ECRICOME 2019Maths approfondies

Exercice 1

On considère la suite \((I_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par : \[\forall n \in \mathbb{N},\ I_n = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n(t)\,\mathrm{d}t\]

1. 1. Montrer que la suite \((I_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est bien définie.

   2. Calculer \(I_0,I_1\) et \(I_2\).

2. 1. Étudier la monotonie de la suite \((I_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et en déduire que cette suite converge.

   2. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ I_{n+2} = \left( n+1 \right) (I_n - I_{n+2} )\]

   3. En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ I_{2n} = \frac{(2n)!}{(2^n n!)^2} \cdot \frac{\pi}{2} \quad\text{et}\quad I_{2n+1} = \frac{(2^n n!)^2}{(2n+1)!}\]

   4. Compléter la fonction I suivante, qui prend en entrée un entier positif \(n\), afin qu’elle retourne un vecteur y qui contient les \(n+1\) premiers termes de la suite \((I_n)_{n\in\mathbb{N}}\).

3. 1. Rappeler un équivalent simple de \(x\mapsto \cos(x)-1\) et \(u\mapsto \ln(1+u)\) au voisinage de \(0\).

   2. Montrer que : \[n\ln \!\left( \cos(n^{-1/4}) \right) \underset{n\to+\infty}{\sim}-\frac{\sqrt{n}}{2}\]

      En déduire la limite de \(\left( \cos(n^{-1/4}) \right)^n\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\).

   3. Montrer que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\left( \cos(n^{-2/3}) \right)^n = 1\]

4. 1. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \int_0^{n^{-1/4}} \cos^n(t)\,\mathrm{d}t\leqslant n^{-1/4}\]

   2. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \int_{n^{-1/4}}^\frac{\pi}{2} \cos^n(t)\,\mathrm{d}t\leqslant \frac{\pi}{2} \left( \cos(n^{-1/4}) \right)^n\]

   3. En déduire que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}I_n = 0\]

5. 1. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ I_n \geqslant \int_0^{n^{-2/3}} \cos^n(t)\,\mathrm{d}t\geqslant n^{-2/3} \left( \cos(n^{-2/3}) \right)^n\]

      En déduire la nature de la série de terme général \(I_n\).

   2. Écrire une fonction en langage Python qui prend pour entrée un entier naturel \(n\) et renvoie en sortie le terme de rang \(n\) des sommes partielles associées à la série de terme général \(I_n\).

6. 1. Montrer que : \[\forall t \in \left] - \pi,\pi\right[,\ \cos(t) +1 = \frac{2}{1+\tan^2\!\left( \frac{t}{2} \right)}\]

   2. À l’aide du changement de variable \(u=\tan\!\left(\dfrac{t}{2} \right)\), montrer que : \[\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\mathrm{d}t}{1+\cos(t)} = 1\]

   3. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \sum_{k=0}^n (-1)^k I_k = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\mathrm{d}t}{1+\cos(t)} - \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{(-\cos(t))^{n+1}}{1+\cos(t)} \, \mathrm{d}t\]

   4. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \left| \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{(-\cos(t))^{n+1}}{1+\cos(t)} \, \mathrm{d}t \right| \leqslant I_{n+1}\]

   5. En déduire que la série \(\displaystyle\sum_{k\geqslant 0} (-1)^k I_k\) est convergente et déterminer sa somme.

Exercice 2

Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). On dit qu’un vecteur \(X=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\) de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) est symétrique (respectivement antisymétrique) lorsque : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ x_i = x_{n+1-i} \quad (\text{respectivement } x_i = -x_{n+1-i})\]

On note \(F\) l’ensemble des vecteurs symétriques de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) et \(G\) l’ensemble des vecteurs antisymétriques de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\).

On note \((s_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) la matrice définie par : \[\forall (i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ s_{i,j} = \begin{cases} 1 &\text{si } i=n+1-j \\ 0 &\text{si } i\neq n+1-j \end{cases}\]

1. Dans cette question, et uniquement dans cette question, on étudie le cas particulier où \(n=3\). La matrice \(S\) est alors la suivante : \[S= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

   1. Calculer \(S^2\). En déduire les valeurs propres de \(S\).

   2. Déterminer une base de \(F\) et de \(G\) puis vérifier que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces propres de \(S\).

   3. En déduire que : \(F\oplus G = \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\).

2. Dans la suite de cet exercice, on revient au cas général où \(n\) est un entier supérieur ou égal à \(2\).

   1. Expliciter \(S\) et justifier que \(S\) est diagonalisable.

   2. Calculer \(SX\) lorsque \(X=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\).

   3. Pour \(i\) et \(j\) deux entiers de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), expliciter le coefficient en ligne \(i\) et colonne \(j\) de \(S^2\) en fonction des coefficients \(s_{k,\ell}\) de \(S\).

      En déduire que \(S^2\) est la matrice identité d’ordre \(n\).

3. 1. Soit \(X\) un vecteur de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\). Montrer qu’il existe un unique couple \((Y,Z)\) de vecteurs de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) tel que : \[Y \in F,\quad Z\in G \quad\text{et}\quad X=Y+Z\]

   2. Montrer que \(F\) et \(G\) sont les sous-espaces propres de \(S\). Préciser les valeurs propres associées.

4. Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que : \[\forall (i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ a_{i,n+1-j} = a_{n+1-i,j}\]

   On considère une valeur propre \(\lambda\) de \(A\) et \(X\) un vecteur propre associé.

   1. Vérifier que \(AS=SA\).

   2. Montrer que \(SX\) est un vecteur propre de \(A\).

   3. On pose \(Y=X+SX\). Exprimer \(AY\) en fonction de \(Y\) et \(\lambda\).

   4. En déduire que le sous-espace propre \(E_\lambda(A)\) associé à la valeur propre \(\lambda\) de \(A\) contient nécessairement un vecteur symétrique non nul ou un vecteur antisymétrique non nul.

Problème

Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue une succession de tirages d’une boule dans cette urne. Après chaque tirage, on remet la boule tirée dans l’urne, et on rajoute dans l’urne une boule de couleur opposée à celle qui vient d’étre tirée.

On suppose que cette expérience est modélisée par un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

Pour tout \(k\in \mathbb{N}\), on note \(X_{k}\) le nombre de boules blanches pré sentes dans l’urne juste avant le \((k+1)^{\grave{e}me}\) tirage. En particulier, on a \(X_{0}=1\). On admet que pour tout entier \(k\), \(X_{k}\) est une variable aléatoire sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

Partie A

1. Déterminer la loi de \(X_{1}\). Donner son espérance et sa variance.

2. Justifier soigneusement que la loi de \(X_{2}\) est donnée par : \[\mathbb{P}( X_{2}=1 ) =\frac{1}{6},\quad \mathbb{P}( X_{2}=2 ) =\frac{2}{3},\quad \mathbb{P}( % X_{2}=3 ) =\frac{1}{6}\]

3. Soit \(k\in\mathbb{N}\). Préciser l’ensemble \(X_{k}(\Omega )\) des valeurs que peut prendre \(% X_{k}\).

4. Soient \(k\in\mathbb{N}\), \(i\in \mathbb{N}^{\ast }\) et \(j\in X_{k} ( \Omega )\). Déterminer \(\mathbb{P}_{[ X_{k}=j] } ( X_{k+1}=i )\) (on distinguera différents cas selon les valeurs relatives de \(i\) et \(j\)).

5. Déduire de ce qui précède que : \[\forall k\in \mathbb{N},\ \forall i\in \mathbb{N}^{\ast },\ \mathbb{P}% ( X_{k+1}=i ) =\frac{i}{k+2} \, \mathbb{P} ( X_{k}=i ) +\frac{3+k-i}{k+2} \, \mathbb{P} ( X_{k}=i-1 ) \qquad ( \ast )\]

6. À l’aide de la formule \((\ast)\), déterminer la loi de \(X_{3}\).

7. 1. Montrer que, pour tout \(k\in \mathbb{N}\) : \(\mathbb{P}( X_{k}=1 ) =\dfrac{1}{(k+1)!}\).

   2. Déterminer pour tout \(k\in \mathbb{N}\), la valeur de \(\mathbb{P}( % X_{k}=k+1 )\).

   3. Pour tout \(k\in \mathbb{N}\), on pose : \(a_{k}=(k+1)!\times \mathbb{P} ( X_{k}=2 )\)

      Exprimer \(a_{k+1}\) en fonction de \(a_{k}\) et de \(k\).

      Montrer que la suite \(( b_{k}) _{k\geqslant 0}\) définie par : \(% \forall k\in \mathbb{N},b_{k}=a_{k}+k+2\) est géométrique.

      En déduire alors que : \[\forall k\in \mathbb{N},\mathbb{\ P} ( X_{k}=2 ) =% \frac{2^{k+1}-k-2}{(k+1)!}\]

Partie B

8. Que renvoie la fonction Python suivante pour un entier \(k\) non nul ?

   Détailler en particulier le fonctionnement de la ligne 7.

   import numpy.random as rd
   import numpy as np
   def mystere(k):
       n=1
       b=1
       for i in range(1,k+1):
           r=np.floor(rd.random()*(n+b)+1)
           if r>n:
               n=n+1
           else:
               b=b+1
       return b
   

9. Écrire une fonction Python d’en-tête loi_exp(k,N) qui prend en entrée un entier strictement positif \(k\) et un entier \(N\), qui effectue \(N\) simulations de \(k\) tirages successifs dans l’urne et qui retourne un vecteur L contenant une estimation de la loi de \(X_{k}\) (c’est-à-dire que pour chaque \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,k+1} \right]\kern-0.15em\right]\), L[i-1] contient la fréquence d’apparition de l’évé nement \([X_{k}=i]\) au cours des \(N\) simulations).

   On pourra utiliser la fonction mystere.

10. Recopier et compléter la fonction loi_theo suivante, qui prend en entrée un entier strictement positif \(n\), afin qu’elle retourne un vecteur qui contient la loi théorique de \(X_{n}\).

11. Un étudiant nous propose comme loi de \(X_{5}\) le résultat suivant \(:\) \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline k & {\ 1} & {\ 2} & {\ 3} & {\ 4} & {\ 5} & {\ 6} \\ \hline \mathbb{P}( X_{5}=k ) & {\ 0.001368} & {\ 0.079365} & {\ 0.419434} & {\ 0.418999} & {\ 0.079454} & {\ 0.00138} \\ \hline \end{array}%\] A-t-il utilisé loi_exp ou bien loi_theo ?

Partie C

12. 1. À l’aide de la formule \((\ast)\), montrer que : \[\forall k\in \mathbb{N},\ \mathbb{E}(X_{k+1} ) =\frac{k+1}{k+2} \; \mathbb{E}( X_{k} ) +1\]

    2. Déduire de ce qui précède que : \[\forall k\in \mathbb{N},\ \mathbb{E}( X_{k}) =\frac{k+2}{2}\]

    3. Soit \(Y_{k}\) la variable aléatoire égale au nombre de boules noires pré sentes dans l’urne après \(k\) tirages. Justifier que \(X_{k}\) et \(Y_{k}\) ont même espérance, puis retrouver le ré sultat de la question précédente.

       On admettra pour la suite que : \[\forall k\in \mathbb{N}^{\ast }, \ \mathbb{V}( X_{k}) =\frac{k+2}{12}\]

13. 1. Soit \(\alpha >0\). Montrer que : \[\lim_{k\rightarrow +\infty }\mathbb{\ P} \! \left( \left\vert \frac{X_{k}}{k+2}-% \frac{1}{2}\right\vert <\alpha \right) =1\]

    2. Interpréter ce résultat et le justifier intuitivement.

Partie D

Dans cette partie, la fonction polynôme \(x\mapsto P(x)\) sera notée \(P(X)\) et la fonction polynôme \(x\mapsto P(x+1)\) sera notée \(P(X+1)\).

14. Pour tout couple d’entiers \((i,j)\) tels que \(1\leqslant j<i\), on d éfinit l’application \(\varphi _{i,j}\) par . \[\varphi _{i,j}:% \begin{array}{| ccl} {\mathbb{\ R}[x]} & {\longrightarrow } & { \mathbb{\ R}[x]} \\ {P} & { \longmapsto } & {j \, P(X+1)-i \, P(X)}% \end{array}%\]

    1. Montrer que \(\varphi _{i,j}\) est linéaire.

    2. Pour \(P\in \mathbb{R}[x]\), montrer que \(\deg ( \varphi _{i,j}(P)) =\deg (P)\).

    3. En déduire que \(\varphi _{i,j}\) est injective.

    4. Montrer que pour tout polynôme \(P\) dans \(\mathbb{R}[x]\), il existe un polynôme \(Q\) dans \(\mathbb{R}[x]\) tel que \(\varphi _{i,j}(Q)=P\) (pour \(P\) non nul, on pourra s’intéresser à la restriction de \(\varphi _{i,j}\) à \(\mathbb{R}_{n}[x]\) où \(n\) est le degré de \(P\)).

       Ce qui précède montrant que \(\varphi _{i,j}\) est un automorphisme, on dé finit le polynôme \(P_{i,j}\) pour tout couple d’entiers \((i,j)\) tels que \(% 1\leqslant j\leqslant i,\) en posant : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P_{1,1}(x)=1\]

       et, pour \(1\leqslant j<i\) : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P_{i,j}(x)=\varphi_{i,j}^{-1}( Q_{i,j})(x) \quad \text{où } Q_{i,j}(x) = (3+x-i)P_{i-1,j}(x)\] et enfin pour tout entier \(i>1\) : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P_{i,i}(x)=-\sum_{j=1}^{i-1}P_{i,j}(0)\]

15. 1. Vérifier que : \(\forall x\in\mathbb{R},\ P_{2,1}(x)=-x-2\), puis expliciter le polynôme \(P_{2,2}\).

    2. Vérifier que : \(\forall x\in\mathbb{R},\ P_{3,2}(x)=-2x-4\).

       On admettra dans la suite que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P_{3,1}(x)=\frac{1}{2}\, x^{2}+\frac{3}{2} \, x+1% \quad \text{et} \quad P_{3,3}(x)=3\]

16. On considère, pour tout entier \(i\) de \(\mathbb{N}^{\ast }\), la propriété suivante . \[\mathcal{H}_{i}:« \forall k\in \mathbb{N},\ \mathbb{\ P}( X_{k}=i ) =\frac{1}{(k+1)!}\sum_{j=1}^{i}P_{i,j}(k) \, j^{k}»\] On souhaite montrer par récurrence que, pour tout \(i\) de \(\mathbb{N}^{\ast },\ \mathcal{H}_{i}\), est vraie.

    1. Montrer que \(\mathcal{H}_{1}\) est vraie.

    2. Soit \(i>1\). On suppose que \(\mathcal{H}_{i-1}\) est vraie et on pose : \[\forall k\in \mathbb{N}, \ \alpha _{k}=(k+1)! \; \mathbb{P}( % X_{k}=i ) -\sum_{j=1}^{i-1}P_{i,j}(k) \, j^{k}\] En utilisant la formule \((\ast)\) et la relation \(Q_{i,j} =\varphi _{i,j}( P_{i,j})\), montrer que la suite \(( \alpha _{k}) _{k\geqslant 0}\) est géométrique.

       Déterminer \(\alpha _{0}\) et en déduire \(\mathcal{H}_{i}\) que est vraie.

    3. Conclure.

17. 1. En utilisant le résultat de la question 15a, retrouver le. résultat de la question 7c.

    2. Déterminer \(\mathbb{P}( X_{k}=3 )\) pour tout \(k\in \mathbb{N}^{\ast }.\)