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Soit \(A\) la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) donnée par : \[A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\0&3&0\\1&-1&5\end{pmatrix}\]
Calculer \(A^2-7A\).
En déduire que les seuls réels susceptibles d’être valeurs propres de \(A\) sont les réels \(3\) et \(4\).
Trouver alors toutes les valeurs propres de \(A\), et pour chacune d’entre elles, donner une base du sous espace propre associé.
La matrice \(A\) est-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ?
Soit \({\cal B}=(e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice représentative dans la base \({\cal B}\) est la matrice : \[B=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-3&3&-3\\ -1&1&1\end{pmatrix}\]
Déterminer le noyau de \(f\). En déduire une valeur propre de \(B\) et l’espace propre associé.
Déterminer le rang de la matrice \(B-2 \mathrm{I}_3\).
Calculer \(f(e_1-e_2-e_3)\).
Déduire des questions précédentes que la matrice \(B\) est diagonalisable.
Trouver une matrice \(P\) inversible vérifiant toutes les conditions ci-dessous :
La matrice \(D_2=P^{-1} B P\) est égale à \(\begin{pmatrix}3&0&0\\0&0&0\\0&0&2\end{pmatrix}\),
Les coefficients situés sur la première ligne de \(P\) sont \(1\), \(1\) et \(-1\) (de gauche à droite),
La matrice \(D_1=P^{-1}A P\) est également diagonale.
On pose \(X_0=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}\), \(X_1=\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}\) et, pour tout entier naturel \(n\) : \[X_{n+2}=\dfrac16 \, A X_{n+1} +\dfrac16 \, B X_n\]
Soit \((Y_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite matricielle définie par : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ Y_n=P^{-1} X_n\]
Démontrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ Y_{n+2} = \dfrac16 \, D_1 Y_{n+1}+\dfrac16 \, D_2 Y_n\]
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(Y_n=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\\c_n\end{pmatrix}\).
Déduire de la question précédente que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ \begin{cases} a_{n+2}= \dfrac12 \, a_{n+1}+\dfrac12 \, a_n \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ b_{n+2}=\dfrac12\, b_{n+1} \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ c_{n+2}=\dfrac23 \, c_{n+1}+\dfrac13 \, c_n \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Démontrer que \(P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1& 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\), puis calculer les matrices \(Y_0\) et \(Y_1\).
Pour tout entier naturel \(n\), calculer \(a_n\), \(b_n\) et \(c_n\) en fonction de \(n\).
En déduire l’expression de \(X_n\) en fonction de \(n\), pour tout entier naturel \(n\).
On notera \(X_n=\begin{pmatrix}\alpha_n\\\beta_n\\\gamma_n\end{pmatrix}\), et on vérifiera que : \[\beta_n =\left(\dfrac12\right)^{n-1}-\dfrac23 \left(-\dfrac12\right)^{n}-\dfrac43\]
Compléter la fonction ci-dessous qui prend en argument un entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\) et qui renvoie la matrice \(X_n\) :
La fonction précédente a été utilisée dans un script permettant d’obtenir graphiquement (voir figure 1) les valeurs de \(\alpha_n\), \(\beta_n\) et \(\gamma_n\) en fonction de \(n\).
Associer chacune des trois représentations graphiques à chacune des suites \((\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}}\), \((\beta_n)_{n\in \mathbb{N}}\) , \((\gamma_n)_{n\in \mathbb{N}}\) en justifiant votre réponse.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \[u_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac1k - \ln(n) \quad \text{et} \quad v_n=u_n-\dfrac1n\]
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) par : \[f(x)=\dfrac1{x+1}+\ln(x)-\ln(x+1)\]
Déterminer \(\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)\).
Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et dresser son tableau de variations.
Démontrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \ u_{n+1}-u_n=f(n)\]
En déduire la monotonie de la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\).
Écrire une fonction en langage Python,
d’en-tête u(n) qui prend en argument un entier
naturel \(n\) non nul et qui renvoie la
valeur de \(u_n\).
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^*,\ v_{n+1}-v_n=\dfrac1n - \ln \! \left(1+\dfrac1n\right)\]
Montrer que pour tout réel \(x\) positif : \(\ln(1+x) \leqslant x\).
En déduire que la suite \((v_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) est croissante.
Donner le développement limité d’ordre 2 de \(\ln(1+x)\) en \(0\). En déduire que : \[v_{n+1}-v_n \underset{n\to+\infty}{\sim} \frac{1}{2n^2}\]
Déterminer la nature de la série de terme général \(v_{n+1}-v_n\). On note : \[\gamma = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}(v_{n+1}-v_n)\]
Pour \(n \geqslant 2\), simplifier la somme partielle \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (v_{k+1}-v_k)\).
En déduire que la suite \((v_n)_{n \geqslant 2}\) converge vers \(\gamma\).
Déterminer \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n\).
Montrer que : \(\forall n \in \mathbb{N}^*,\ v_n \leqslant \gamma \leqslant u_n\) puis que : \(\forall n \in \mathbb{N}^*,\ |u_n - \gamma| \leqslant \dfrac1n\)
On rappelle que l’instruction
np.floor(x) renvoie la partie entière d’un
réel \(x\) et on suppose que la
fonction u de la question 1e a été
correctement programmée. Expliquer l’intérêt et le fonctionnement du
script ci-dessous :
Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(a_n=\dfrac1{n \left( 2n-1 \right)}\).
Démontrer que la série de terme général \(a_n\) converge.
Justifier que : \[\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*, \ \sum_{k=1}^n \dfrac1{2k-1}=\sum_{k=1}^{2n} \dfrac1k - \sum_{k=1}^n \dfrac1{2k}\]
Déterminer deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que : \(\forall n \in \mathbb{N}^*, \ a_n=\dfrac{\alpha}n +\dfrac{\beta}{2n-1}\).
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \ \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=2 \sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac1k\]
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \displaystyle \sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac1k=u_{2n}-u_n+\ln(2)\]
où \((u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) est la suite définie dans la partie I.
Calculer alors \(\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} a_k\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Dans une fête foraine, un stand propose le jeu suivant : le joueur lance \(n\) fois une pièce et compte le nombre de Pile obtenus. Si ce nombre est pair, le joueur est déclaré vainqueur, et s’il est impair, il est déclaré perdant.
Si le joueur est déclaré vainqueur, il gagne 10 euros pour chaque Pile obtenu, mais s’il a perdu, il doit payer 10 euros pour chaque Pile obtenu.
En particulier, s’il n’obtient aucun Pile, il est déclaré vainqueur, mais ne remporte rien. La pièce est truquée, et à chaque lancer, la probabilité d’obtenir Pile est égale à \(p\) (\(p \in \left] 0,1 \right[\)), et celle d’obtenir Face est de \(1-p\).
On modélise cette expérience par un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et on note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de Pile obtenus, et \(G\) la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Enfin, on notera \(A\) l’événement : « le joueur est déclaré vainqueur » et on dira que le jeu est favorable au joueur si l’espérance mathématique de la variable aléatoire \(G\) est positive.
Dans cette partie, on suppose que \(n=3\) et \(p=\dfrac23\).
Reconnaître la loi de \(X\) et vérifier que : \(\mathbb{P}(A)=\dfrac{13}{27}\).
Montrer que : \(G(\Omega) = \{-30, -10, 0, 20\}\), puis expliciter la loi de \(G\).
Calculer l’espérance de \(G\). Le jeu est-il favorable au joueur ?
Dans cette partie, on revient au cas général, où \(n\) est entier naturel non nul et \(p \in \left] 0,1 \right[\).
Celui qui tient le stand souhaite rendre le jeu plus attractif en affichant « À ce jeu, il y a plus de gagnants que de perdants ! », et cherche donc les conditions nécessaires sur \(p\) et \(n\) pour que son affichage ne soit pas mensonger.
Soit \(Y\) la variable aléatoire définie par : \(Y=(-1)^X\). Autrement dit, \(Y\) prend la valeur \(1\) lorsque \(X\) prend une valeur paire et \(Y\) prend la valeur \(-1\) lorsque \(X\) prend une valeur impaire.
On note \(Z=\frac{Y+1}2\). Déterminer \(Z(\Omega)\), puis montrer que \(Z\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(\mathbb{P}(A)\).
Démontrer que : \(\mathbb{E}(Y)=2 \, \mathbb{P}(A)-1\).
Donner la loi de \(X\).
En déduire que l’on a également : \[\mathbb{E}(Y) =\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom nk p^k(1-p)^{n-k}\]
puis que : \(\mathbb{E}(Y)=(1-2p)^n\).
Exprimer alors la valeur de \(\mathbb{P}(A)\) en fonction de \(n\) et \(p\).
Démontrer que \[\mathbb{P}(A)\geqslant \dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow \left[ p \leqslant \dfrac12 \hbox{ ou « $n$ est pair »} \right]\]
Le concepteur du jeu souhaite cependant vérifier que, tout en laissant son jeu attractif (c’est à dire en faisant en sorte que \(\mathbb{P}(A) \geqslant \dfrac12\)), son activité soit rentable pour lui, autrement dit que le jeu soit défavorable au joueur (c’est à dire que \(\mathbb{E}(G) \leqslant 0\)).
Exprimer \(G\) en fonction de \(X\) et \(Y\). En déduire que : \[\mathbb{E}(G)=10 \displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k k \, \mathbb{P}(X=k)\]
Démontrer que : \[\forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ k \binom nk = n \binom{n-1}{k-1}\]
Montrer que : \(\mathbb{E}(G)=-10np \left( 1-2p \right)^{n-1}\)
Démontrer alors que : \[\begin{cases} \mathbb{P}(A) \geqslant \dfrac{1}{2}\\ \mathbb{E}(G) \leqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases} \Longleftrightarrow p\leqslant \dfrac{1}{2}\]
Étudier la fonction \(f\) définie sur \(\left[0, \dfrac12\right]\) par : \[\forall x \in \left[0, \dfrac12\right] ,\ f(x)=x \left( 1-2x \right)^{n-1}\]
Pour une valeur de \(n\) fixée, comment le concepteur du jeu doit-il truquer sa pièce (c’est à dire quelle valeur doit-il donner à \(p \in \left[0,\frac12\right]\)) pour optimiser la rentabilité de son activité ?
Le forain décide de fixer \(n=2\) et \(p=\frac14\). En période estivale, il pense pouvoir compter sur la participation de \(200\) clients dans le journée. Avant de se décider à installer son stand, il voudrait être certain, avec un risque d’erreur inférieur à \(10 \%\), qu’il gagnera plus de \(100\) euros dans la journée.
Pour tout entier \(i\) compris ente \(1\) et \(200\), on note alors \(G_i\) le gain algébrique du \(i\)-ième joueur.
On note aussi \(J\) la variable aléatoire égale au gain du forain sur toute la journée.
Pour tout entier \(i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,200} \right]\kern-0.15em\right]\), donner la loi de \(G_i\) et calculer son espérance et sa variance.
Exprimer la variable aléatoire \(J\) en fonction des variables aléatoires
\(G_i\).
Démontrer alors que \(\mathbb{E}(J)=500\) et \(\mathbb{V}(J)=11250\).
Justifier que : \[\mathbb{P}(J\leqslant 100) \leqslant \mathbb{P}(|J-500|\geqslant 400)\]
Rappeler l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, puis montrer que : \[\mathbb{P}(J \leqslant 100) \leqslant \dfrac9{128}\]
Compte tenu de ses exigences de rentabilité, le forain peut-il installer son stand ?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
