de la suite \(\left(F_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) a été donnée dans la question 2.

   1. En remarquant que \(6=1+2+3=F_{2}+F_{3}+F_{4}\) et aussi que \(6=1+5=F_{2}+F_{5}\), donner la décomposition de Zeckendorf de 6 et justifier votre choix.

   2. Donner la décomposition de Zeckendorf du nombre 35.

   3. Donner la décomposition de Zeckendorf du nombre 130.

5. Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\).

   1. Justifier l’existence d’un entier \(J\) supérieur ou égal à 2 tel que : \(\forall i \geqslant J\), \(F_{i} \geqslant n+1\).

   2. Notons \(A_{n}=\left\{i \in \mathbb{N}^{*}, F_{i} \leqslant n\right\}\). Montrer que \(2 \in A_{n}\) et que \(A_{n}\) contient au plus \(J-1\) éléments.

   3. Soit alors \(j=\max \left(A_{n}\right)\), c’est-à-dire \(j\) est le plus grand entier appartenant à \(A_{n}\). Montrer que \(j \geqslant 2\) et que : \[F_{j} \leqslant n<F_{j+1}\]

   4. Démontrer que \(n-F_{j}<F_{j-1}\).

   5. Supposons qu’il existe un entier \(k^{\prime}\) et un \(k^{\prime}\)-uplet \(\left(c_{1}^{\prime}, \ldots, c_{k^{\prime}}^{\prime}\right)\) d’entiers naturels tels que : \[c_{1}^{\prime} \geqslant 2, \quad \forall i \in [\![ 1,k'-1 ]\!], \ c_{i}^{\prime}+1<c_{i+1}^{\prime} \quad \text { et } \quad n-F_{j}=\sum_{i=1}^{k^{\prime}} F_{c_{i}^{\prime}}\]

      Montrer qu’il existe un entier \(k\) que l’on exprimera à l’aide de \(k^{\prime}\) et qu’il existe un \(k\)-uplet \(\left(c_{1}, \ldots, c_{k}\right)\) d’entiers naturels tels que :

      \[c_{1} \geqslant 2, \quad \forall i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,k-1} \right]\kern-0.15em\right], \ c_{i}+1<c_{i+1} \quad \text { et } \quad n=\sum_{i=1}^{k} F_{c_{i}}\]

6. Que renvoie la fonction suivante?

7. En quoi l’algorithme précédent est-il un algorithme glouton?