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Soit \(E = \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels.
On note \(\mathrm{I}_3\) la matrice identité de \(E\) et \(\mathrm{O}_3\) la matrice nulle de \(E\).
Soit \(\mathcal{A}\) l’ensemble des matrices \(M\) de \(E\) vérifiant l’égalité : \[M \left( M + \mathrm{I}_3 \right) (M + 2 \mathrm{I}_3) = \mathrm{O}_3\]
Déterminer l’ensemble des réels \(\alpha\) tels que : \(\alpha \, \mathrm{I}_3 \in \mathcal{A}\).
L’ensemble \(\mathcal{A}\) est-il un sous-espace vectoriel de \(E\) ?
On note \(B = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\ 1 & -3 & 1\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\).
On pose \(X_1 = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\) et \(X_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\). Calculer \(BX_1\) et \(B X_2\).
En déduire deux valeurs propres de \(B\).
Déterminer une base de chacun des sous-espaces propres associés.
Démontrer que \(B\) est diagonalisable et expliciter une matrice \(D\) diagonale et une matrice \(P\) inversible telles que : \(B = PDP^{-1}\).
Démontrer que \(D \in \mathcal{A}\), puis que \(B \in \mathcal{A}\).
Plus généralement, on suppose que \(M\) est une matrice de \(E\) diagonalisable dont le spectre est inclus dans \(\{0,-1,-2\}\). Démontrer : \(M \in \mathcal{A}\).
Soit \(M\) une matrice appartenant à \(\mathcal{A}\). On note \(\mathrm{Sp}(M)\) le spectre de \(M\).
Déterminer un polynôme annulateur de \(M\) et démontrer que le spectre de \(M\) est inclus dans \(\{0,-1,-2\}\).
On suppose dans cette question que \(M\) admet \(0\), \(-1\) et \(-2\) comme valeurs propres.
Justifier que \(M\) est
diagonalisable.
On suppose dans cette question que \(-1\) est l’unique valeur propre de \(M\).
Justifier que \(M\) et \(M+2 \, \mathrm{I}_3\) sont inversibles, puis démontrer : \(M = -\mathrm{I}_3\).
Que peut-on dire de \(M\) si \(\mathrm{Sp}(M) = \{-2\}\) ? Si \(\mathrm{Sp}(M) = \{0\}\) ?
On suppose dans cette question que \(M\) n’admet aucune valeur propre.
Justifier que les matrices \(M\), \(M+\mathrm{I}_3\) et \(M+2 \, \mathrm{I}_3\) sont inversibles. Aboutir à une contradiction.
Dans cette question, on suppose que \(M\) admet exactement deux valeurs propres distinctes.
On traite ici le cas où \(\mathrm{Sp}(M) = \{-1,-2\}\) (et on admet que dans les autres situations, le résultat serait similaire).
On veut démontrer par l’absurde que la matrice \(M\) est diagonalisable ; on suppose donc que \(M\) ne l’est pas.
Montrer que : \[(M+\mathrm{I}_3)(M+2\,\mathrm{I}_3) = (M+2\,\mathrm{I}_3) (M+\mathrm{I}_3) = \mathrm{O}_3\]
En utilisant le fait que \(M\) n’est pas diagonalisable, déterminer la dimension de ses sous-espaces propres.
Soit \(U\) un vecteur propre de \(M\) associé à la valeur propre \(-1\) et \(V\) un vecteur propre de \(M\) associé à la valeur propre \(-2\).
Justifier que \((U,V)\) forme une famille libre dans \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\).
Soit \(W\) un vecteur de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) n’appartenant pas à \(\mathrm{Vect}(U,V)\). Montrer que la famille \((U,V,W)\) est une base de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\).
En utilisant le fait que \((M+\mathrm{I}_3) \left( M+2\,\mathrm{I}_3 \right) W=0\) et \((M+2\,\mathrm{I}_3)\left( M+\mathrm{I}_3 \right) W= 0\), montrer qu’il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que : \[MW+2W = \alpha \, U \qquad \text{et} \qquad MW+W = \beta \, V\] En déduire que \(W\) est une combinaison linéaire de \(U\) et \(V\), et aboutir à une contradiction.
Montrer alors que pour tout matrice \(M\) de \(E\) : \[M \in \mathcal{A} \Longleftrightarrow \text{$M$ est diagonalisable et $\mathrm{Sp}(M) \subset \{0, -1, -2\}$}\]
Soit \(f\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}_+^\ast\). On dit que l’intégrale \(\displaystyle \int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t\) est convergente si la fonction \(y\mapsto \displaystyle \int_y^1 f(t)\,\mathrm{d}t\) admet une limite finie en \(0\). Le cas échéant, on note : \[\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t= \lim_{y\to 0} \int_y^1 f(t)\,\mathrm{d}t\]
On dira que l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t\) est convergente si les intégrales \(\displaystyle \int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t\) et \(\displaystyle \int_1^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t\) sont convergentes, et on note dans ce cas : \[\int_0^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t= \int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t+ \int_1^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t\]
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\), on pose, si ces intégrales convergent : \[I_n = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\ln(t)}{1+t^n} \,\mathrm{d}t, \qquad J_n = \int_{0}^1 \dfrac{\ln(t)}{1+t^n} \,\mathrm{d}t\qquad \text{et} \qquad K_n = \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\ln(t)}{1+t^n} \,\mathrm{d}t\]
Dans cette partie, on fixe un entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\).
Démontrer que : \(\dfrac{\ln(t)}{1+t^n} \;\underset{t\to 0}{\sim}\; \ln(t)\).
Montrer que : \[\forall y \in \left] 0, 1 \right],\ \displaystyle \int_{y}^{1} \ln(t) \,\mathrm{d}t= -1 + y - y \, \ln(y)\]
En déduire que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^1 \ln(t) \,\mathrm{d}t\) est convergente et préciser sa valeur.
On considère la fonction \(F\) définie sur \(]0,1]\) par : \[\forall y \in \left] 0,1 \right],\ F(y) = \int_y^1 \frac{\ln(t)}{1+t^n}\,\mathrm{d}t\]
Montrer que \(F\) est croissante sur \(]0,1]\).
Démontrer que : \[\forall y \in \left] 0,1 \right],\ \int_y^1 \ln(t) \,\mathrm{d}t\leqslant F(y) \leqslant 0\] Pour la suite, on admettra que : \[\forall y \in \left] 0,1 \right],\ \int_0^1 \ln(t) \,\mathrm{d}t\leqslant \int_y^1 \ln(t) \,\mathrm{d}t\]
En déduire que \(F\) admet une limite finie en \(0\). Ainsi l’intégrale \(J_n\) est convergente.
Calculer \(\lim\limits_{t \to +\infty} \left[ t^{\frac{3}{2}} \, \dfrac{\ln(t)}{1 + t^n} \right]\).
En déduire la nature de l’intégrale définissant \(K_n\).
Quelle est la nature de l’intégrale définissant \(I_n\) ?
Dans cette partie, on s’intéresse à la limite de \(I_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Démontrer que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\), on a : \[\forall t \in \left] 0 , 1 \right], \ 0 \leqslant \dfrac{\ln(t)}{1+t^n} - \ln(t) \leqslant -t^n \, \ln(t)\]
À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\), l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^1 -t^n \ln(t) \,\mathrm{d}t\) converge et vaut \(\dfrac{1}{(n+1)^2}\).
En appliquant la croissance de l’intégration sur \([y,1]\) avec \(y \in \left]0,1 \right]\) puis en faisant tendre \(y\) vers \(0\), en déduire un encadrement de \(J_n\).
En déduire que : \(\lim\limits_{n \to +\infty} J_n = -1\).
Démontrer que pour tout réel \(x\) supérieur ou égal à \(1\) : \(0 \leqslant \ln(x) \leqslant x\).
En déduire que, pour tout réel \(x\) supérieur ou égal à \(1\) et pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(3\) : \[0 \leqslant \dfrac{\ln(x)}{1+x^n} \leqslant \dfrac{1}{x^{n-1}}\]
En déduire que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(3\) : \(0 \leqslant K_n \leqslant \dfrac{1}{n-2}\).
Déterminer \(\lim\limits_{n \to +\infty} K_n\).
L’objectif de cette partie est d’obtenir une valeur approchée de
l’intégrale \(J_n\) à l’aide de
Python. On suppose que les premières lignes
d’un programme sont les suivantes :
Soient \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et \(y\) un réel de \(]0,1]\).
À l’aide du changement de variable \(u = -\ln(t)\), démontrer : \[\int_{y}^{1} \dfrac{\ln(t)}{1+t^n} \,\mathrm{d}t= \int_{0}^{-\ln(y)} \dfrac{-u}{1 + \mathrm{e}^{-nu}} \, \mathrm{e}^{-u} \,\mathrm{d}u\]
Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\), suivant la loi exponentielle de paramètre \(1\).
Donner une densité de \(X\).
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\), on pose : \[Y_n = \dfrac{-X}{1 + \mathrm{e}^{-n X}}\]
Démontrer que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\), \(Y_n\) admet une espérance, et que : \[\mathbb{E}(Y_n) = J_n\]
On rappelle qu’en langage Python,
l’instruction rd.exponential(1) renvoie une
réalisation d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de
paramètre \(1\).
Recopier et compléter la fonction ci-dessous qui prend en argument deux entiers \(n\) et \(m\), et qui renvoie une matrice à une ligne et \(m\) colonnes dont chaque coefficient est une simulation de la variable aléatoire \(Y_n\) :
Énoncer la loi faible des grands nombres.
On tape dans Python le script suivant
:
Expliquer ce que fait ce script dans le contexte de l’exercice.
On lance indéfiniment une pièce équilibrée.
On s’intéresse au rang du lancer auquel on obtient pour la première fois deux « Pile » consécutifs.
On modélise cette expérience aléatoire par un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\). On note alors \(X\) la variable aléatoire égale au rang du lancer où, pour la première fois, on obtient deux « Pile » consécutifs. Si on n’obtient jamais deux « Pile » consécutifs, on conviendra que \(X\) vaut \(-1\).
Par exemple, si on obtient dans cet ordre : Pile, Face, Face, Pile, Pile, Pile, Face, …alors \(X\) prend la valeur \(5\).
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(1\), on pose les événements suivants :
\(F_n\) : « Obtenir Face au \(n^{\grave{e}me}\) lancer ».
\(P_n\) : « Obtenir Pile au \(n^{\grave{e}me}\) lancer ».
La suite \((P_n)_{n \geqslant 1}\) est donc une suite d’événements mutuellement indépendants.
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal \(2\), on pose les événements suivants :
\(U_n\) : « Au cours des \(n\) premiers lancers, on obtient au moins une fois la succession de deux piles consécutifs ».
\(B_n = P_{n-1} \cap P_n\).
Enfin, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\), on note : \[u_n = \mathbb{P}(U_n) \qquad \text{et} \qquad a_n = \mathbb{P}( {X = n} )\]
Exprimer les événements \([X = 2]\), \([X = 3]\) et \([X = 4]\) à l’aide de certains événements \(P_k\) et \(F_k\).
En déduire les valeurs de \(a_2\), \(a_3\) et \(a_4\).
Montrer que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\) : \(u_n = \sum\limits_{k=2}^{n} a_k\).
On suppose que qu’un programme en langage
Python commence par l’instruction suivante
:
Recopier et compléter la fonction
Python ci-dessous afin qu’elle simule les
lancers de la pièce jusqu’à l’obtention de deux « Pile » consécutifs, et
qu’elle renvoie le nombre de lancers effectués.
Écrire une fonction Python d’en-tête
def moyenne(n) qui simule
n fois l’expérience ci-dessus et renvoie la
moyenne des résultats obtenus.
On calcule moyenne(n) pour chaque
entier n de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,200}
\right]\kern-0.15em\right]\), et on trace les résultats obtenus
dans le graphe suivant.
Que pouvez-vous conjecturer sur la variable aléatoire \(X\) ?
Montrer que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\) : \[\mathbb{P}(U_{n+1}) = \mathbb{P}(U_n) + \mathbb{P}(B_{n+1}) - \mathbb{P}(U_n \cap B_{n+1})\]
Prouver que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(4\) : \[U_n \cap B_{n+1} = (U_{n-2} \cap F_{n-1} \cap P_n \cap P_{n+1}) \, \cup \, (P_{n-1} \cap P_n \cap P_{n+1})\]
En déduire que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(4\) : \[u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{8} \, (1 - u_{n-2})\]
Démontrer que la suite \((u_n)_{n \geqslant 4}\) est croissante, puis qu’elle converge vers \(1\). Dans la suite, on admettra que : \[\mathbb{P}\!\left( \bigcup_{n=2}^{+\infty} U_n \right) = \lim\limits_{n\to+\infty}u_n\]
En déduire que : \[\mathbb{P}( X = -1 ) = 1 - \mathbb{P}\!\left( \bigcup_{n=2}^{+\infty} U_n \right) = 0\]
Dans cette partie, on pose pour tout entier \(n \geqslant 2\) : \[v_n = 1 - u_n \qquad \text{et} \qquad S_n = \sum\limits_{k=2}^{n} k \, \mathbb{P}( {X = k} )\]
Démontrer que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(4\) : \[v_n - v_{n+1} = \dfrac{1}{8} \, v_{n-2}\]
Justifier que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\) : \[\mathbb{P}( X = n+1 ) = v_n - v_{n+1}\]
Démontrer alors par récurrence, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\) : \[S_n = 6 - 8 v_{n+2} - n v_n\]
En déduire que la suite \((S_n)_{n \geqslant 2}\) est croissante et majorée.
Montrer que \(X\) admet une espérance.
Démontrer que la suite \((n v_n)_{n \geqslant 2}\) converge vers un réel \(\lambda\).
Montrer que si \(\lambda\) est non nul, alors la série de terme général \(v_n\) est divergente.
À l’aide de l’égalité démontrée à la question 7, obtenir une contradiction.
Donner alors la valeur de l’espérance de \(X\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
