ECRICOME 2019ECT

Exercice 1

Partie A

Soit \(A\) et \(P\) les matrices carrées d’ordre 3 définies par : \[A=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 2&2&0\\0&1&3 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad P=\begin{pmatrix}1&0&0\\ -2&-1&0\\1&1&1 \end{pmatrix}\]

1. On considère les matrices : \(U=\begin{pmatrix}1\\ -2\\1 \end{pmatrix}, V=\begin{pmatrix}0\\ -1\\1 \end{pmatrix} , W=\begin{pmatrix}0\\ 0\\1 \end{pmatrix} .\)
   Vérifier que \(U,V\) et \(W\) sont des vecteurs propres de \(A\) et leurs valeurs propres associées.

2. Calculer \(P^2.\) En déduire que la matrice \(P\) est inversible et déterminer \(P^{-1}.\)

3. 1. Déterminer la matrice \(D\) telle que \(D=P^{-1}AP.\)

   2. Montrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel \(n,\) on a : \(A^n=PD^nP.\)

   3. En déduire que, pour tout nombre entier naturel \(n,\) : \[A^n = \begin{pmatrix}1&0&0\\ 2^{n+1}-2&2^n&0\\3^n-2^{n+1}+1&3^n-2^n&3^n \end{pmatrix}\]

Partie B

Une entreprise de restauration collective propose trois formules de repas à \(n\) clients, où \(n\) est un entier naturel non nul.

Chacun des clients choisit exactement une de ces trois formules au hasard et de façcon équiprobable puis envoie un bon de commande à l’entreprise. L’entreprise réceptionne alors pour chacun de ses \(n\) clients son bon de commande et lui livre la formule choisie.

On suppose que les choix de formule des clients sont mutuellement indépendants.

Pour tout entier naturel \(k\) tel que \(1\leqslant k\leqslant n,\) on note :

• \(A_k\) l’événement : « après réception du \(k^{\text{\it ième}}\) bon, une seule formule a été choisie » ;

• \(B_k\) l’événement : « après réception du \(k^{\text{\it ième}}\) bon, exactement deux formules ont été choisies » ;

• \(C_k\) l’événement : « après réception du \(k^{\text{\it ième}}\) bon, les trois formules ont été choisies » .

Enfin, on pose pour tout entier \(k\) tel que \(1\leqslant k\leqslant n\) : \(a_k=\mathbb{P}(A_k), b_k=\mathbb{P}(B_k)\) et \(c_k=\mathbb{P}(C_k).\)

Le tableau ci-dessus donne un exemple de choix de formule pour les cinq premiers bons reçcus :

4. 1. Préciser les nombres \(a_1, b_1\) et \(c_1.\)

      On ne demande pas de justification dans cette question.

   2. Justifier les égalités : \(\displaystyle a_2=\frac13, b_2=\frac23, c_2=0.\)

   3. Pour tout entier naturel \(k\) non nul, donner les valeurs de \(\mathbb{P}_{A_k}(A_{k+1}), \mathbb{P}_{B_k}(A_{k+1}), \mathbb{P}_{C_k}(A_{k+1}),\) \(\mathbb{P}_{A_k}(B_{k+1}), \mathbb{P}_{B_k}(B_{k+1}), \mathbb{P}_{C_k}(B_{k+1}), \mathbb{P}_{C_k}(A_{k+1}), \mathbb{P}_{C_k}(B_{k+1}) , \mathbb{P}_{C_k}(C_{k+1}).\)

5. 1. On considère la matrice \(M\) telle que \(M=\dfrac13 \, A,\) où \(A\) est la matrice définie dans la partie A.

      En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que pour tout entier \(k\) compris entre \(1\) et \(n-1\) : \[\begin{pmatrix}a_{k+1}\\b_{k+1}\\c_{k+1} \end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}a_{k}\\b_{k}\\c_{k} \end{pmatrix}\]

   2. En déduire que pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\\c_{n} \end{pmatrix}=M^{n-1}\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1} \end{pmatrix}.\)

6. 1. Justifier, pour tout entier naturel \(n\) non nul, les égalités : \(\begin{cases} \displaystyle a_n=\frac{1}{3^{n-1}}\\ \displaystyle b_n=\frac{2^n-2}{3^{n-1}} \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \displaystyle c_n=1-\frac{2^n-1}{3^{n-1}} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\).

   2. Déterminer les limites \(\lim\limits_{n\to +\infty} a_n, \lim\limits_{n\to +\infty} b_n\) et \(\lim\limits_{n\to +\infty} c_n.\)

      Ces résultats étaient-ils prévisibles ?

   3. On considère le script Python suivant :

      Après exécution, on obtient l’affichage suivant : \[\text{{\tt 11}}\] Interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé.

Exercice 2

Soit \(g\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \(]0;+\infty[\) par : \[g(x)=2x-1+\ln \! \left(\frac{x}{x+1}\right)\] On note \(({\cal C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. 1. Calculer la limite de \(g\) en 0 et interpréter graphiquement le résultat.

   2. Montrer que : \(\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\ln \! \left(\frac{x}{x+1}\right)=0.\) En déduire la limite de \(g\) en \(+\infty.\)

2. Étudier le sens de variation de \(g\) sur \(]0,+\infty[\) et dresser son tableau de variation.

3. 1. Démontrer que la courbe \(({\cal C})\) admet une asymptote oblique \((D)\) dont on précisera une équation.

   2. Étudier la position de \(({\cal C})\) par rapport à \((D).\)

4. 1. Démontrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l’intervalle \(]0,+\infty[.\)

   2. Recopier et compléter l’algorithme de dichotomie ci-dessous écrit à l’aide de Python afin qu’il affiche un encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près lorsque \(a\) et \(b\) sont choisis tels que \(\alpha \in [a,b].\)

5. Le programme Python ci-dessus affiche 0.88 comme résultat.

   Dans un repère orthonormé, placer le réel \(\alpha\) sur l’axe des abscisses, tracer la courbe \(({\cal C})\) et la droite \((D).\)

6. 1. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : \[\int_1^2\Big(\left(2x-1\right)-g(x)\Big)\,\mathrm{d}x= 2\ln(3)-3\ln(2)+\int_1^2\frac{1}{x+1}\,\mathrm{d}x\] et en déduire que : \[\int_1^2\Big(\left(2x-1\right)-g(x)\Big)\,\mathrm{d}x= 3\ln(3)-4\ln(2)\]

   2. Interpréter graphiquement le résultat.

7. 1. On considère la suite \((u_n)_{n\geqslant 1}\) définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par : \[u_n=(2n-1)-g(n)\] Le script Python ci-dessous construit un vecteur ligne u contenant les 50 premiers termes de la suite \((u_n)_{n\geqslant 1}.\)

      Dans ce script, g désigne la fonction \(g\) dont le code a été complété à la question 4(b).

      On exécute le script précédent et on obtient le graphique ci-dessous. Sur ce graphique, on a aussi tracé la courbe représentative de la fonction logarithme népérien \(\ln\) en trait plein.

      Interpréter le contenu du vecteur ligne S dans le contexte de l’énoncé. En notant pour tout entier \(n\geqslant 1, S_n=\sum\limits_{k=1}^n u_k,\) que peut-on conjecturer à l’aide du graphique précédent sur la limite de la suite \((S_n)_{n\geqslant 1}\) ?

   2. Déterminer \(\lim\limits_{n\to +\infty}S_n\) par un calcul rigoureux.

Exercice 3

Soit \(a\) un réel strictement positif. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=\begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text{ si } x<a\\ \mathrm{e}^{a-x} & \text{ si } x\geqslant a \end{cases}\]

1. Dans cette question uniquement, on suppose que \(a=2.\)

   On a donc, pour tout réel \(x\) : \(f(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text{ si } x<2\\ \mathrm{e}^{2-x} & \text{ si } x\geqslant 2 \end{cases}\).

   1. La fonction \(f\) est-elle continue sur \(\mathbb{R}\) ?

   2. La fonction \(f\) est-elle dérivable en 2 ?

   3. Étudier le sens de variation de \(f\) sur l’intervalle \([2,+\infty[.\)

   4. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty.\) Interpréter graphiquement votre résultat.

   5. Donner l’allure de \({\cal C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal.

   On revient à présent et jusqu’à la fin de l’exercice au cas général où \(a\) est un réel strictement positif.

2. 1. Justifier la convergence de l’intégrale généralisée \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(t) \,\mathrm{d}t\) et donner sa valeur.

   2. Montrer que \(f\) est une densité de probabilité.

3. On considère dans la suite une variable aléatoire \(X\) de densité \(f.\)

   1. Démontrer que la fonction de répartition de \(X,\) notée \(F_X\), est donnée par : \[F_X(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text{ si } x<a \\1-\mathrm{e}^{a-x} & \text{ si } x\geqslant a \end{cases}\]

   2. Déterminer la médiane de \(X,\) c’est-à-dire la valeur de \(x\) pour la quelle \(\displaystyle F_X(x)=\frac12.\)

   3. Calculer la probabilité \(\mathbb{P}_{[X\geqslant a+1]}(X\geqslant a+2).\)

4. On considère la variable aléatoire \(Y=X-a.\)

   1. Déterminer la fonction de répartition \(F_Y\) de \(Y.\)

   2. En déduire que \(Y\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

   3. Donner l’espérance et la variance de \(Y.\)

      En déduire que \(\mathbb{E}(X)=1+a\) et \(\mathbb{V}(X)=1.\)

5. Soit \(n\) un entier naturel non nul et \(X_1,X_2,...,X_n\) des variables aléatoires mutuellement indépendantes, et de même loi que \(X.\)

   On cherche à estimer le réel \(a\) à l’aide de la variable aléatoire \(\displaystyle S_n=\frac1{n} \sum_{k=1}^n(X_k-1).\)

   On admettra que \(X_1-1,X_2-1,...,X_n-1\) sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes.

   1. Montrer que \(S_n\) est un estimateur de \(a\) et calculer son espérance.

   2. Calculer la variance de \(S_n\) et déterminer sa limite en \({+\infty}\).

   3. On souhaite simuler une réalisation de la variable aléatoire \(S_n\) à l’aide de Python. L’instruction rd.exponential(alpha,n) construit un vecteur ligne contenant \(n\) coefficients donnant chacun une réalisation d’un variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre \(\frac{1}{\text{\tt alpha}}.\)

      Recopier et compléter le code ci-dessous pour qu’il fournisse une réalisation de la variable aléatoire \(S_{50}\) pour une valeur de a entrée par l’utilisateur.