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On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par : \[u_{0}=0, \quad u_{1}=1 \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ u_{n+1}=7 u_{n}+8 u_{n-1}\]
Recopier et compléter les trois lignes incomplètes du script
Python ci-dessous pour qu’il calcule \(u_{n}\) pour \(n\) entier naturel entré par l’utilisateur
:
Montrer que la suite \(\left(s_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(s_{n}=u_{n+1}+u_{n}\) est une suite géométrique de raison \(8\).
En déduire l’expression de \(s_{n}\) en fonction de \(n\).
On pose pour tout entier naturel \(n\) : \[v_{n}=(-1)^{n} u_{n} \quad \text { ct } \quad t_{n}=v_{n}-v_{n+1}\]
Exprimer \(t_{n}\) en fonction de \(s_{n}\) pour tout entier naturel \(n\).
En déduire que pour tout \(n \geqslant 0,\) on a : \(t_{n}=(-8)^{n}\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Calculer la somme \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}(-8)^{i}\).
Justifier que \(: \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\left(v_{i}-v_{i+1}\right)=-v_{n}\).
En déduire l’expression de \(v_{n}\) en fonction de \(n\), puis vérifier que : \[\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=\frac{(-1)^{n+1}+8^{n}}{9}\]
On considère les matrices carrées d’ordre 3 suivantes : \[M= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \quad \text { et } \quad \mathrm{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Montrer que le polynôme \(Q(X)=X^{2}-7 X-8\) est un polynôme annulateur de \(M\).
En déduire que \(M\) est inversible et exprimer \(M^{-1}\) en fonction de \(M\) et de \(\mathrm{I}\).
On pose : \(a_{0}=0\) et \(b_{0}=1 .\) Vérifier que : \(M^{0}=a_{0} M+b_{0} \, \mathrm{I}\).
Déterminer deux réels \(a_{1}\) ct \(b_{1}\) tels que \(: M^{1}=a_{1} M+b_{1} \, \mathrm{I}\).
Soit \(n \in \mathbb{N} .\) On suppose qu’il existe deux réels \(a_{n}\) et \(b_{n}\) tels que : \(M^{n}=a_{n} M+b_{n} \, \mathrm{I}\). Prouver alors que : \[M^{n+1}=a_{n} \left( 7 M+8 \, \mathrm{I} \right)+b_{n} M\] En déduire deux réels \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) en fonction de \(a_{n}\) et \(b_{n}\) tels que \(M^{n+1}=a_{n+1} M+b_{n+1} \, \mathrm{I}\).
Montrer par récurrence que : \[\forall n \in \mathbb{N}, a_{n}=u_{n}\] où \(\left(u_{n}\right)\) est la suite définie dans la Partie A.
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires pour lesquelles on suppose que la loi du couple \((X, Y)\) est donné par le tableau suivant :
| \diagbox{$X$}{$Y$} | 1 | 2 | 3 |
| 1 | $2 \beta$ | $3 \beta$ | $3 \beta$ |
| 2 | $3 \beta$ | $2 \beta$ | $3 \beta$ |
| 3 | $3 \beta$ | $3 \beta$ | $2 \beta$ |
Déterminer la valeur du réel \(\beta\) pour que ce tableau représente effectivement la loi du couple \((X, Y)\).
Reconnaître les lois marginales de \(X\) et \(Y\). En déduire les espérances \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathbb{E}(Y)\).
Vérifier que la covariance de \(X\) et \(Y\) est donné par : \(\operatorname{Cov}(X, Y)=-\frac{1}{12}\).
Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes?
Justifier que l’équation \(x^{2}+x+1=0\). d’inconnue réelle \(x\), n’admet aucune solution.
On considère alors la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x}{1+x+x^{2}}\]
On note \(\left(\mathcal{C}_{f}\right)\) la courbe représentative de \(f\).
Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de \(f\). On remarquera en particulier que \(f\) est croissante sur l’intervalle \([-1,1]\).
Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \(\left(\mathcal{C}_{f}\right)\) au point d’abscisse \(0\).
Montrer que, pour tout réel \(x\) de \([-1,+\infty[\), on a : \(f(x) \leqslant x\). Donner une interprétation graphique de ce résultat.
Tracer l’allure de \(\left(\mathcal{C}_{f}\right)\) et \((T)\) dans un repère orthonormé. On soignera en particulier la position de \(\left(\mathcal{C}_{f}\right)\) par rapport à \((T)\).
On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par : \[u_{1}=1 \quad \text { et } \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ u_{n+1}=f(u_{n})=\frac{u_{n}}{1+u_{n}+u_{n}^{2}}\]
Vérifier que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ f\! \left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n+1+\frac{1}{n}}\] En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ f \! \left(\frac{1}{n}\right) \leqslant \frac{1}{n+1}\]
Montrer, en raisonnant par récurrence, que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ 0 \leqslant u_{n} \leqslant \frac{1}{n}\]
En déduire la convergence de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) et préciser sa limite.
Recopier et compléter le script du programme
Python suivant, pour qu’il affiche le plus
petit entier naturel non nul \(n\) tel
que \(u_{n} \leqslant 1 / 1000\)
:
On considère la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par : \[v_{1}=-2 \quad \text { et } \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ v_{n+1}=f\left(v_{n}\right)=\frac{v_{n}}{1+v_{n}+v_{n}^{2}}\]
En utilisant la question 3 de la partie A, démontrer par récurrence que : \[\forall n \geqslant 2, \ -1 \leqslant v_{n} \leqslant 0\]
En utilisant la question 4 de la partie A, montrer que la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \geqslant 2}\) est décroissante.
En déduire la convergence de la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\)
À l’aide de Python, on trace les
premiers termes de la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in
\mathbb{N}^{*}},\) et on obtient la figure ci-dessous.
Conjecturer alors la limite de la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).
Résoudre l’équation \(f(x)=-1,\) d’inconnue réelle \(x\).
Montrer par l’absurde que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ v_{n} \neq-1\]
Un bureau de poste dispose de deux guichets. Trois clients notés \(A, B, C\) arrivent en même temps. Les clients \(A\) et \(B\) se font servir tandis que \(C\) attend, puis effectue son opération dès que l’un des deux guichets se libère.
On définit les variables aléatoires \(X, Y, Z\) égales à la durée en minutes de l’opération des clients \(A, B\) et \(C\) respectivement lorsqu’ils sont au guichet.
On fixe \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs, et on suppose que \(X\) suit une loi exponentielle de paramètre \(a\), et que \(Y\) suit une loi exponentielle de paramètre \(b\).
On suppose enfin que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.
Rappeler l’expression de la fonction de répartition \(F\) de \(X\), et donner l’expression d’une densité \(f\) de \(X .\)
Préciser les valeurs de l’espérance et de la variance de \(X\).
On note \(T\) la variable aléatoire égale au temps d’attente en minutes du client \(C\) avant de parvenir à un des guichets.
La variable aléatoire \(T\) prend donc la plus petite des valeurs prises par \(X\) et \(Y\).
Expliquer pour tout réel \(x,\) l’égalité : \([T>x]=[X>x] \cap[Y>x]\).
Déterminer la. probabilité \(\mathbb{P}(T>x)\).
En déduire que pour tout réel \(x\) : \[\mathbb{P}(T \leqslant x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \\ 1- \mathrm{e}^{-(a+b) x} & \text { si } x \geqslant 0 \end{cases}\] Reconnaître la loi de \(T\) et préciser son(ses) paramètre(s).
Calculer la probabilité que le client \(C\) ait à son arrivée à la poste à attendre plus de 5 minutes avant de parvenir au guichet, sachant qu’il sait qu’il attendra déjà au moins 2 minutes.
On rappelle que, pour \(n\) un
entier naturel non nul, et Lambda un réel
strictement, positif, l’instruction
rd.exponential(1/Lambda,n) simule \(n\) fois une variable aléatoire de loi
exponentielle de paramètre lambda et stocke
les \(n\) réalisations ainsi obtenues
dans une matrice.
On considère le code Python suivant :
Compléter le code de la fonction simul
pour qu’elle construise une matrice T
contenant 10000 réalisations de la variable aléatoire \(T\).
Laquelle de ces deux instructions est la plus adaptée pour
représenter graphiquement la répartition des simulations obtenues pour
la variable \(T\) par le code
Python précédent ?
plt.hist(T,bins=np.arange(0,np.max(T)+1),density=True),
plt.bar(T).
Dans toute la suite de l’exercice, on suppose \(a=b=\frac{1}{2},\) et on suppose que la variable aléatoire \(Z\) suit une loi exponentielle, de paramètre \(1,\) la variable aléatoire \(Z\) étant indépondante de \(X\) et \(Y\). On s’intéresse à \(V=T+Z\) qui représente le temps total passé par le client. \(C\) dans la poste, attente et service compris.
On s’intéresse à la fonction Python
suivante :
On lance la fonction simul2 plusieurs fois
de suite, et on obtient les résultats suivants : \[0.4045 \quad 0.4151 \quad 0.4221 \quad 0.4096
\quad 0.4188\]
Que retourne la fonction simul2 ? On
pourra utiliser la définition de la variable aléatoire \(V\).
On constate que les résultats renvoyés sont différents mais relativement proches. Sans démonstration, indiquer quel théorème de probabilité assure ce phénomène.
On admet que \(V\) est encore une variable aléatoire à densité, admettant pour densité la fonction \(g\) définie par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ g(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \\ x \,\mathrm{e}^{-x} & \text { si } x \geqslant 0 \end{cases}\]
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout réel \(A>0\) : \[\int_{0}^{A} g(x) \,\mathrm{d}x=1- \mathrm{e}^{-A}-A \,\mathrm{e}^{-A}\]
Pour tout réel \(A>0\), calculer la valeur de \(\displaystyle \int_{0}^{A} x \, g(x) \,\mathrm{d}x\).
Vérifier que \(g\) est bien une densité de probabilité.
Calculer \(\mathbb{P}(V \leqslant 2)\). En déduire la valeur de \(\mathbb{P}(V>2)\). On donne \(: \mathrm{e}^{-2} \simeq 0,14 .\)
En déduire alors une valeur approchée de \(\mathbb{P}(V>2)\) Le résultat vous
semble-t-il cohérent avec les résultats Python
de la question \(4\) ?
Montrer que \(V\) admet une espérance et donner sa valeur.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
