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On note \(A\), \(J\) et \(S\) les matrices de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) définies par : \[A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0% \end{pmatrix}, \quad J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1% \end{pmatrix} \quad \text { et } \quad S=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1% \end{pmatrix}\]
Vérifier que \(A^{3}=-3 A\). En déduire que \(\mathrm{Sp}(A)=\{0\}\).
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?
Justifier que \(J\) et \(S\) sont diagonalisables, et vérifier que \(S J=J S\).
On admet que \(\mathrm{Sp}(S)=\{0, \sqrt{3},-\sqrt{3}\}\). Montrer que tout vecteur propre de \(S\) est vecteur propre de \(J\).
En déduire qu’il existe une matrice \(P\) inversible de \(\mathcal{M}_{3}(% \mathbb{R})\) (qu’on ne demande pas de déterminer) telle que \(P^{-1}SP\) et \(% P^{-1}JP\) soient diagonales.
Soit \(n\geqslant 3\). On dit qu’une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}% )\) est magique quand les sommes des coefficients de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale sont égales. Ainsi en notant :
\(M=\left( m_{ij}\right) _{1\leqslant i,j\leqslant n}\),
pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\ell _{i}(M)=\sum\limits_{j=1}^{n}m_{i,j}\),
pour tout \(j\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(% c_{j}(M)=\sum\limits_{i=1}^{n}m_{i,j}\),
\(d_{1}(M)=\sum\limits_{i=1}^{n}m_{i,i}\text{ et }d_{2}(M)=% \sum\limits_{i=1}^{n}m_{i,n-i+1}\),
alors:
\(M\) est magique si et seulement si : \(\forall (i,j)\in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^{2}\), \(\ell _{i}(M)=c_{j}(M)=d_{1}(M)=d_{2}(M)\).
Si \(M\) est une matrice magique, la valeur de ces sommes est alors notée \(% s(M)\) et appelée somme de la matrice \(M\).
On note \(\mathcal{E}_{n}\) l’ensemble des matrices réelles magiques d’ordre \(% n\), et on admet que \(\mathcal{E}_{n}\) ainsi défini est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
Montrer que \(\ell _{1}\) est une forme linéaire sur \(\mathcal{M}% _{n}(\mathbb{R})\).
On admettra dans la suite que, pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right]\) et pour tout \(j\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), les applications \(\ell _{i},c_{j},d_{1},d_{2}\) et \(s\) sont des formes linéaires sur \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
On note \(\mathcal{K}_{n}\) l’ensemble des matrices de \(\mathcal{E}% _{n}\) de somme nulle.
Montrer que \(\mathcal{K}_{n}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{E}% _{n}\).
Soit \(M\in \mathcal{E}_{n}\). Montrer que \({}^t\!M\) est aussi un élément de \(\mathcal{E}_{n}\) et déterminer \(s ( {}^t\!M )\).
Soit \(M\in \mathcal{E}_{n}\). Montrer qu’il existe un unique réel \(% \lambda\) tel que \(M-\lambda J_{n}\in \mathcal{K}_{n}\), avec : \[J_{n}=\begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & \ldots & 1% \end{pmatrix}\]
Soit \(M\in \mathcal{E}_{n}\). Montrer que \(W_{n}= \begin{pmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1% \end{pmatrix}\) est un vecteur propre de \(M\) et préciser la valeur propre associée.
On se place dans cette partie dans le cas particulier où \(n=3\).
Vérifier que les matrices \(A\), \(J\) et \(S\) définies dans la partie 1 sont magiques, et déterminer leur somme.
Montrer que pour toute matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}% )\), il existe un unique couple \(\left( M_{1},M_{2}\right) \in \left( \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\right) ^{2}\) tel que : \[M=M_{1}+M_{2},\quad \text{ avec }\left\{ \begin{array}{l} M_{1}\text{ antisymétrique} \\ M_{2}\text{ symétrique}% \end{array}% \right.\] On explicitera notamment \(M_{1}\) et \(M_{2}\) en fonction de \(M\).
Soit \(M\in \mathcal{K}_{3}\). On écrit \(M=M_{1}+M_{2}\) selon la dé composition vue en question 11 .
Montrer que \(M_{1}\) et \(M_{2}\) appartiennent à \(\mathcal{K}_{3}\).
Montrer qu’il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que: \[M_{1}=\alpha A\text{ et }M_{2}=\beta S\]
En déduire une base de \(\mathcal{K}_{3}\), puis montrer que \(% (A,J,S)\) est une base de \(\mathcal{E}_{3}\).
On note \(\Delta =\left\{ M\in \mathcal{E}_{3}\ /\ P^{-1}MP\text{ est diagonale}\right\}\), où \(P\) est la matrice définie dans la partie 1.
Montrer que \(\Delta =\mathrm{Vect}(J,S)\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^{2}\) par: \[f:% \begin{array}{ccc} \mathbb{R}^{2} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ (x,y) & \longmapsto &( x^{2}+y ) \,\mathrm{e}^{- ( x^{2}+y^{2} ) }% \end{array}%\]
Justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) et dé terminer \(\partial _{1}f(x,y)\) et \(\partial _{2}f(x,y)\) pour tout \((x,y)\in \mathbb{R}^{2}\).
Déterminer les points critiques de \(f\) sur \(\mathbb{R}^{2}\).
On admettra dans la suite que pour tout \((x,y)\in \mathbb{R% }^{2}\), on a : \[\begin{array}{l} \partial _{1,1}^{2}f(x,y)=2\left[ \left( 1-\left( x^{2}+y\right) \right) \left( 1-2x^{2}\right) -2x^{2}\right] \mathrm{e}^{- ( x^{2}+y^{2} ) } \\ \partial _{2,2}^{2}f(x,y)=-2\left[ x^{2}+2y+y\left( 1-2y\left( x^{2}+y\right) \right) \right] \mathrm{e}^{- ( x^{2}+y^{2} ) }\rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \partial _{1,2}^{2}f(x,y)=-2x\left[ 1+2y\left( 1-x^{2}-y\right) \right] \mathrm{e}^{- ( x^{2}+y^{2} ) } \rule[0pt]{0pt}{20pt}% \end{array}%\]
Montrer que la hessienne de \(f\) en \(\left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) est diagonale.
La fonction \(f\) admet-elle un extremum local en \(\left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}% \right) ?\) Si oui, de quelle nature?
Montrer que \(f\) admet un extremum local en \(\left(0, - \frac{1}{\sqrt{2}% }\right)\) et préciser sa nature.
Montrer que la hessienne de \(f\) en \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{% 2}\right)\) est la matrice \(H=\mathrm{e}^{-3 / 4} \begin{pmatrix} -2 & -\sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & -3% \end{pmatrix}\).
Justifier que \(H\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) et que ses valeurs propres sont toutes deux strictement négatives.
Qu’en déduire pour le point \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)\) ?
Montrer que : \[\forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2},\ 0\leqslant \left| f(x,y) \right| \leqslant \left[ (\max (|x|,|y|))^{2}+\max (|x|,|y|)\right] \mathrm{e}^{-[\max (|x|,|y|)]^{2}}\]
En étudiant la limite en \(+\infty\) de \(u \mapsto \left( u^{2}+u \right) \mathrm{e}^{-u^{2}}\), montrer qu’il existe un réel \(r\) strictement positif tel que : \[\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \ \max (|x|,|y|) \geqslant r \Longrightarrow 0 \leqslant|f(x, y)| \leqslant \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{3}{4}}\]
Représenter l’ensemble \(\mathcal{K}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \max (|x|,|y|) \leqslant r\right\}\) et justifier que cet ensemble est un fermé de \(\mathbb{R}^{2}\).
Vérifier que tous les points critiques de \(f\) appartiennent à \(% \mathcal{K}\).
En déduire tous les extrema globaux de \(f\) sur \(\mathbb{R}^{2}\), et les points où ils sont atteints.
On cherche maintenant à étudier les extrema de la fonction \(f\) sur \(\mathcal{E}=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2,\ x^2+y^2=1\}\).
Déterminer sur \([-1,1]\) les extrema de la fonction \(g\) : \(y\mapsto 1+y-y^{2}\).
Déduire de la question précédente l’ensemble des points pour lesquels \(% f\) admet un extremum sur \(\mathcal{E}\).
Soit \(a\) un réel strictement positif.
On considère dans tout ce problème une suite \(\left( X_{n}\right) _{n\geqslant 1}\) de variables aléatoires mutuellement indépendantes et identiquement distribuées, toutes définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), et suivant toutes la loi uniforme sur l’intervalle \(% [0,a]\). L’objectif de ce problème est d’étudier puis de comparer deux estimateurs de \(a\).
Les parties 1 et 2 de ce problème sont indépendantes.
On note pour tout \(n\geqslant 1\), \(V_{n}=\max \left( X_{1},\ldots ,X_{n}\right)\), appelé estimateur de \(a\) du maximum de vraisemblance.
Au début d’un programme Python, on a saisi les instructions suivantes :
On rappelle qu’en langage Python, l’instruction
rd.random(n) permet d’obtenir une matrice à
\(n\) lignes dont les coefficients sont
des simulations de \(n\) variables
aléatoires indépendantes, toutes de loi uniforme sur l’intervalle \([0,1]\).
Écrire une fonction d’en-tête def simV(n,a) prenant en
entrée un entier naturel non nul \(n\)
et un réel \(a\) strictement positif,
et qui renvoie une réalisation de \(V_{n}\).
On a tracé ci-dessous cinq réalisations mutuellement indépendantes de \(% \left(V_{1}, V_{2}, \ldots, V_{100}\right)\), dans le cas où \(a=1\).
FIGURE 2 – Cinq évolutions de \((V_1,V_2,\dots,V_{100})\) pour \(a=1\)
À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer sur l’estimateur \(V_{n}\) ?
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\).
Rappeler l’expression de la fonction de répartition de \(X_{1}\), suivant la loi uniforme \(\mathcal{U}([0,a])\).
Déterminer la fonction de répartition \(F_{n}\) de \(V_{n}\).
En déduire que \(V_{n}\) est une variable aléatoire à densité et donner une densité de \(V_{n}\).
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Justifier que \(V_{n}\) admet une espérance et déterminer l’espérance de \(V_{n}\).
L’estimateur \(V_{n}\) est-il sans biais?
Soit \(\varepsilon>0\) et \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Exprimer \(\mathbb{P}(\left|V_{n}-a\right| \geqslant \varepsilon)\) en fonction de \(F_{n}\), de \(a\) et de \(\varepsilon\).
L’estimateur \(V_{n}\) est-il convergent ?
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Pour tout réel \(t\), exprimer \(\mathbb{P}% (n\left(a-V_{n}\right) \leqslant t )\) à l’aide de \(F_{n}\).
En déduire que la suite \(\left(n\left(a-V_{n}\right)\right)_{n \geqslant 1}\) converge en loi vers une variable aléatoire dont on identifiera la loi et son(ses) paramètre(s).
Soit \(\alpha \in \, ]0,1[\). Déterminer à partir de la question précédente un intervalle de confiance asymptotique de niveau de confiance \(% 1-\alpha\) pour le paramètre \(a\), construit à l’aide de \(V_{n}\).
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\).
Montrer que \(V_{n}^2\) admet une espérance, que l’on déterminera.
Calculer la variance de \(V_{n}\).
Quel résultat précédemment établi cela permet-il de retrouver?
Pour un entier \(n\geqslant 1\), on note \(\overline{X}_{n}\) la moyenne empirique de l’échantillon \(\left( X_{1},\ldots ,X_{n}\right)\), c’est-à-dire : \[\overline{X}_{n}=\frac{X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}\] On note \(M_{n}=2\overline{X}_{n}\), appelé estimateur de \(a\) par la méthode des moments.
Écrire une fonction d’en-tête
def simM(n,a) qui, prenant en entrée un entier
naturel non nul \(n\) et le réel \(a>0\), renvoie une réalisation de la
variable aléatoire \(M_{n}\).
Déterminer l’espérance et la variance de \(\overline{X}_{n}\). En déduire que \(M_{n}\) est un estimateur sans biais.
Déterminer la variance de \(M_{n}\). Cet estimateur est-il convergent?
Justifier que la suite \(\left( \sqrt{n}\left( M_{n}-a\right) \right) _{n\geqslant 1}\) converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi et le(s) paramètre(s).
Soit \(\alpha \in \left]0,1 \right[\). Déduire de la question précédente un intervalle de confiance asymptotique de niveau de confiance \(1-\alpha\) pour le paramètre \(a\), construit sur \(M_{n}\).
Quel intervalle de confiance vous semble meilleur entre ce dernier et celui déterminé à la question 6 ?
Comparer \(\mathbb{E}( (M_{n}-a)^2)\) et \(\mathbb{E}((V_n-a)^2)\).
Commenter ce résultat à l’aide de la figure 3 ci dessous:
FIGURE 3 – Cinq évolutions de \((V_1,V_2,\dots,V_{100})\) (à gauche) et de \((M_1,M_2,\dots,M_{100})\) (à droite) pour \(a=1\)
Dans les parties précédentes, nous avons montré que \(\left( V_{n}\right)\) convergeait « plus vite » vers \(a\) que \(\left( M_{n}\right)\). Nous allons maintenant étudier la sensibilité de ces estimateurs à une perturbation, en supposant que la première mesure \(\left( X_{1}\right)\) est erronée.
Nous supposons donc toujours que les variables aléatoires \(X_{i}\) sont mutuellement indépendantes, mais nous supposons maintenant que :
\(X_{1}\) suit la loi uniforme sur \([0,2a]\) ;
si \(i\geqslant 2\), \(X_{i}\) suit la loi uniforme sur \([0,a]\) (comme précédemment).
On considère toujours, pour tout entier \(n\geqslant 1\) : \[V_{n}=\max \left( X_{1},\ldots ,X_{n}\right) \quad \text{et} \quad M_{n}=2\overline{X}_{n}=\frac{2}{n}\left( X_{1}+\cdots +X_{n}\right)\]
Soit \(n\in \mathbb{N}^{\ast }\). Pour tout réel \(t\) de \(\left] a,2a% \right]\), montrer que : \(\mathbb{P}( V_{n}\leqslant t ) =\frac{t}{% 2a}\).
Pour \(n\in \mathbb{N}^{\ast }\), déterminer la fonction de répartition de \(V_{n}\).
La suite de variables aléatoires \(\left( V_{n}\right) _{n\geqslant 1}\) converge-t-elle en loi?
Calculer \(\mathbb{P}\! \left( V_{n}>\frac{3}{2} \, a \right)\).
L’estimateur \(V_{n}\) est-il toujours convergent?
On pose pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(% 2\) : \(M_{n}^{\prime }=\dfrac{2}{n-1}\left( X_{2}+\cdots +X_{n}\right)\).
On rappelle que la suite \(\left( M_{n}^{\prime }\right) _{n\geqslant 2}\) converge en probabilité vers \(a\).
Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2, exprimer \(M_{n}\) en fonction de \(X_{1},M_{n}^{\prime }\) et \(n.\)
En déduire que pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 : \[\left\vert M_{n}-a\right\vert \leqslant \frac{3a}{n}+\left\vert M_{n}^{\prime }-a\right\vert\]
Soit \(\varepsilon >0\) et soit \(n_{0}\) un entier naturel supérieur ou égal à 2 tel que \(\frac{3a}{n_{0}}<\varepsilon\).
Pour tout entier \(n\) vérifiant \(n\geqslant n_{0}\), comparer les événements \(% \left[ \vphantom{\sum}\left\vert M_{n}^{\prime }-a\right\vert <\varepsilon % \right]\) et \(\left[ \vphantom{\sum}\left\vert M_{n}-a\right\vert <2\varepsilon \right]\).
La suite de variables aléatoires \(\left( M_{n}\right) _{n\geqslant 2}\) converge-t-elle en probabilité vers \(a\) ?
Commenter les résultats de cette partie à partir des parties précé dentes.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
