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On note dans \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) les deux matrices suivantes : \[M=\begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \quad \text { et } \quad I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
On considère également les deux suites \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définies par : \[u_{0}=0, \quad v_{0}=1 \quad \text { et } \forall n \in \mathbb{N},\ \begin{cases} u_{n+1} =-2 u_{n}+v_{n} \\ v_{n+1} =3 u_{n} \end{cases}\]
Calculer le produit matriciel \((M-I)(M+3 I)\).
Déterminer un polynôme \(P\) non nul, annulateur de la matrice \(M\).
Déterminer les valeurs propres possibles de \(M\).
À l’aide de la question 1a, déterminer l’expression de \(M^{2}\) en fonction des matrices \(M\) et \(I\).
Montrer par récurrence que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \ M^{n}=u_{n} M+v_{n} I\).
Déterminer la matrice carrée \(A\) d’ordre 2 telle que : \(\forall n \in \mathbb{N},\ \begin{pmatrix}u_{n+1} \\ v_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}u_{n} \\ v_{n}\end{pmatrix}\).
En déduire que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \ \begin{pmatrix}u_{n} \\ v_{n}\end{pmatrix}=A^{n}\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\).
On considère les deux scripts incomplets
Python ci-dessous. A
désigne la matrice \(A\) et
C désigne la matrice colonne \(\begin{pmatrix}u_{n} \\
v_{n}\end{pmatrix}\).
Compléter ces deux scripts pour qu’ils calculent et affichent les termes \(u_{n}\) et \(v_{n}\) pour un entier naturel \(n\) choisi par l’utilisateur.
On considère les matrices colonnes \(V_{1}=\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}\) et \(V_{2}=\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}\).
Vérifier que \(V_{1}\) et \(V_{2}\) sont des vecteurs propres de la matrice \(A\). Préciser pour chacun la valeur propre associée.
Soit \(Q=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 3 & -1\end{pmatrix}\) la matrice carrée d’ordre 2 dont les colonnes sont les vecteurs \(V_{1}\) et \(V_{2}\). Justifier que \(Q\) est inversible puis déterminer \(Q^{-1}\).
Déterminer la matrice \(D\) telle que \(D=Q^{-1} A Q\).
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a: \(A^{n}=Q D^{n} Q^{-1}\).
En déduire que pour tout entier naturel \(n\) : \[A^{n}=- \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1+(-3)^{n+1} & -1+(-3)^{n} \\ -3-(-3)^{n+1} & -3-(-3)^{n} \end{pmatrix}\]
Déterminer les valeurs de \(u_{n}\) et \(v_{n}\) en fonction de \(n\).
Expliciter, pour tout entier naturel \(n\), les neuf coefficients de la matrice \(M^{n}\).
On suppose avoir complété correctement l’un des deux scripts
Python de la question 3.(c) et on rajoute les
lignes suivantes :
Que renvoie ce nouveau script lorsqu’on choisit une valeur de l’entier naturel \(n\) ?
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([1,+\infty[\) par :
\[\forall x \in\left[1,+\infty\right[, \ f(x)=\frac{\ln (x)}{x}\]
On note \(\mathscr{C}_{f}\) la courbe représentative de \(f\).
Donner la valeur de \(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)\). Interpréter graphiquement votre résultat.
Pour tout réel \(x\) supérieur ou égal à 1, calculer \(f^{\prime}(x)\), et justifier que \(f^{\prime}(x)\) a le même signe que \(1-\ln (x)\).
Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\), en faisant apparaître les valeurs des extremums et la limite en \(+\infty\).
Pour tout réel \(x\) supérieur ou égal à 1, calculer \(f^{\prime \prime}(x)\).
Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([1,+\infty[\).
La courbe \(\mathscr{C}_{f}\) admet-elle un point d’inflexion?
On note \(M\) le point d’abscisse \(\mathrm{e}^{3 / 2}\) de \(\mathscr{C}_{f}\).
Déterminer les coordonnées de \(M\).
Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à \(\mathscr{C}_{f}\) au point \(M\).
Calculer les coordonnées du point d’intersection \(N\) de \((T)\) avec l’axe des ordonnées.
Préciser la position de \(\mathscr{C}_{f}\) par rapport à \((T)\) sur \([1,+\infty[\).
On donne \[\mathrm{e}\approx 2,72, \quad \frac{1}{\mathrm{e}} \approx 0,37, \quad \mathrm{e}^{3 / 2} \approx 4,48, \quad f ( \mathrm{e}^{3 / 2} ) \approx 0,33, \quad f^{\prime}( \mathrm{e}^{3 / 2} ) \approx-0,02, \quad \frac{2}{\mathrm{e}^{3 / 2}} \approx 0,45\]
Tracer l’allure de la courbe \(\mathscr{C}_{f}\) en plaçant sur le même graphique le point \(M\), le point \(N\), ainsi que la droite \((T)\). On pourra par exemple choisir un repère où l’axe des abscisses a pour unité \(1 \mathrm{~cm}\), et l’axe des ordonnées a pour unité \(4 \mathrm{~cm}\).
Pour tout réel \(A\) supérieur ou égal à 1, calculer l’intégrale \(\displaystyle I(A)=\int_{1}^{A} \frac{\ln (x)}{x} \,\mathrm{d}x\).
Étudier la convergence de l’intégrale généralisée \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln (x)}{x} \,\mathrm{d}x\).
Pour tout réel \(A\) supérieur ou égal à 1, on note \(\displaystyle J(A)=\int_{1}^{A} \frac{\ln (x)}{x^{2}} \,\mathrm{d}x\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : \[J(A)=- \frac{\ln (A)}{A}-\frac{1}{A}+1\]
Déterminer \(\lim\limits _{A \rightarrow+\infty} J(A)\).
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ g(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text {si } x< 1 \\ \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} & \text {si } x \geqslant 1 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Montrer que la fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que \(g\) est une densité de probabilité.
Compléter les lignes 3 à 5 du script
Python ci-dessous pour que la fonction
Python g prenne en
entrée un réel \(x\) et calcule \(g(x)\).
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def g(x):
if x>=1:
return ..........
else:
return ..........
x=np.linspace(-4,8,100)
y=np.zeros(100)
for k in range(100):
y[k]=g(x[k])
plt.plot(x,y)Qu’obtient-on lors de l’exécution des lignes 8 à 11 du script précédent?
Soit \(X\) une variable aléatoire admettant pour densité la fonction \(g\).
Montrer que la fonction de répartition \(G\) de \(X\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ G(x)=\begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text {si } x<1\\ \displaystyle 1-\frac{1}{x}-\frac{\ln (x)}{x} & \text {si } x \geqslant 1 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]
Calculer les probabilités \(\mathbb{P}( X> \mathrm{e}^{2} )\) et \(\mathbb{P}_{[X> \mathrm{e}]}( X> \mathrm{e}^{2})\).
La variable aléatoire \(X\) admet-elle une espérance?
Les parties \(A\) et \(B\) peuvent être traitées indépendamment.
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\), égale à la durée de fonctionnement d’un composant électronique jusqu’à sa première panne éventuelle.
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(: u_{n}=\mathbb{P}(X>n)\).
On suppose dans toute cette partie que, pour tout entier naturel \(n: u_{n} \neq 0\).
Le composant est mis en service à l’instant 0. On a ainsi \(u_{0}=1\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Justifier l’égalité d’événements : \[[X>n-1]=[X=n] \cup[X>n]\]
Justifier que, pour tout entier naturel \(n\) non nul: \[u_{n-1}-u_{n}=\mathbb{P}(X=n)\]
On suppose que la probabilité que le composant tombe en panne à l’instant \(n\) sachant qu’il fonctionne encore à l’instant \(n-1\) vaut \(\frac{2}{5}\), c’est-à-dire que : \[\forall n \geqslant 1, \ \mathbb{P}_{[X>n-1]}( X=n)=\frac{2}{5}\]
Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \[\mathbb{P}_{[X>n-1]}(X>n)=1- \mathbb{P}_{[X>n-1]}( X=n)\]
Établir, pour tout entier naturel \(n\) non nul, l’égalité : \(u_{n}=\dfrac{3}{5} \, u_{n-1}\).
En déduire, pour tout entier naturel \(n\), la valeur de \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a:
\[\mathbb{P}(X=n)=\frac{2}{5}\left(\frac{3}{5}\right)^{n-1}\]
En déduire que \(X\) suit une loi géométrique et préciser son paramètre.
Donner l’espérance et la variance de \(X\).
Un appareil est constitué de deux composants électroniques dont les durées de vie sont supposées indépendantes. Cet appareil ne fonctionne que si au moins un des deux composants est en état de marche.
Soient \(X_{1}\) et \(X_{2}\) les variables aléatoires égales à la durée de vie de chacun de ces composants et \(Z\) la variable aléatoire égale à la durée de vie de l’appareil. La durée de vie de l’appareil est donc égale à la plus grande des durées de vie des deux composants.
On suppose que \(X_{1}\) et \(X_{2}\) suivent la même loi géométrique de paramètre \(\frac{2}{5}\).
On rappelle qu’après import de la bibliothèque
numpy.random sous
Python, l’instruction
rd.random() renvoie un réel choisi au hasard
et uniformément dans l’intervalle \([0,1]\).
Recopier et compléter le script ci-dessous pour qu’il crée une
fonction geom qui simule une variable
aléatoire de loi géométrique de paramètre \(\frac{2}{5}\).
Recopier et compléter alors le script ci-dessous pour qu’il crée une fonction simulZ() qui simule la variable aléatoire \(Z\).
Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(\mathbb{P}( X_{1} \leqslant n ) =1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n}\).
Justifier que pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a l’égalité : \[[Z \leqslant n]=\left[X_{1} \leqslant n\right] \cap\left[X_{2} \leqslant n\right] .\]
En déduire la valeur de \(\mathbb{P}(Z \leqslant n)\) pour tout entier naturel \(n\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, en remarquant que \(\mathbb{P}(Z=n)=\mathbb{P}(Z \leqslant n)-\mathbb{P}(Z \leqslant n-1)\), montrer que : \[\mathbb{P}(Z=n)=\frac{4}{5}\left(\frac{3}{5}\right)^{n-1}-\frac{16}{25}\left(\frac{9}{25}\right)^{n-1}\]
Justifier la convergence des séries \(\sum\limits_{n \geqslant 1}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}\) et \(\sum\limits_{n \geqslant 1}\left(\frac{9}{25}\right)^{n}\) puis vérifier que : \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \mathbb{P}(Z=n)=1\).
Soit \(Y\) une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre \(\frac{16}{25}\). Justifier que pour tout entier naturel \(n\) non nul : \[n \, \mathbb{P}(Z=n)=2 n \, \mathbb{P}( X_{1}=n )-n \, \mathbb{P}(Y=n)\]
En déduire que \(Z\) admet une espérance, et que :
\[\mathbb{E}(Z)=2 \, \mathbb{E}( X_{1} )- \mathbb{E}(Y) .\]
En déduire la valeur de \(\mathbb{E}(Z)\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.