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On considère les matrices carrées d’ordre 3 suivantes : \[M=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} ; \quad P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} ; \quad Q=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \text { et } I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
On considère également les suites numériques \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définies par: \[a_{0}=1, \ b_{0}=0, \ c_{0}=0 \quad \text { et } \quad \forall n \in \mathbb{N},\ \begin{cases} \displaystyle a_{n+1} =\frac{1}{2} \, a_{n}+\frac{1}{4} \, b_{n}+\frac{1}{4} \, c_{n} \\ \displaystyle b_{n+1} =\frac{1}{4} \, a_{n}+\frac{1}{2} \, b_{n}+\frac{1}{4} \, c_{n} \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \displaystyle c_{n+1} =\frac{1}{4} \, a_{n}+\frac{1}{4} \, b_{n}+\frac{1}{2} \, c_{n} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
On note enfin pour tout entier naturel \(n\), la matrice colonne \(X_{n}=\begin{pmatrix} a_{n} \\ b_{n} \\ c_{n}\end{pmatrix}\).
Calculer le produit matriciel \(P Q\).
En déduire que \(P\) est inversible et déterminer \(P^{-1}\).
Vérifier que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \ X_{n+1}=M X_{n}\).
Démontrer par récurrence que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \ X_{n}=M^{n} X_{0}\).
Vérifier que \((4 M-I)(4 M-4 I)\) est la matrice nulle.
En déduire les valeurs propres possibles de la matrice \(M\).
Déterminer la matrice diagonale \(D\) telle que \(M=P D P^{-1}\).
Donner sans démonstration, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(M^{n}\) en fonction des matrices \(D, P\) et \(P^{-1}\).
Vérifier que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \[M^n = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1+2 \left( \frac{1}{4} \right)^n & 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^n & 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^n \\ 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^n &1+2 \left( \frac{1}{4} \right)^n & 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^n \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^n & 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^n & 1+2 \left( \frac{1}{4} \right)^n \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \end{pmatrix}\]
Justifier que pour tout entier naturel \(n\) : \[a_{n} =\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{4^{n}}\right) \quad \text{et} \quad b_{n}=c_{n} =\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)\]
En déduire les limites des suites \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\), et \(\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).
Compléter le script Python ci-dessous
afin qu’il calcule et affiche le plus petit entier naturel \(n\) tel que l’on ait à la fois : \(a_{n} \leqslant 0,334\) et \(b_{n} \geqslant 0,333\).
n=0
a=1
b=..........
while a>0.334 and b<0.333:
n=..........
a=1/3*(1+2/4**n)
b=..........
print(..........)On suppose qu’un joueur déplace un pion sur les trois cases d’une roue de loterie partagée en tiers numérotés \(0\), \(1\) et \(2\), dans le sens des aiguilles d’une montre (c’est-à-dire dans le sens de la flèche indiquée), selon le protocole suivant :
au début du jeu, le pion est sur la case 0 ;
à chaque coup le joueur tire de façon équiprobable un chiffre \(k\) de l’ensemble \(\{0,1,2,3\}\) et avance son pion de \(k\) cases, en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre.
Ainsi, par exemple, s’il tire le chiffre 3, il avance son pion de 3 cases ; s’il tire le chiffre 0, il reste sur place.
On note, pour tout entier naturel \(n\), les événements :
\(A_{n}\) : « à l’issue du \(n^{i\grave{e}m e}\) coup, le pion est sur la case 0 »,
\(B_{n}\) : « l’issue du \(n^{i\grave{e} m e}\) coup, le pion est sur la case \(1\) »,
\(C_{n}\) : « à l’issue du \(n^{i\grave{e}m e}\) coup, le pion est sur la case \(2\)».
On convient que \(A_{0}\) est l’événement certain et que \(B_{0}\) et \(C_{0}\) sont des événements impossibles.
Donner les valeurs des probabilités \(\mathbb{P}(A_{0})\), \(\mathbb{P}(B_{0})\), \(\mathbb{P}(C_{0})\), \(\mathbb{P}(A_{1})\), \(\mathbb{P}(B_{1} )\) et \(\mathbb{P}(C_{1} )\).
Expliquer pourquoi \(\mathbb{P}_{A_{n}} (A_{n+1} )=\dfrac{1}{2}\). Donner les valeurs de \(\mathbb{P}_{B_{n}} (A_{n+1} )\) et \(\mathbb{P}_{C_{n}}(A_{n+1} )\).
À l’aide de la formule des probabilités totales, exprimer pour tout entier naturel \(n\), les probabilités des événements \(A_{n+1}, B_{n+1}, C_{n+1}\) en fonction des probabilités des événements \(A_{n}, B_{n}, C_{n}\).
En déduire que les probabilités \(\mathbb{P}(A_{n})\), \(\mathbb{P}(B_{n})\) et \(\mathbb{P}(C_{n})\) sont données par les valeurs de \(a_{n}, b_{n}\) et \(c_{n}\) obtenues dans la partie A.
Interpréter alors le résultat de la question 4e obtenu dans la partie A.
On pose, pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]-1,+\infty[\) : \[f(x)=x \ln (1+x)\]
On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle ] \(-1,+\infty\left[\right.\), et que sa dérivée \(f^{\prime}\) est également dérivable sur l’intervalle \(]-1,+\infty[\).
On note \(\mathscr{C}_{f}\) la représentation graphique de \(f\) dans un repère du plan.
Déterminer la limite de \(f\) en \(-1\). Que peut-on en déduire pour la courbe \(\mathscr{C}_{f}\) ?
Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).
Démontrer que \(\mathscr{C}_{f}\) admet une branche parabolique dont on précisera la direction.
Calculer \(f^{\prime}(x)\) pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]-1,+\infty[\).
Montrer que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]-1,+\infty[\) : \(f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{x+2}{(1+x)^{2}}\).
En déduire les variations de la fonction \(f^{\prime}\) sur l’intervalle \(]-1,+\infty[\).
Calculer \(f^{\prime}(0)\). En déduire le signe de \(f^{\prime}(x)\) pour tout \(x>-1\).
Dresser le tableau de variations de \(f\) sur l’intervalle \(]-1,+\infty[\).
Tracer l’allure de \(\mathscr{C}_{f}\) dans un repère du plan, en soignant le tracé au point d’abscisse 0.
On pose : \(\displaystyle I=\int_{0}^{1} f(x) \,\mathrm{d}x\)
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : \[I=\frac{\ln (2)}{2}-\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x+1} \,\mathrm{d}x\]
Vérifier que : \(\displaystyle \forall x \in[0,1], \ \frac{x^{2}}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}\).
En déduire la valeur de l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x+1} \,\mathrm{d}x\).
Calculer l’intégrale \(I\).
On considère à présent la famille de fonctions \(\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définies sur \(]-1,+\infty[\) par : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \forall x \in\left]-1,+\infty\right[, \ f_{n}(x)=x^{n} \ln (1+x)\]
On pose alors pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1} f_{n}(x) \,\mathrm{d}x\).
Le graphique ci-dessous contient les représentations graphiques des fonctions \(f_{1}, f_{5}, f_{10}, f_{20}\) et \(f_{50}\) sur l’intervalle \([0,1]\).
Recopier et compléter le script Scilab ci-dessous pour qu’il trace les courbes des fonctions ci-dessus.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
..........
for n ........:
x=np.linspace(0,1,100)
plt.plot(..........,label='n=%.0f' %n)
plt.legend()Interpréter géométriquement l’intégrale \(I_{n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\).
En utilisant le graphique ci-dessus, conjecturer la limite de la suite \(\left(I_{n}\right)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Montrer que pour tout entier \(n \in \mathbb{N}^{*}\) : \[\forall x \in[0,1], \ 0 \leqslant x^{n} \ln (1+x) \leqslant x^{n} \ln (2)\]
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ 0 \leqslant I_{n} \leqslant \frac{\ln (2)}{n+1}\]
Déterminer la limite de la suite \(\left(I_{n}\right)_{n \geqslant 1}\).
Soit \(a\) un nombre réel strictement positif.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text {si } x<0 \\ \displaystyle \frac{x}{2 a^{2}} & \text {si } 0 \leqslant x \leqslant 2 a \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ \hfill 0 \hfill & \text {si } x>2 a \rule[0pt]{0pt}{15pt}\end{cases}\]
Justifier que \(f\) est continue en \(0\). La fonction \(f\) est-elle continue en \(2 a\) ?
Vérifier que \(f\) est une densité de probabilité.
Dans toute la suite, on note \(X\) une variable aléatoire de densité \(f\).
Montrer que la fonction de répartition \(F\) de la variable aléatoire \(X\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par: \[F(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text {si } x<0 \\ \displaystyle \frac{x^{2}}{4 a^{2}} & \text {si } 0 \leqslant x \leqslant 2 a \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ \hfill 1 \hfill & \text {si } x>2 a \rule[0pt]{0pt}{15pt}\end{cases}\]
Calculer la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_{\left[X>\frac{a}{2}\right]}(X \leqslant a)\).
Montrer que \(X\) admet une espérance et que \(\mathbb{E}(X)=\dfrac{4 a}{3}\).
Montrer que \(X\) admet une variance et déterminer \(\mathbb{V}(X)\).
On note \(Y=X^{2}\) et on note \(G\) la fonction de répartition de \(Y\).
Déterminer \(G(x)\) pour tout réel \(x\).
On vérifiera en particulier que, pour tout réel \(x\) de \(\left[0,4 a^{2}\right]\), on a : \(G(x)=\dfrac{x}{4 a^{2}}\).
En déduire que \(Y\) suit une loi usuelle que l’on précisera.
On rappelle que, sous Python, la
fonction rd.random de la bibliothèque
numpy.random simule le choix aléatoire d’un
réel uniformément entre 0 et 1.
Expliquer ce que simule la commande
rd.random()*4*a**2.
On admet que réciproquement si \(Y\) suit une loi uniforme sur \(\left[0,4 a^{2}\right]\), alors \(\sqrt{Y}\) suit la même loi que \(X\). Déduire de la question précédente une
fonction SimulX en langage
Python permettant de simuler la variable
aléatoire \(X\).
Soit \(n \geqslant 1\). On suppose à présent que le réel \(a\) est inconnu et on cherche à l’estimer.
Pour cela on considère un échantillon \(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\) de \(n\) variables aléatoires indépendantes et suivant toutes la même loi que \(X\).
Si \(T_n\) est un estimateur de \(a\) :
on dira qu’un estimateur \(T_n\) de \(a\) est sans biais s’il admet une espérance et si celle-ci est égale à \(a\),
on appelle risque quadratique de \(T_n\) le réel \(r_{T_n}(a)= \mathbb{E}( (T_n-a)^2)\).
On pose : \[T_{n}=\frac{3}{4 n} \sum_{k=1}^{n} X_{k}\]
Montrer que \(T_{n}\) est un estimateur sans biais de \(a\).
Calculer le risque quadratique de \(T_{n}\).
Recopier et compléter le script Python
ci-dessous pour qu’il permette de choisir un réel \(a\) au hasard dans \([0,3]\), crée un vecteur
X contenant \(n\) simulations de la variable aléatoire
\(X\) puis affiche une estimation de
\(a\) :
import numpy.random as rd
import numpy as np
X=np.zeros(n)
for k in range(n):
X[k]=SimulX(a)
Tn=..........
print(.......)Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.