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Dans tout l’exercice, \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels. On notera respectivement \(I_3\) et \(0_3\) la matrice identité et la matrice nulle de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\).
On note \(F\) l’ensemble des matrices de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) de la forme \[\begin{pmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{pmatrix}\]
où \(a\) et \(b\) sont des réels quelconques et \(G\) l’ensemble des matrices \(M\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telles que \(M^2 = M\).
\(F\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) ? Si oui, déterminer une base et la dimension de \(F\).
\(G\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) ? Si oui, déterminer une base et la dimension de \(G\).
On note \(A = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\).
Démontrer que \(A\) appartient à \(F\cap G\).
En déduire un polynôme annulateur de \(A\).
Déterminer les valeurs propres de \(A\) et donner une base de chaque sous-espace propre associé.
La matrice \(A\) est-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ?
On considère dans cette partie une matrice \(M = \begin{pmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{pmatrix}\) de \(F\) avec \((a,b)\in \mathbb{R}^2\).
Démontrer que : \[M\in G \Longleftrightarrow \begin{cases} a^2+2b^2=a \\ b \left( b+2a-1 \right) =0 \end{cases}\]
Montrer alors que : \(F\cap G = \{ I_3,0_3,A,I_3-A\}\).
On note \(B = I_3-A\). Démontrer que \((A,B)\) est une base de \(F\).
On note \(\alpha = a-b\) et \(\beta = a+2b\). Vérifier que : \[M=\alpha A + \beta B\]
Calculer \(AB\) et \(BA\).
Montrer que pour tout entier naturel \(n\) : \[M^n = \alpha^n A + \beta^n B\]
Montrer que \(M\) est inversible si et seulement si \(\alpha \neq 0\) et \(\beta \neq 0\).
Si \(\alpha\) et \(\beta\) sont deux réels non nuls, montrer que l’on a, pour tout entier naturel \(n\) : \[M^{-n} = \alpha^{-n} A + \beta^{-n} B\]
On note \(T = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}\) et \(Y = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\).
On considère la suite \((X_n)\) de matrices colonnes définie par \(X_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) et la relation de récurrence : \[\forall n\in \mathbb{N},\quad X_{n+1} = TX_n+Y\]
Calculer la matrice \(I_3-T\) et exprimer cette matrice en fonction de \(A\) et \(B\).
À l’aide de la question \(7\), calculer la matrice \((I_3-T)^{-1}\).
Démontrer qu’il existe une unique matrice colonne \(L\), que l’on déterminera, telle que : \[L=TL+Y\]
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(X_{n+1}-L = T \left( X_n-L \right)\), puis que : \[\forall n\in \mathbb{N},\ X_n-L = T^n \left( X_0-L \right)\]
Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(X_n\) en fonction de \(A\), \(B\), \(L\), \(X_0\) et \(n\).
Pour tout réel \(x>0\), on pose : \[g(x) = \exp \! \left(\left(2-\frac{1}{x}\right) \ln(x)\right)\]
Déterminer \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} g(x)\) et \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} g(x)\).
Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+^*\) par : \[\forall x>0,\ h(x) = \ln(x)+2x-1\]
Démontrer que la fonction \(h\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+^*\).
Montrer qu’il existe un unique réel \(\alpha>0\) tel que \(h(\alpha) = 0\) et justifier que \(\frac{1}{2} < \alpha < 1\).
Prouver que : \[\forall x>0,\ g'(x) = \dfrac{1}{x^2} \, h(x) \,g(x)\]
En déduire les variations de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}_+^*\).
Démontrer que : \[g(x) - x^2 \;\underset{x\to +\infty}{\sim}\; -x\ln(x)\]
Soit \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) la suite définie par son premier terme \(u_0>0\) et la relation de récurrence : \[\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=g(u_n)\]
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) existe et \(u_n>0\).
Écrire une fonction en langage Python qui prend en argument un
réel u0 et un entier n et renvoie sous forme
de matrice ligne la liste des \(n+1\)
premières valeurs de la suite \((u_n)_{n\in
\mathbb{N}}\) de premier terme \(u_0
=\)u0.
Étudier le signe de \((x-1)\ln(x)\) pour \(x>0\).
Montrer que : \[\forall x>0,\ \dfrac{g(x)}{x}\geqslant 1\]
En déduire que : \[\forall x>0,\ g(x) \geqslant x\]
et que l’équation \(g(x)=x\) admet \(1\) comme unique solution.
Étudier les variations de la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\).
Dans cette question uniquement, on suppose que \(u_0\in \left[ \frac{1}{2},1\right]\).
Démontrer que : \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(u_n \in \left[ \frac{1}{2},1\right]\).
En déduire que la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) converge, et déterminer sa limite.
Dans cette question uniquement, on suppose que \(u_0>1\).
Démontrer que : \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(u_n > 1\).
En déduire que la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) tend vers \(+\infty\).
Dans cette question uniquement, on suppose que \(0<u_0<\frac{1}{2}\). La suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est-elle convergente ?
Pour tout couple \((x,y)\in \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}\), on note : \[f(x,y) = x^{y-\frac{1}{x}} = \exp \! \left(\left(y-\frac{1}{x}\right) \ln(x)\right)\]
Démontrer que la fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur l’ouvert \(\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}\).
Démontrer que : \[\forall (x,y) \in \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R},\ \begin{cases} \partial_1(f)(x,y) = \dfrac{\ln(x)+xy-1}{x^2} \, f(x,y) \\ \partial_2(f)(x,y) = \ln(x) f(x,y) \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Vérifier que la fonction \(f\) admet un unique point critique \(a\) et préciser les coordonnées de \(a\).
Montrer que la matrice hessienne de \(f\) au point \(a\) est \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).
La fonction \(f\) admet-elle en \(a\) un extremum local ?
Démontrer que la fonction \(f\) n’admet pas d’extremum global sur \(\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}\).
On dispose de trois urnes \(U_1\),
\(U_2\) et \(U_3\), et d’une infinité de jetons
numérotés \(1, 2, 3, 4, \ldots\)
On répartit un par un les jetons dans les urnes : pour chaque jeton, on
choisit au hasard et avec équiprobabilité une des trois urnes dans
laquelle on place le jeton. Le placement de chaque jeton est indépendant
de tous ceux des autres jetons, et la capacité des urnes en nombre de
jetons n’est pas limitée.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(X_n\) (respectivement \(Y_n\), \(Z_n\)) le nombre de jetons présents dans l’urne \(1\) (respectivement l’urne \(2\), l’urne \(3\)) après avoir réparti les \(n\) premiers jetons.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(V_n\) l’événement : « après la répartition des \(n\) premiers jetons, au moins une urne reste vide».
Soit \(n\in \mathbb{N}^*\).
Justifier que \(X_n\), \(Y_n\) et \(Z_n\) suivent la même loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Expliciter \(\mathbb{P}( X_n=0)\) et \(\mathbb{P}( X_n=n)\).
Justifier que \([ Y_n=0] \cap [Z_n=0] = [X_n=n ]\).
Exprimer l’événement \(V_n\) à l’aide des événements \([ X_n=0 ]\), \([ Y_n=0 ]\) et \([ Z_n=0 ]\).
En déduire que : \[\mathbb{P}( V_n) = 3\left(\dfrac{2}{3}\right)^n - 3\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\]
On note \(V\) l’événement : « au moins l’une des trois urnes reste toujours vide».
Exprimer l’événement \(V\) à l’aide des événements de la suite \((V_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\), puis démontrer que \(\mathbb{P}( V) = 0\).
Soit \(T\) la variable aléatoire égale au nombre de jetons nécessaires pour que, pour la première fois, chaque urne contienne au moins un jeton.
On rappelle qu’en langagne Python, après l’exécution de la
commande import numpy.random as rd, la
commande rd.randint(a,b+1) renvoie une
simulation d’une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \(\left[\kern-0.15em\left[ {a,b}
\right]\kern-0.15em\right]\) et la commande
rd.randint(a,b+1,n) renvoie une matrice
contenant \(n\) lignes et une colonne
et dont les coefficients sont les réalisations de \(n\) variables aléatoires indépendantes et
de même loi uniforme sur \(\left[\kern-0.15em\left[ {a,b}
\right]\kern-0.15em\right]\).
Compléter la fonction Python ci-dessous pour qu’elle simule le placement des jetons jusqu’au moment où chaque urne contient au moins un jeton, et pour qu’elle renvoie la valeur prise par \(T\).
Écrire un programme Python qui simule \(10\,000\) fois la variable aléatoire \(T\) et qui renvoie une valeur approchée de son espérance (en supposant que cette espérance existe).
Déterminer \(T(\Omega)\).
Démontrer que : \[\forall n\in T(\Omega),\quad \mathbb{P}( T=n) = \mathbb{P}( V_{n-1})-\mathbb{P}( V_n)\]
Prouver que la variable aléatoire \(T\) admet une espérance, et calculer cette espérance.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(W_n\) la variable aléatoire égale au nombre d’urnes encore vides après le placement des \(n\) premiers jetons.
Donner la loi du couple \((X_2,W_2)\).
En déduire la loi de \(W_2\) et calculer son espérance.
Calculer la covariance de \(X_2\) et \(W_2\).
Les variables aléatoires \(X_2\) et \(W_2\) sont-elles indépendantes ?
Dans la suite, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(3\). Déterminer \(W_n(\Omega)\).
Pour \(i\in \left[\kern-0.15em\left[ {1,3} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(W_{n,i}\) la variable aléatoire égale à \(1\) si l’urne \(i\) est encore vide après le placement des \(n\) premiers jetons, et qui vaut \(0\) sinon.
Montrer que : \[\forall i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,3} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{E}(W_{n,i}) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\]
Exprimer la variable aléatoire \(W_n\) en fonction des variables aléatoires \(W_{n,1}\), \(W_{n,2}\) et \(W_{n,3}\).
Exprimer alors \(E(W_n)\) en fonction de \(n\).
Démontrer que : \[\mathbb{P}( [ X_n=n] \cap [ W_n=2] ) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\]
Pour \(k\in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), quelle est la valeur de \(\mathbb{P}( [ X_n=k] \cap [ W_n=2 ] )\) ?
Démontrer que : \[\forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}( [ X_n=k] \cap [ W_n=1 ] ) = \dfrac{2}{3^n}\displaystyle \binom{n}{k}\]
Que vaut \(\mathbb{P}( [ X_n=n ] \cap [ W_n=1 ] )\) ?
Démontrer que : \[\mathbb{E}(X_nW_n) = 2n\; \mathbb{P}( [ X_n=n ] \cap [ W_n=2 ] ) + \sum_{k=1}^{n-1} k\;\mathbb{P}( [ X_n=k ] \cap [ W_n=1 ] )\]
Montrer alors que : \[\mathbb{E}(X_nW_n) = n\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\] puis calculer la covariance de \(X_n\) et \(W_n\).
Interpréter le résultat obtenu à la question précédente.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
