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On considère les trois matrices de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) ci dessous : \[M=\begin{pmatrix} 3 & -2 & -5 \\ 5 & -4 & -5 \\ -8 & 8 & 6 \end{pmatrix}, \quad D= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \text { et } I= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
On pose : \[V_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad V_2=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad V_3=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\] Montrer que \(V_1, V_2\) et \(V_3\) sont des vecteurs propres de la matrice \(M\), et préciser les valeurs propres associées.
En déduire une matrice \(P\) telle que \(M P=P D\).
Vérifier que \(X^3+X^2+1\) est un polynôme annulateur de \(P\).
En déduire que \(P\) est inversible et déterminer \(P^{-1}\).
Soit \(X\) une matrice de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\). On pose \(Y=P^{-1} X P\).
Vérifier que : \(Y^2=P^{-1} X^2 P\).
Montrer que \(X\) vérifie l’équation \[X^2-4 X+I=M \tag{$\ast$}\] si et seulement si \(Y\) vérifie \[Y^2-4 Y+I=D \tag{$\ast \ast$}\]
Déterminer la matrice \(Y\) diagonale vérifiant l’équation \((\ast\ast)\) et dont les coefficients diagonaux sont tous inférieurs à 2.
En déduire une matrice \(X\) solution de l’équation \((\ast)\). On explicitera les neuf coefficients de la matrice \(X\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(] 0,+\infty[\) par : \[f(x)=\frac{x}{4}+\frac{1+\ln (x)}{x}\] On appelle \((\mathcal{C})\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.
Soit \(g\) la fonction définie sur \(] 0,+\infty[\) par : \[g(x)=x^2-4 \ln (x)\]
Étudier le sens de variation de \(g\) et vérifier que \(g\) admet un minimum sur \(] 0,+\infty[\), égal à \(2 \left[ 1-\ln (2) \right]\).
En déduire le signe de \(g(x)\) pour tout réel \(x\) de \(] 0,+\infty[\).
Déterminer la limite de \(f\) en \(0\). Interpréter graphiquement le résultat.
Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).
Montrer que la droite \((D)\) d’équation \(y=\frac{x}{4}\) est asymptote à la courbe \((\mathcal{C})\).
Étudier la position relative de \((\mathcal{C})\) et de \((D)\). On montrera en particulier que \((D)\) coupe \((\mathcal{C})\) en un point \(A\) dont on calculera les coordonnées.
Étudier le sens de variation de \(f\). Dresser le tableau de variation de \(f\).
Vérifier que pour tout réel \(x\) de \(] 0,+\infty\left[\right.\), on a : \(f^{\prime \prime}(x)=\frac{2 \ln (x)-1}{x^3}\).
Étudier la convexité de \(f\). La courbe \((\mathcal{C})\) possède-t-elle des points d’inflexion?
On donne : \[\frac{1}{\mathrm{e}} \simeq 0,4 \quad \sqrt{\mathrm{e}} \simeq 1,6 \quad f(\sqrt{\mathrm{e}}) \simeq 1,3 \quad f^{\prime}(\sqrt{\mathrm{e}}) \simeq 0,1 .\] Représenter la courbe \((\mathcal{C})\) et la droite \((D)\) dans un même repère orthonormé.
Déterminer la dérivée de la fonction \(u\) définie sur \(] 0,+\infty[\) par : \[u(x)=\left[ \ln (x) \right]^2\]
En déduire que \(\displaystyle \int_1^\mathrm{e}f(x) \,\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{e}^2+11}{8}\).
Montrer que la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[h(x) =\begin{cases} \displaystyle \frac{8}{\mathrm{e}^2+11} \, f(x) &\text{si } x\in [1,\mathrm{e}] \\ \hfill 0 \hfill &\text{sinon} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\] est une densité de probabilité.
Soit \(X\) une variable aléatoire admettant \(h\) comme densité.
En utilisant une intégration par parties, montrer que : \[\int_1^\mathrm{e}\ln (x) \,\mathrm{d}x=1\]
Montrer enfin que \(X\) admet une espérance et la déterminer.
On considère une urne \(U\) contenant deux boules blanches et une boule noire indiscernables au toucher, ainsi qu’une urne \(V\) contenant une boule blanche et trois boules noires, elles aussi indiscernables au toucher.
On effectue une suite de tirages d’une boule dans ces urnes en procédant comme suit :
le premier tirage a lieu dans l’urne \(U\);
tous les tirages s’effectuent avec remise de la boule piochée dans l’urne dont elle provient;
si l’on pioche une boule blanche lors d’un tirage, le tirage suivant a lieu dans l’autre urne;
si l’on pioche une boule noire lors d’un tirage, le tirage suivant a lieu dans la même urne.
Pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), on note \(U_n\) l’événement « le \(n\)-ième tirage s’effectue dans l’urne \(U\) ».
Puisque le premier tirage a lieu dans l’urne \(U\), l’événement \(U_1\) est certain : \(\mathbb{P}(U_1)=1\).
Calculer \(\mathbb{P}(U_2)\).
Donner les valeurs de \(\mathbb{P}_{U_2}(U_3)\) et de \(\mathbb{P}_{\overline{U_2}}(U_3)\). En déduire \(\mathbb{P}(U_3)\).
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2, que valent \(\mathbb{P}_{U_n}(U_{n+1})\) et \(\mathbb{P}_{\overline{U_n}}(U_{n+1})\) ?
En déduire que pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) : \[\mathbb{P}(U_{n+1})=\frac{1}{4}+\frac{1}{12} \,\mathbb{P}(U_n)\]
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation d’inconnue \(\alpha\) : \[\alpha=\frac{1}{4}+\frac{1}{12} \, \alpha\]
Déterminer alors la valeur de \(\mathbb{P}(U_n)\) en fonction de \(n\).
Calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb{P}(U_n)\).
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on note \(X_n\) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches piochées au cours des \(n\) premiers tirages.
Déterminer la loi de \(X_1\).
Donner les valeurs de: \[\mathbb{P}_{\left[X_1=0\right]}(X_2=0), \quad \mathbb{P}_{\left[X_1=0\right]}(X_2=1), \quad \mathbb{P}_{\left[X_1=1\right]}(X_2=1) \quad \text { et } \quad \mathbb{P}_{\left[X_1=1\right]}(X_2=2)\]
En déduire la loi de \(X_2\).
Vérifier que \(\mathbb{E}(X_2)=\frac{19}{18}\).
On rappelle qu’en Python, l’instruction
rd.randint(1,k+1) renvoie un entier aléatoire
compris entre \(1\) et \(k\). Recopier et compléter les lignes à
pointillés du script Python ci-dessous afin
qu’il simule la variable aléatoire \(X_2\) :
Pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), déterminer \(X_n(\Omega)\).
Pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), calculer \(\mathbb{P}(X_n=0)\).
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Expliquer pourquoi après avoir obtenu au cours des \(n\) premiers tirages un nombre pair de boules blanches, le tirage de la \((n+1)\)-ième boule s’effectuera dans \(U\).
On admettra de même qu’après avoir obtenu au cours des \(n\) premiers tirages un nombre impair de boules blanches, le tirage de la \((n+1)\)-ième boule s’effectuera dans \(V\).
À l’aide de la formule des probabilités totales, démontrer que pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) : \[\mathbb{P}(X_{n+1}=1)=\frac{3}{4} \times \mathbb{P}(X_n=1)+\frac{2}{3} \times \mathbb{P}(X_n=0) \tag{$R_1$}\]
Pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), on pose \(u_n=\left(\frac{4}{3}\right)^n \times \mathbb{P}(X_n=1)\).
Déduire du résultat \(\left(R_1\right)\), que pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) : \[u_{n+1}=u_n+\frac{8}{9} \times\left(\frac{4}{9}\right)^n\]
Montrer par récurrence que pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) : \[u_n=\frac{8}{5}\left(1-\left(\frac{4}{9}\right)^n\right)\]
En déduire, pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), la valeur de \(\mathbb{P}(X_n=1)\) en fonction de \(n\).
Déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb{P}(X_n=1)\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
