ECRICOME 2018Maths approfondies

Exercice 1

On note \(E\) l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{n}\), muni du produit scalaire canonique.

Pour toutes matrices colonnes \(X\) et \(Y\) de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), on note \(\langle X,Y\rangle={}^t\!{X}Y\).

Pour toute matrice colonne \(X\) de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), on note \(\|X\|=\sqrt{{}^t\!{X}X}\).

On considère deux endomorphismes \(u\) et \(v\) de \(E\) et on note \(A\) et \(B\) leurs matrices respectives dans la base canonique de \(E\).

Partie 1

Soit \(a\in\mathbb{R}\). On suppose dans cette partie uniquement que \(n=2\) et que les matrices de \(u\) et \(v\) dans la base canonique sont respectivement : \[A=\dfrac{1}{1+a^{2}} \begin{pmatrix} 1 & a\\ a & a^{2} \end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad B=\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\]

1. Vérifier que \(u\) et \(v\) sont des projecteurs.

2. 1. Vérifier que les endomorphismes \(u\), \(v\) et \(u\circ v\) sont tous de rang \(1\).

   2. Vérifier que le vecteur \(x_{0}=(1,a)\) est un vecteur propre de \(u\circ v\).

   3. Déterminer le spectre de \(u\circ v\).

3. 1. Montrer que les valeurs propres de \(u\circ v\) appartiennent à l’intervalle \([0,1]\).

   2. Pour quelle(s) valeur(s) de \(a\), \(u\circ v\) est-il un projecteur ?

Partie 2

On revient dans cette partie au cas général, où \(n\) désigne un entier tel que \(n\geqslant 2\).

On suppose que \(u\) et \(v\) sont des projecteurs symétriques de \(E\) et on pose : \(C=BAB\).

4. Montrer que pour tout \(X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) : \[\|BX\|^{2}=\langle BX,X\rangle\] En déduire que pour tout \(X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) : \[\|BX\|\leqslant \|X\|\]

5. Montrer que \(C\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).

6. Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(C\) et un \(X\) un vecteur propre associé.

   1. Exprimer \(\|ABX\|^{2}\) en fonction de \(\lambda\) et \(\|X\|\).

   2. En déduire que les valeurs propres de \(C\) sont réelles positives.

7. Soit \(\mu\) une (éventuelle) valeur propre de \(AB\) non nulle, et \(X\) un vecteur propre associé.

   1. Montrer que \(BX\) est un vecteur propre de \(C\).

   2. Montrer : \(ABX=\mu AX\). En déduire que : \(AX=X\).

   3. Montrer que : \(\langle X,BX\rangle=\mu\|X\|^{2}\).

8. Déduire des questions précédentes que le spectre de \(AB\) est inclus dans \([0,1]\).

Exercice 2

On considère la suite \((u_{n})_{n\geqslant 0}\) définie par : \[u_{0}=0,\quad u_{1}=1\quad\text{et}\quad\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\] et on note \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{2}\) par : \[\forall (x,y)\in\mathbb{R}^{2},\ f(x,y)=2x^{3}-6xy+3y^{2}-6y\] On pose enfin \(\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\).

1. Vérifier que \(\varphi>1\) et que les réels \(\varphi\) et \(-\dfrac{1}{\varphi}\) sont les solutions de l’équation \(x^{2}-x-1=0\).

2. 1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\).

   2. Montrer que les seuls points critiques de \(f\) sont \((\varphi,\varphi+1)\) et \(\left(-\dfrac{1}{\varphi},\dfrac{1}{\varphi+1}\right)\).

   3. Étudier la nature des points critiques de \(f\).

3. Montrer que, pour tout entier \(n\in\mathbb{N}\) : \(u_{n}u_{n+2}-u_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}\).

4. 1. Recopier et compléter la fonction Python suivante afin que, prenant en argument un entier \(n\geqslant 2\), elle calcule et renvoie la valeur du terme \(u_{n}\) de la suite \((u_{n}){n\geqslant 0}\).

   2. Justifier qu’il existe des réels \(\lambda\) et \(\mu\), que l’on déterminera, tels que : \[\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n}=\lambda\varphi^{n}+\mu\left(-\dfrac{1}{\varphi}\right)^{n}\]

   3. En déduire que la suite \(\left(\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)_{n\geqslant 1}\) converge et déterminer sa limite

5. On considère pour tout \(n\in\mathbb{N}^{*}\) : \(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{u_{k}u_{k+1}}\).

   1. Montrer, sans chercher à calculer de somme, que la série de terme général \(\dfrac{1}{u_{n}u_{n+1}}\) converge.

   2. En déduire que la suite \((S_{n})_{n\geqslant 1}\) converge.

   3. En utilisant le résultat de la question 3, montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^{*}\) : \[S_{n+1}-S_{n}=\dfrac{u_{n}}{u_{n+1}}-\dfrac{u_{n+1}}{u_{n+2}}\]

   4. Montrer que : \(\varphi=1-\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{k}}{u_{k}u_{k+1}}\).

Problème

Toutes les variables aléatoires dans ce problème sont supposées définies sur un même espace probabilisé noté \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

Partie 1 - Variables vérifiant une relation de Panjer

On dit qu’une variable aléatoire \(N\), à valeurs dans \(\mathbb{N}\) vérifie une relation de Panjer s’il existe un réel \(a<1\) et un réel \(b\) tels que : \[\mathbb{P}(N=0)\ne 1\quad\text{et}\quad \forall k\in\mathbb{N}^{*},\ \mathbb{P}(N=k)=\left(a+\dfrac{b}{k}\right)\mathbb{P}(N=k-1)\]

1. On suppose dans cette question que \(a=0\), et que \(b\) est un réel strictement positif.

   1. Montrer que : \[\forall k\in\mathbb{N},\quad\mathbb{P}(N=k)=\dfrac{b^{k}}{k!} \, \mathbb{P}(N=0)\]

   2. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(N=k)\). En déduire que \(N\) suit une loi de Poisson de paramètre \(b\).

      Préciser son espérance et sa variance.

2. On suppose dans cette question que \(a<0\) et que \(b=-2a\).

   1. Montrer que : \[\forall k\geqslant 2,\ \mathbb{P}(N=k)=0\]

   2. En déduire que \(N\) suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre en fonction de \(a\).

3. On suppose dans cette question que \(Z\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\in\mathbb{N}^{*}\) et \(p\in \left] 0, 1\right[\).

   1. Montrer que : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\quad\mathbb{P}(Z=k)=\dfrac{p}{1-p}\times\dfrac{n-k+1}{k}\times\mathbb{P}(Z=k-1)\]

   2. En déduire que \(Z\) vérifie une relation de Panjer en précisant les valeurs de \(a\) et \(b\) correspondantes, en fonction de \(n\) et \(p\).

4. On revient dans cette question au cas général : \(a\) est un réel vérifiant \(a<1\), \(b\) est un réel, et on suppose que \(N\) est une variable aléatoire, à valeurs dans \(\mathbb{N}\), vérifiant la relation de Panjer.

   1. Calculer \(\mathbb{P}(N=1)\). En déduire que \(a+b\geqslant 0\).

   2. Montrer que pour tout entier \(m\geqslant 1\) : \[\sum_{k=1}^{m}k \, \mathbb{P}(N=k)=a\sum_{k=0}^{m-1} \left( k+1 \right) \mathbb{P}(N=k)+b\sum_{k=0}^{m-1} \mathbb{P}(N=k).\]

   3. En déduire que \(\left((1-a)\displaystyle\sum_{k=1}^{m} k \, \mathbb{P}(N=k)\right)_{m\geqslant 1}\) est majorée, puis que \(N\) admet une espérance.

      Préciser alors la valeur de \(\mathbb{E}(N)\) en fonction de \(a\) et \(b\).

   4. Montrer que \(N\) admet un moment d’ordre \(2\) et que : \[\mathbb{E}(N^{2})=\dfrac{(a+b)(a+b+1)}{(1-a)^{2}}\]

   5. En déduire que \(N\) admet une variance et préciser la valeur de \(\mathbb{V}(N)\) en fonction de \(a\) et \(b\).

   6. Montrer que \(\mathbb{E}(N)=\mathbb{V}(N)\) si, et seulement si, \(N\) suit une loi de Poisson.

Partie 2 - Fonction génératrice

On notera dans la suite : \[\forall k\in\mathbb{N},\ p_{k}=\mathbb{P}(N=k)\] où \(N\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\).

1. Montrer que, pour tout réel \(x\) de l’intervalle \([0,1]\), la série \(\displaystyle\sum_{k\geqslant 0}p_{k}x^{k}\) est convergente.

On appelle alors fonction génératrice de \(N\) la fonction \(G\) définie sur \([0,1]\) par : \[\forall x\in[0,1],\ G(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}p_{k}x^{k}=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(N=k) \, x^{k}\] et on suppose dans cette partie que \(N\) vérifie une relation de Panjer avec \(0<a<1\) et que \(\frac{b}{a}>0\). On pose : \(\alpha=\frac{-(a+b)}{a}\).

On note enfin \(f\) la fonction définie par : \[\forall x\in[0,1],\ f(x)=p_{0} \left( 1-ax \right)^{\alpha}\]

2. Montrer que pour tout \(k\in\mathbb{N}\) : \[\forall x\in[0,1],\ f^{(k)}(x)=k!\times p_{k}(1-ax)^{\alpha-k}\]

3. Soit \(x\in[0,1]\).

   1. Pour tout entier \(n\in\mathbb{N}\), montrer que : \[f(x)=\sum_{k=0}^{n}p_{k}x^{k}+ \left( n+1 \right) p_{n+1}\int_{0}^{x}(1-at)^{\alpha-n-1}(x-t)^{n} \,\mathrm{d}t\]

   2. Vérifier que pour tout \(t\in[0,x]\), \(\dfrac{x-t}{1-at}\leqslant 1\) puis montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \[0\leqslant \int_{0}^{x}(1-at)^{\alpha-n-1}(x-t)^{n} \, \mathrm{d}t\leqslant \int_{0}^{x}(1-at)^{\alpha-1} \,\mathrm{d}t\]

   3. En déduire que : \[G(x)=p_{0} \left(1-ax \right)^{\alpha}\] En calculant \(G(1)\), exprimer \(p_{0}\) en fonction de \(a\), \(b\) et \(\alpha\), et vérifier que \(G'(1)=\mathbb{E}(N)\).

Partie 3 - Formule de récursivité

On considère une suite \((X_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) de variables aléatoires de même loi, à valeurs dans \(\mathbb{N}\), mutuellement indépendantes et indépendantes de la variable \(N\) étudiée dans la question \(4\) de la partie 1.

On considère alors la variable aléatoire \(S\) définie par : \[S=\begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text{si }N=0\\ \displaystyle\sum_{k=1}^{N}X_{k} & \text{si }N\geqslant 1 \end{cases}\] autrement dit : \[\forall\omega\in\Omega,\ S(\omega)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text{si }N(\omega) =0\\ \displaystyle\sum_{k=1}^{N(\omega)} X_{k}(\omega) & \text{sinon} \end{cases}\]

4. Calculer \(\mathbb{P}(S=0)\) lorsque \(a\in \left] 0, 1 \right[\) à l’aide de la partie 2.

5. 1. Calculer \(\mathbb{P}(S=0)\) lorsque \(N\) suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda\).

   2. On considère la fonction Python suivante, où \(n\) est un paramètre dont dépend la loi commune des \(X_{k}\) :

      Quelle loi de probabilité est simulée par la fonction simulX ? Préciser ses paramètres.

   3. On rappelle qu’en langage Python l’instruction rd.poisson(Lambda) renvoie une réalisation d’une loi de Poisson de paramètre \(\lambda\).

      On suppose que \(N\) suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda\), et que la loi des variables \(X_{k}\) est celle simulée à la question précédente par la fonction simulX.

      Recopier et compléter la fonction Python suivante, afin qu’elle renvoie une simulation de la variable aléatoire \(S\) :

6. Dans la suite du problème, on revient au cas général où \(N\) vérifie la relation de Panjer. On note toujours : \[\forall k\geqslant 0,\ p_{k}=\mathbb{P}(N=k)\] et on notera également : \[\forall k\geqslant 0,\ q_{k}=\mathbb{P}(X_{1}=k)\] Enfin, on considère pour tout entier \(n\geqslant 1\), la variable aléatoire \(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}X_{k}\), en convenant qu’on a \(S_{0}=0\).

   1. Soit \(n\in\mathbb{N}\) et \(k\in\mathbb{N}^{*}\). Montrer que : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n+1} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{E}(X_{i} \,\vert \, S_{n+1}=k)=\dfrac{k}{n+1}\] Indication : on pourra considérer la somme \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\mathbb{E}(X_{i} \,\vert \, S_{n+1}=k)\).

   2. Justifier que : \[\forall j\in \left[\kern-0.15em\left[ {0,k} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}_{[S_{n+1}=k]}(X_{n+1}=j) \, \mathbb{P}(S_{n+1}=k)=q_{j}\, \mathbb{P}(S_{n}=k-j).\]

   3. Déduire des deux questions précédentes que : \[\sum_{j=0}^{k}\left(a+\dfrac{bj}{k}\right)q_{j} \, \mathbb{P}(S_{n}=k-j)=\left(a+\dfrac{b}{n+1}\right)\mathbb{P}(S_{n+1}=k)\]

7. Soit \(k\in\mathbb{N}^{*}\).

   1. Montrer que : \[\forall j\in \left[\kern-0.15em\left[ {0,k} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}(S=k-j)=\sum_{n=0}^{+\infty}p_{n} \, \mathbb{P}(S_{n}=k-j).\]

   2. Montrer que : \[\sum_{j=0}^{k}\left(a+\dfrac{bj}{k}\right)q_{j} \, \mathbb{P}(S=k-j)=\sum_{n=0}^{+\infty}p_{n+1} \, \mathbb{P}(S_{n+1}=k)\]

   3. Justifier que : \[\mathbb{P}(S=k)=\sum_{n=0}^{+\infty}p_{n+1} \, \mathbb{P}(S_{n+1}=k)\]

   4. En déduire finalement que : \[\mathbb{P}(S=k)=\dfrac{1}{1-aq_{0}}\sum_{j=1}^{k}\left(a+\dfrac{bj}{k}\right)q_{j} \, \mathbb{P}(S=k-j)\]