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On définit la suite des polynômes de Tchebychev \((T_n)_{n\in \mathbb{N}}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ T_0(x) = 1,\quad T_1(x) = x\]
et par la relation : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall x\in\mathbb{R},\ T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)\]
On rappelle que pour tout \((a,b)\in \mathbb{R}^{2}\), on a : \[\cos (a)\cos (b)=\frac{1}{2}\left[ \cos (a+b)+\cos (a-b)\right]\]
Expliciter \(T_{2}\) et \(T_{3}.\)
Déterminer, pour tout \(n\in \mathbb{N}^{\ast }\), le degré de \(T_{n}.\)
Montrer que, pour tout \(n\in \mathbb{N}\), \(\left( T_{0},T_{1},\ldots,T_{n}\right)\) est une base de \(\mathbb{R}_{n}[x]\).
Montrer que, pour tout \(n\in \mathbb{N}\) et tout \(x\in \mathbb{R}\) : \[\cos \! \left( (n+2)x\right) +\cos \! \left( nx\right) =2\cos(x) \cos\! \left( (n+1)x\right)\]
Montrer que, pour tout \(n\in \mathbb{N}\) et \(x\in \mathbb{R}\) : \[T_{n}(\cos x)=\cos (nx)\]
Montrer que pour tout couple \((P,Q)\in (\mathbb{R}[x])^{2}\), l’intégrale \(\displaystyle \int_{-1}^{1}\dfrac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^{2}}} \, \mathrm{d}t\) est convergente.
Montrer que l’application \begin{align*} \mathbb{R}[x] \times \mathbb{R}[x] &\longrightarrow &\mathbb{R} \\ (P,Q) &\longmapsto & \displaystyle \int_{-1}^{1}\dfrac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^{2}}} \, \mathrm{d}t \end{align*} définit un produit scalaire sur \(\mathbb{R}[x]\).
On notera \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) ce produit scalaire et \(\left\| \cdot \right\|\) la norme associée.
Montrer que si \(n\) et \(m\) sont deux entiers naturels distincts, alors \(\displaystyle \int_{0}^{\pi }\cos (nx)\cos (mx) \, dx=0\).
Montrer que si \(n\) et \(m\) sont deux entiers naturels distincts, \(\left \langle T_n, T_m \right \rangle =0.\)
Indication: on pourra procéder au changement de variable \(t=\cos (x)\) après avoir justifié sa validité.
Montrer que: \[\left\| T_n \right\| ^{2}= \begin{cases} \dfrac{\pi }{2} & \text{si }n\geqslant 1 \\ \hfill \pi \hfill & \text{si }n=0 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]
En déduire une base orthonormée de \(\mathbb{R}_{n}[x]\) pour le produit scalaire \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\).
Soit \(n\) un entier non nul. On note \(X^n\) le polynôme associé à \(x\mapsto x^n\) et on définit \(d_{n}\) la distance de \(X^{n}\) à \(\mathbb{R}_{n-1}[x]\) par : \[d_{n} = \inf \left\{ \left\| X^n - P \right\| , \ P\in \mathbb{R}_{n-1}[x] \right\}\]
Justifier que : \[X^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} \left \langle X^n, T_k \right \rangle \dfrac{T_{k}}{\left\| T_k \right\| ^{2}}\]
Montrer alors que : \[d_{n}=\dfrac{ \left| \left \langle X^n, T_n \right \rangle \right| }{\left\| T_n \right\| }\]
Déterminer en particulier la valeur de \(d_{2}\).
Soit \(\left( u_{n}\right) _{n\geqslant 0}\) une suite de réels. Si la série numérique de terme général \(u_{n}\) converge, on dit qu’elle converge à l’ordre 1 et on note alors \(\left( R_{1,n}\right) _{n\geqslant 0}\) la suite des restes de cette série, autrement dit: \[\forall n\in \mathbb{N},\ R_{1,n}=\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty }u_{k}\]
Si à nouveau la série de terme général \(R_{1,n}\) converge, on dit que la série \(\sum\limits_{n\geqslant 0}u_{n}\) converge à l’ordre 2 et on note \(\left(R_{2,n}\right) _{n\geqslant 0}\) la suite des restes de cette série, autrement dit : \[\forall n\in \mathbb{N},\ R_{2,n}=\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty }R_{1,k}\]
Plus généralement, pour tout entier \(p\geqslant 2,\) si la série de terme général \(R_{p-1,n}\) converge, on dit que la série \(\sum\limits_{n\geqslant 0}u_{n}\) converge à l’ordre \(p\) et on note alors \(\left( R_{p,n}\right) _{n\geqslant 0}\) la suite des restes de cette série : \[R_{p,n}=\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty }R_{p-1,k}\]
Enfin on note, pour tout \(n\in \mathbb{N}\) : \(R_{0,n}=u_{n}\)
Le but de cet exercice est d’étudier, sur certains exemples, l’ordre de la convergence de la série de terme général \(u_{n}\).
Soit \(\alpha \in \mathbb{R}.\) On considère, dans cette question uniquement, que pour tout \(n\in \mathbb{N}^{\ast }:u_{n}=\dfrac{1}{n^{\alpha }}\).
Rappeler la condition nécessaire est suffisante sous laquelle \(\sum\limits_{n\geqslant 1}u_{n}\) converge.
On se place désormais sous cette condition.
Pour tout entier \(k\geqslant 2,\) justifier que : \[\displaystyle \int_{k}^{k+1}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}\leqslant \frac{1}{k^{\alpha }}\leqslant \displaystyle \int_{k-1}^{k}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}\]
En déduire que pour tout \(n\geqslant 1\) : \[\frac{1}{\alpha -1}\cdot \frac{1}{(n+1)^{\alpha -1}}\leqslant R_{1,n}\leqslant \frac{1}{\alpha -1}\cdot \frac{1}{n^{\alpha -1}}\]
En déduire que : \[R_{1,n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\sim }\frac{1}{\left( \alpha -1 \right) n^{\alpha-1}}\]
Sous quelle condition nécessaire et suffisante sur \(\alpha\) la série \(\sum\limits_{n\geqslant 1}u_{n}\) converge-t-elle à l’ordre \(2\) ?
Conjecturer à quel ordre la série \(\sum\limits_{n\geqslant 1}u_{n}\) converge.
On considère, dans cette question uniquement, que pour tout \(n\in \mathbb{N}^{\ast }\) : \(u_{n}=\dfrac{1}{n^{n}}.\)
Montrer que la série \(\sum\limits_{n\geqslant 1}u_{n}\) converge.
Montrer que, pour tout \(k\geqslant 3\), \(u_{k}\leqslant \dfrac{1}{3^{k}},\) puis en déduire que, pour tout \(n\geqslant 2:\) \[0\leqslant R_{1,n}\leqslant \frac{1}{2 \cdot 3^{n}}\]
En déduire que la série \(\sum\limits_{n\geqslant 1}u_{n}\) converge à l’ordre 2 , et que, pour tout \(n\geqslant 1\) : \[0\leqslant R_{2,n}\leqslant \frac{1}{4 \cdot 3^{n}}\]
Montrer que, pour tout \(p\geqslant 1\), la série \(\sum\limits_{n\geqslant 1}u_{n}\) converge à l’ordre \(p\) et que pour tout \(n\geqslant 1\) \[0\leqslant R_{p,n}\leqslant \frac{1}{2^{p}\cdot 3^{n}}\]
La série \(\sum\limits_{n\geqslant 1}R_{n,n}\) converge-t-elle ?
On considère, dans cette question uniquement, que pour tout \(n\in \mathbb{N}\) : \(u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n+1}\).
Montrer que: \[\lim_{n\rightarrow +\infty }\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{t^{n}}{1+t} \,\mathrm{d}t=0\]
Soit \(N\in \mathbb{N}\). En remarquant que pour tout \(k\in \mathbb{N}\), \(\dfrac{1}{k+1}=\displaystyle \int_{0}^{1}t^{k} \,\mathrm{d}t,\) montrer que : \[\sum\limits_{n=0}^{N}u_{n}=\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{1+t}-\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{(-t)^{N+1}}{% 1+t} \,\mathrm{d}t\]
En déduire que la série \(\sum\limits_{n\geqslant 0}u_{n}\) converge et que, pour tout \(n\geqslant 0\) : \[R_{1,n}=\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{(-t)^{n+1}}{1+t} \,\mathrm{d}t\]
Montrer par récurrence que, pour tout entier \(p\geqslant 1\), la série \(\sum\limits_{n\geqslant 0}u_{n}\) converge à l’ordre \(p\) et que pour tout \(n\geqslant 0\) : \[R_{p,n}=\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\left( -t\right) ^{n+p}}{(1+t)^{p}} \,\mathrm{d}t\]
On étudie dans ce problème un processus temporel de comptage appelé processus de Poisson. L’objectif de ce problème est d’étudier ce processus en partant de deux définitions différentes, qui se révèleront être équivalentes. Les deux parties de ce problème sont indépendantes.
On considère dans cette partie une suite de variables aléatoires \(\left( X_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}^{\ast }}\), mutuellement indépendantes et identiquement distribuées selon une loi exponentielle de paramètre \(\lambda \in \mathbb{R}_{+}^{\ast }\). Pour tout \(n\in \mathbb{N},\) on note \[S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}X_{k}\] avec la convention \(S_{0}=0\).
Enfin, pour tout \(t\in \mathbb{R}_{+,}^{\ast }\) on note \(N_{t}\) la variable aléatoire égale à la plus grande valeur de \(n\) pour laquelle \(S_{n}\) est inférieure ou égale é \(t,\) c’est-à-dire : \[N_{t}=\sup \left\{ n\in \mathbb{N},S_{n}\leqslant t\right\}\] Par convention, si l’ensemble écrit ci-dessus n’est pas fini, on pose : \(% N_{t}=-1\).
Figure 1 – Exemple de réalisation de \(N_t\), en fonction de \(t\).
Pour tout réel \(t\) strictement positif, montrer que : \(\mathbb{P}(N_{t}=0 ) =\mathrm{e}^{-\lambda t}\).
Montrer qu’une variable aléatoire \(X\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) si et seulement si \(\lambda X\) suit la loi \(\gamma\) de paramètre \(1\).
Pour tout entier \(n\) non nul, en déduire une densité de la variable aléatoire \(\lambda S_{n}\).
Pour tout réel \(t\) strictement positif et pour tout entier naturel \(n\), comparer les événements \(\left[ N_{t}\geqslant n\right]\) et \(\left[ S_{n}\leqslant t\right]\).
En déduire que, pour tout \(n\in \mathbb{N}^{\ast }\) et \(t\in \mathbb{R}_+^\ast\) : \[\mathbb{P}( N_{t}=n ) =\displaystyle \int_{0}^{\lambda t}\frac{u^{n-1}}{(n-1)!} \, \mathrm{e}^{-u} \,\mathrm{d}u-\displaystyle \int_{0}^{\lambda t}\frac{u^{n}}{n!} \,\mathrm{e}^{-u} \, \mathrm{d}u\]
En intégrant par parties une des intégrales ci-dessus, montrer que: \[\forall t\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \forall n\in \mathbb{N}^{\ast }, \ \mathbb{P}( N_{t}=n ) =\frac{(\lambda t)^{n}% }{n!} \, \mathrm{e}^{-\lambda t}\] Quelle est la loi de \(N_{t}?\)
Dans les premières lignes d’un programme Python, on suppose avoir inséré les commandes suivantes :
On rappelle que l’instruction Python
rd.exponential(1/lambda,[n,p]) renvoie une
matrice comportant \(n\) lignes et
\(p\) colonnes dont les coefficients
sont des réalisations de variables aléatoires indépendantes de loi
exponentielle de paramètre lambda.
On rappelle également que l’instruction
plt.plot(x,y) effectue un tracé qui relie les
points de coordonnées \(\left(
x_{1},y_{1}\right) ,\left(
x_{2},y_{2}\right) ,\ldots ,\left( x_{n},y_{n}\right)\) si
x \(=\left[
x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]\) et y
\(=\left[ y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}%
\right]\) sont deux vecteurs de même taille.
Écrire une fonction d’en-tête
def simulation_S(n,lambda) renvoyant une réalisation de la
variable aléatoire \(S_{n}.\)
Écrire une fonction d’en-tête
def simulation_N(t,lambda) renvoyant une réalisation de la
variable aléatoire \(N_{t}\).
Dans la bibliothèque numpy, on dispose
d’une fonction permettant de concaténer deux tableaux. Ainsi, si
x et y sont des
variables contenant des vecteurs unidimensionnels \((x_1,\dots,x_p)\) et \((y_1,\dots,y_q)\), la commande
np.concatenate((x,y),axis=0) renvoie le
vecteur obtenu par concaténation de x et
y, c’est-à-dire le vecteur \((x_1,\dots,x_p,y_1,\dots,y_q)\).
On a commencé à écrire une fonction evolution_S
renvoyant toutes les valeurs \(S_{1},S_{2}\ldots\) tant que \(S_{n}\leqslant t.\) Compléter cette
fonction :
On a commencé à écrire la fonction
Python ci-dessous.
Dans cette fonction, on note \(S=\left[ S_{1}\ldots \ldots S_{n}\right]\) et on souhaite tracer l’é volution de \(N_{t}\) du temps \(0\) au temps \(S_{n}\) de la même manière que sur la figure 1.
Par laquelle des instructions suivantes faut-il compléter la ligne manquante?
plt.plot([S[i-1],S[i]],[1,1])
plt.plot([i,i],[S[i-1],S[i]])
plt.plot([S[i],S[i+1]],[i,i])
plt.plot([S[i-1],S[i]],[i,i])
Un(e) étudiant(e) exécute le script précédent pour \(T=7\) et \(\lambda =1\) et obtient la figure suivante :
Que valent dans ce cas \(N_{3,2}\) et \(N_{5,5}?\)
Donner une valeur approximative de \(S_{2}\) et de \(X_{4}\).
On rappelle que les parties de ce problème sont indépendantes.
Dans cette partie, on définit une famille de variables aléatoires \(\left( N_{t}\right) _{t\in \mathbb{R}_{+}}\) vérifiant les propriétés suivantes :
\(N_{0}=0\) et, pour tout \(t\in \mathbb{R}_{+}\), \(N_{t}(\Omega )\subset \mathbb{N}\) ;
pour tout \(t>0,\ 0 < \mathbb{P}\left( N_{t}=0\right) <1\) ;
pour tous réels \(h\geqslant 0\) et \(t\geqslant 0,\) la variable aléatoire \(N_{t+h}-N_{t}\) est indépendante de la variable aléatoire \(N_{t}\ ;\) de plus, \(N_{t+h}-N_{t}\) et \(N_{h}\) ont la même loi ;
\(\mathbb{P}( N_{h}\geqslant 2 ) = \circ(h)\) lorsque \(h\) tend vers \(0\) par valeurs positives.
Enfin, pour tout \(n\in \mathbb{N}\) et tout \(t\in \mathbb{R}_{+},\) on note : \[p_{n}(t)= \mathbb{P}( N_{t}=n )\]
Propriétés élémentaires.
Que vaut \(p_{0}(0)\) ?
Montrer que le processus est croissant, c’est-à-dire que, pour tout \(% (t,h) \in( \mathbb{R}_{+})^2\) : \[N_{t+h} \geqslant N_{t}\]
Détermination de \(p_{0}\).
En écrivant \(N_{t+h}=N_{t}+\left( N_{t+h}-N_{t}\right) ,\) montrer que, pour tout \(% (t,h) \in( \mathbb{R}_{+})^2\) : \[p_{0}(t+h)=p_{0}(t) \, p_{0}(h)\]
En déduire que la fonction \(p_{0}\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}_{+}\).
Montrer que, pour tous \(n\in \mathbb{N}\) et \(s\in \mathbb{R}_{+}\) : \[p_{0}(ns)=\left( p_{0}(s)\right) ^{n}\]
En déduire que, pour tous \(m\in \mathbb{N}\) et \(n\in \mathbb{N}^{\ast }\) : \[p_{0} \! \left( \frac{m}{n}\right) =\left( p_{0}(1)\right) ^{m/n}\] On pourra poser \(s=\dfrac{m}{n}\) et utiliser le début de la question.
Soit \(t\in \mathbb{R}_{+}^{\ast }.\) On admet qu’il existe deux suites \(% \left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}},\left( v_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) de nombres rationnels telles que : \[\forall n\in \mathbb{N},~u_{n}\leqslant t\leqslant v_{n} \quad \text{et} \quad \lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=t\]
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}_{+}^{\ast }\) tel que \(p_{0}(1)=\mathrm{e}^{-\lambda }.\) Montrer que : \[p_{0}(t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}\]
Loi de \(N_{t}\). Dans la suite, \(n\in \mathbb{N}^{\ast }\), \(t\in \mathbb{R}_{+}\) et \(h\in \mathbb{R}_{+}^{\ast }\).
Donner le développement limité à l’ordre \(1\) de \(p_{0}(h)\) lorsque \(h\) tend vers \(0\).
Après avoir justifié que \(\left( \left[ N_{h}=0\right] ,\left[ N_{h}=1 \right] ,\left[ N_{h}\geqslant 2\right] \right)\) est un système complet d’événements, montrer que : \[p_1(h)\underset{h\to 0}{=} \lambda h+ \circ(h)\]
En écrivant \(N_{t+h}=N_{h}+\left( N_{t+h}-N_{h}\right)\) et en utilisant le système complet d’événements introduit précédemment, montrer que \[p_{n}(t+h)\underset{h\rightarrow 0}{=}% p_{0}(h) \, p_{n}(t)+p_{1}(h) \, p_{n-1}(t)+ \circ(h)\]
Déduire de cette dernière égalité que, \[\frac{p_{n}(t+h)-p_{n}(t)}{h}\underset{h\rightarrow 0}{=}\lambda \left[ p_{n-1}(t)-p_{n}(t)\right] + \circ(1)\] En déduire que \(p_{n}\) est dérivable en \(t\) et donner l’expression de \(% p_{n}^{\prime }(t)\).
Pour tous \(n\) de \(\mathbb{N}\) et \(t\) de \(\mathbb{R}_{+},\) on pose \(% q_{n}(t)=\mathrm{e}^{\lambda t}p_{n}(t).\)
Justifier la dérivabilité de \(q_{n},\) puis montrer que : \[\forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\ \forall t\in \mathbb{R}_{+}, \ q_{n}^{\prime }(t)=\lambda q_{n-1}(t)\]
Montrer par récurrence que: \[\forall n\in \mathbb{N},\ \forall t\in \mathbb{R}_{+}, \ q_{n}(t)=\frac{(\lambda t)^{n}}{n!}\]
Quelle est la loi de \(N_{t}\) ?
Pour tout \(n\in \mathbb{N},\) on note \(S_{n}\) le premier instant \(t\) où \(N_{t}\) prend une valeur supérieure ou égale à \(n\), c’est-à-dire : \[S_{n}=\inf \left\{ t\in \mathbb{R}_{+},\ N_{t} \geqslant n\right\}\]
Que vaut \(S_{0}\) ? On le justifiera en revenant précisément à la définition donnée.
Soit \(t\in \mathbb{R}_{+}\). Exprimer l’événement \(\left[ S_{1}>t\right]\) en fonction de \(N_{t}\).
En déduire que, pour tout \(t\in \mathbb{R}_{+}\) : \[\mathbb{P}( S_{1}\leqslant t ) =1-\mathrm{e}^{-\lambda t}\]
Reconnaître la loi de \(S_{1}\).
Montrer que: \[\forall t\in \mathbb{R}_{+},\ N_{t}=\sup \left\{ n\in \mathbb{N}\mid S_{n}\leqslant t\right\}\]
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
