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On considère les matrices carrées d’ordre 3 suivantes :
\[M=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{pmatrix}, \quad P=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad \text { et } \quad I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
On note également \(V_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} , V_{2}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\) et \(V_{3}=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}\).
Montrer que \(V_{1}, V_{2}\) et \(V_{3}\) sont des vecteurs propres de \(M\) et préciser leur valeur propre associée.
Justifier que la matrice \(P\) est inversible et déterminer \(P^{-1}\).
Établir l’existence d’une matrice diagonale \(D\) que l’on précisera, telle que \(D=P^{-1} M P\).
Montrer en raisonnant par récurrence que :
\[\forall n \in \mathbb{N}, \ M^{n}=P D^{n} P^{-1}\]
Pour tout entier naturel \(n\), expliciter la matrice \(D^{n}\), puis montrer que :
\[M^{n}=\begin{pmatrix} 1 & 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n} & 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ 0 & \left(\frac{1}{2}\right)^{n} & \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}-2\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ 0 & 0 & \left(\frac{1}{3}\right)^{n} \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{pmatrix}\]
Une puce se déplace sur un escalier de trois marches dont les marches sont notés \(M_{0}\) pour la plus basse, \(M_{1}\) pour celle du milieu et \(M_{2}\) pour la marche la plus haute, selon les règles suivantes :
À l’instant initial 0, elle est sur la marche la plus haute \(M_{2}\),
Si elle est sur la marche \(M_{2}\) à l’instant \(n\), elle est à l’instant \(n+1\) de façon équiprobable sur l’une des trois marches \(M_{0}, M_{1}\) ou \(M_{2}\) (elle peut donc en particulier rester sur la marche \(M_{2}\)),
Si elle est sur la marche \(M_{1}\) à l’instant \(n\), elle est à l’instant \(n+1\) de façon équiprobable sur l’une des deux marches \(M_{0}\) ou \(M_{1}\) (elle ne peut pas remonter sur la marche \(M_{2}\)),
Si elle est sur la marche \(M_{0}\) à l’instant \(n\), elle reste à l’instant \(n+1\) sur la marche \(M_{0}\) (elle ne peut pas remonter sur une des autres marches).
Pour tout entier naturel \(n\), on désigne par \(X_{n}\) la variable aléatoire indiquant la hauteur de la marche où se trouve la puce à l’instant \(n\). Ainsi, par exemple, \(\left[ X_{n}=1\right]\) désigne l’événement : « la puce se trouve sur la marche \(M_{1}\) à l’instant \(n\) ».
On note \(\mathbb{E}(X_{n})\) l’espérance de la variable aléatoire \(X_{n}\).
Exprimer, pour tout entier naturel \(n\), à l’aide de la formule des probabilités totales, les probabilités \(\mathbb{P}( X_{n+1}=0 )\), \(\mathbb{P}( X_{n+1}=1 )\) et \(\mathbb{P}( X_{n+1}=2 )\) en fonction de \(\mathbb{P}( X_{n}=0 ), \mathbb{P}( X_{n}=1 )\) et de \(\mathbb{P}( X_{n}=2 )\).
En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(U_{n+1}=M U_{n}\), où : \[U_{n}=\begin{pmatrix} \mathbb{P}( X_{n}=0 ) \\ \mathbb{P}( X_{n}=1 ) \\ \mathbb{P}( X_{n}=2 )\end{pmatrix}\]
et \(M\) est la matrice définie en partie A.
Préciser \(U_{0}\) et exprimer sans démonstration pour tout entier naturel \(n\), \(U_{n}\) en fonction de \(M^{n}\) et \(U_{0}\).
En déduire pour tout entier naturel \(n\) l’expression de \(\mathbb{P}( X_{n}=0 )\), \(\mathbb{P}( X_{n}=1 )\) et \(\mathbb{P}( X_{n}=2 )\).
Déterminer quand \(n\) tend vers \(+\infty\) les limites de \(\mathbb{P}( X_{n}=0 )\), \(\mathbb{P}( X_{n}=1 )\) et \(\mathbb{P}( X_{n}=2 )\).
Déterminer pour tout entier naturel \(n\) l’espérance \(\mathbb{E}(X_{n} )\) et sa limite lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
On considère le script Python ci-dessous :
Que permet de calculer ce script?
On rappelle que la commande np.dot effectue
le produit entre deux matrices.
On appelle \(T\) la variable aléatoire qui vaut \(n\) si la puce atteint la marche \(M_{0}\) pour la première fois à l’instant \(n\).
Préciser l’ensemble des valeurs prises par \(T\).
On suppose avoir importé la librairie Python
numpy.random sous l’abréviation
rd.
Expliquer le fonctionnement de l’instruction Python
floor(rd.random()*(A+1)) où
A désigne un nombre entier naturel
fixé.
On souhaite simuler une réalisation de \(T\).
Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour que la
fonction simult convienne.
On exécute le script Python ci-dessous :
La console affiche 2.4952. Interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé.
On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par :
\[u_{1}=\frac{2}{3} \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ u_{n+1}=\frac{n+1}{3 n} u_{n}\]
Calculer \(u_{2}\) et \(u_{3}\).
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
Compléter la fonction Python ci-dessous qui prend en entrée la valeur \(n\) et renvoie la valeur de \(u_{n}\) :
Montrer par récurrence que :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*},\ u_{n}>0\]
Étudier le sens de variation de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^\ast}\).
En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^\ast}\) est convergente vers un réel \(\ell\) que l’on ne demande pas de calculer ici.
Le script Python ci-dessus introduit les variables
z et y :
Après l’exécution de ce script, le graphique suivant apparait :
Expliquer le rôle des variables y et
z.
Que peut-on conjecturer à propos de la série \(\sum\limits_{n \geqslant 1} u_{n}\) ?
On pose pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \(v_{n}=\frac{u_{n}}{n}\).
Montrer que la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
En déduire pour tout entier \(n\) non nul, l’expression de \(v_{n}\) en fonction de \(n\).
Vérifier que la série \(\sum\limits_{n \geqslant 1} v_{n}\) converge et montrer que \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty} v_{n}=1\).
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète telle que \(X(\Omega)=\mathbb{N}^{*}\) et pour tout \(n\) entier naturel non nul, \(\mathbb{P}(X=n)=v_{n}\).
Reconnaître la loi de \(X\) puis donner son espérance \(\mathbb{E}(X)\).
En déduire sans nouveau calcul que la série \(\sum\limits_{n \geqslant 1} u_{n}\) converge et donner la valeur de sa somme.
Quelle est la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) ?
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ g(x)=x \,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\]
On note \(\mathscr{C}_{g}\) sa représentation graphique dans un repère orthogonal du plan.
Montrer que la fonction \(g\) est impaire. Interpréter graphiquement votre résultat.
Déterminer les limites de \(g\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Interpréter graphiquement votre résultat.
Montrer que pour tout réel \(x\), on a : \(g^{\prime}(x)=\left(1-x^{2}\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\).
Étudier le signe de \(g^{\prime}(x)\) pour tout réel \(x\).
Dresser le tableau de variation de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
Tracer l’allure de \(\mathscr{C}_{g}\). On donne \(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}} \approx 0,6\).
Soit \(A\) un réel strictement positif. On pose : \[I(A)=\int_{0}^{A} x \,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}} \,\mathrm{d}x\]
Montrer que : \(I(A)=1- \mathrm{e}^{-\frac{A^2}{2}}\).
On considère à présent la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)= \begin{cases} g(x) & \text { si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \end{cases}\]
Montrer que la fonction \(f\) est une densité de probabilité. Dans toute la suite, \(X\) désigne une variable aléatoire de densité \(f\).
Déterminer la fonction de répartition \(F\) de la variable aléatoire \(X\).
Calculer la probabilité \(\mathbb{P}(1 \leqslant X \leqslant 2)\).
On rappelle que la densité usuelle de la loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0,1)\) est la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ h(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\]
En déduire la valeur de l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}} \,\mathrm{d}x\), puis justifier que \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}} \,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{2 \pi}}{2}\).
Soit \(A>0\). On pose : \[\displaystyle J(A)=\int_{0}^{A} x^{2} \,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}} \,\mathrm{d}x\]
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : \[J(A)=-A \,\mathrm{e}^{-\frac{A^2}{2}}+\int_{0}^{A} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}} \,\mathrm{d}x\]
En déduire que l’espérance \(\mathbb{E}(X)\) existe et déterminer sa valeur.
On pose \(Y=X^{2}\) et on note \(G\) la fonction de répartition de la variable aléatoire \(Y\).
Déterminer pour tout réel \(x\) le nombre \(G(x)\).
En déduire que \(Y\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\frac{1}{2}\), puis déterminer son espérance et sa variance.
On admet que réciproquement si \(Y\) est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\frac{1}{2}\) alors la variable aléatoire \(X=\sqrt{Y}\) admet pour densité la fonction \(g\).
On rappelle que dans la librairie
numpy.random importée ici sous l’abréviation
rd, se trouve la commande
rd.exponential(alpha,[1,n]) qui simule \(n\) fois une variable aléatoire de loi
exponentielle de paramètre \(\frac{1}{\text {
alpha }}\) et stocke les \(n\)
réalisations ainsi obtenues dans une matrice ligne contenant \(n\) colonnes.
Donner un script Python permettant de simuler 10 fois la variable aléatoire \(Y\).
En déduire un script Python permettant de simuler 10 fois la loi de \(X\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
