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On définit sur l’intervalle \(]0,1]\) les deux fonctions \[f:x\mapsto x\ln(x) \quad\text{et}\quad g:x \mapsto x^{x}=\mathrm{e}^{x\ln(x)}\]
Les fonctions \(f\) et \(g\) admettent-elles des limites en \(0\) ?
Dresser les tableaux de variations des fonctions \(f\) et \(g\) sur \(]0,1]\).
Justifier que l’intégrale \(\displaystyle\int_{0}^{1} g(t)\, \mathrm{d}t\) est convergente. On notera \(I\) sa valeur.
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose : \[u_{n}=\dfrac{1}{n!} \int_{0}^{1} \left( t\ln(t) \right)^{n}\mathrm{d}t\quad\text{et}\quad S_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}\]
Justifier que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n}\) existe.
Montrer que la suite \((u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(0\).
Calculer \(u_{0}\) et \(u_{1}\).
À l’aide d’intégrations par parties successives, montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{(n+1)^{n+1}}\]
Montrer que la série de terme général \(u_{n}\) est convergente.
Écrire une fonction Python d’en-tête
def somme(n) qui prend comme paramètre
d’entrée un entier naturel \(n\) et qui
produit en paramètre de sortie la valeur de \(S_{n}\).
À l’aide de l’inégalité de Taylor-Lagrange en \(0\) à l’ordre \(n\) appliquée à la fonction exponentielle, montrer que, pour tout \(x\in\left[-\dfrac{1}{\mathrm{e}},0\right]\) et tout entier naturel \(n\) : \[\left| \mathrm{e}^{x}-\sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^{k}}{k!} \right| \leqslant \dfrac{1}{\mathrm{e}^{n+1} \left( n+1 \right)!}\]
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \left| I-S_{n} \right| \leqslant \dfrac{1}{\mathrm{e}^{n+1} \left( n+1 \right)!}\]
Montrer que : \[I=-\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n^{n}}\]
Écrire une fonction Python d’en-tête
def estimation(eps) prenant comme paramètre
d’entrée un réel flottant strictement positif \(\varepsilon\) et produisant en paramètre de
sortie une valeur approchée de \(I\) à
\(\varepsilon\) près.
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\).
Pour tout élément \(x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\) de \(\mathbb{R}^n\), on note \(X=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\) le vecteur colonne de ses coordonnées dans la base canonique de \(\mathbb{R}^n\).
On rappelle que si \(x\) est ainsi associé à \(X\) et \(y\) à \(Y\), le produit scalaire canonique sur \(\mathbb{R}^n\) est défini par : \[\left \langle x, y \right \rangle = \sum_{k=1}^n x_ky_k = {}^t\!\, XY = {}^t\!\, YX\]
où \({}^t\!\, X\) représente la transposée de \(X\).
On note \(J\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients valent \(1\).
Justifier qu’il existe une matrice \(P\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et une matrice diagonale \(D\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telles que : \[J= PD \, {}^t\!P\]
Déterminer le rang de \(J\). En déduire une valeur propre de \(J\) ainsi que la dimension du sous-espace propre associé.
En examinant la trace de \(J\), expliciter la matrice \(D\).
On note \(f\) la forme quadratique définie sur \(\mathbb{R}^n\) par : \[f(x_1,x_2,\dots,x_n) = \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_ix_j\]
Montrer que pour tout \((x_1,x_2,\dots,x_n)\), \[f(x_1,x_2,\dots,x_n) = \frac{1}{2} \left[ \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2 - \sum_{k=1}^n x_k^2 \right]\]
Déterminer une matrice \(M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que : \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ f(x) = {}^t\!\, XMX\]
Exprimer \(M\) comme combinaison linéaire de \(J\) et \(I\), où \(I\) désigne la matrice identité de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
En déduire qu’il existe une matrice diagonale \(\Delta\) à déterminer telle que : \[M = P\Delta {}^t\!\, P.\]
Montrer que la fonction \(f\) admet un minimum et un maximum sur l’ensemble \[\mathcal{S} = \left\lbrace (x_1,x_2,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n \ / \ x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1 \right\rbrace\]
et déterminer la valeur minimale et la valeur maximale de \(f\) sur \(\mathcal{S}\).
Dans cette question, \(A\) est une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) qui est symétrique et dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. On note \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) dont \(A\) est la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^n\).
Justifier que \(A\) est diagonalisable et montrer qu’il existe une matrice \(B\) appartenant à \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(B^2=A\).
On note \(v\) l’endomorphisme dont \(B\) est la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^n\).
À l’aide de \(v\) et de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que : \[\forall (x,y)\in (\mathbb{R}^n)^2,\ \left( \left \langle x, y \right \rangle \right)^2 \leqslant \left \langle u(x), x \right \rangle \times \left \langle u^{-1}(y), y \right \rangle\]
Pour un \(x\in\mathbb{R}^n\) non nul donné, trouver un \(y\in\mathbb{R}^n\) non nul tel que cette inégalité soit une égalité.
En déduire que : \[\inf_{\substack{ x\in\mathbb{R}^n \\ \left\| x \right\|=1}} \left( \left \langle u(x), x \right \rangle \times \left \langle u^{-1}(x), x \right \rangle \right) = 1\]
On suppose que \(n=2\) et \(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\).
Montrer que \(A\) est inversible et déterminer \(A^{-1}\).
Montrer que toutes les valeurs propres de \(A\) sont strictement positives.
En déduire le minimum de la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par : \[g(x_1,x_2) = (x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_1x_2)(2x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2)\] sous la contrainte \(x_1^2 + x_2^2 = 1\).
Toutes les variables aléatoires présentes dans ce problème sont définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Dans toute cette partie, \(a\) est un réel strictement positif et \(g_a\) est la fonction définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ g_a(x) = \begin{cases} \hfill 0 \hfill &\text{si } x<0 \\ \hfill \dfrac{x}{a^2} \,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}} &\text{si } x\geqslant 0 \end{cases}.\]
Justifier que \(g_a\) est une densité de probabilité.
Soit \(Z_a\) une variable aléatoire admettant \(g_a\) pour densité.
Soit \(N\) une variable aléatoire suivant la loi normale centrée et de variance \(a^2\). Rappeler une densité de \(N\) et donner les valeurs de \(\mathbb{E}(N)\) et \(\mathbb{E}(N^2)\).
Montrer que \(Z_a\) admet une espérance et calculer \(\mathbb{E}(Z_a)\).
Montrer que \(Z_a\) admet une variance et calculer \(\mathbb{V}(Z_a)\).
Pour tout entier \(n\) strictement positif, on considère l’expérience suivante : on dispose de \(n\) urnes initialement vides, numérotées de \(1\) à \(n\) et on dispose d’un grand stock de boules que l’on dépose une à une dans ces urnes. Pour chaque boule, on choisit au hasard, de façon équiprobable, l’urne dans laquelle la boule est déposée.
On note \(X_n\) le rang du premier tirage pour lequel une des urnes contiendra deux boules.
Compléter la fonction Python suivante
pour qu’elle simule une réalisation de la variable aléatoire \(X_n\) :
On suppose dans cette question que \(n=1\).
Déterminer la loi de \(X_1\) ainsi que son espérance et sa variance.
On suppose dans cette question que \(n=2\).
Déterminer la loi de \(X_2\) ainsi que son espérance et sa variance.
On se place ici dans le cas général, \(n\) désigne un entier strictement positif.
Déterminer \(X_n(\Omega)\) en justifiant brièvement.
Montrer que : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n+1} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}(X_n=k) = \frac{n! \left( k-1 \right)}{n^k \left( n-k+1 \right)!}.\]
Montrer que pour tout entier strictement positif \(n\), \(X_n\) admet une espérance.
On souhaite écrire une fonction Python
qui calcule \(\mathbb{E}(X_n)\) en
fonction de \(n\).
Compléter la fonction suivante à cet effet :
On reprend dans cette partie les variables aléatoires \(X_n\) étudiées dans la partie B.
Pour tout entier \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et pour tout \(m\in\mathbb{N}\), on pose : \[\alpha(n,m) = \sum_{k=0}^m \ln\!\left( 1- \frac{k}{n} \right).\]
Montrer que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(\left[ 0, \dfrac{1}{2} \right]\), \[-x - x^2 \leqslant \ln(1-x) \leqslant -x.\]
En déduire que pour tout \((n,m) \in\mathbb{N}^\ast \times \mathbb{N}\) tel que \(m\leqslant \dfrac{n}{2}\), on a : \[- \frac{m \left( m+1 \right)}{2n} - \frac{m \left( m+1 \right)(2m+1)}{6n^2} \leqslant \alpha(n,m) \leqslant - \frac{m \left( m+1 \right)}{2n} .\]
On suppose dans cette question que \(x\leqslant 0\).
Calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}\left( \sqrt{n} \;\mathbb{P}\!\left( X_n = \left\lfloor \sqrt{n} x \right\rfloor \right) \right)\).
On suppose dans cette question que \(x\) est un réel \(x>0\).
Donner la limite puis un équivalent simple de \(\left\lfloor \sqrt{n} x \right\rfloor\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\).
Justifier qu’il existe un entier \(N\) tel que : \[\forall n\geqslant N,\ \left\lfloor \sqrt{n} x \right\rfloor \leqslant \frac{n}{2}.\]
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n+1} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}(X_n=k) = \frac{k-1}{n} \,\prod_{i=0}^{k-2} \left( 1- \frac{i}{n} \right).\]
En déduire que pour tout \(n\geqslant N\), on a : \[\mathbb{P}\!\left( X_n = \left\lfloor \sqrt{n} x \right\rfloor \right) = \frac{\left\lfloor \sqrt{n} x \right\rfloor - 1}{n} \,\exp\!\left( \alpha\! \left( n, \left\lfloor \sqrt{n} x \right\rfloor -2 \right) \right).\]
Montrer alors que \(\sqrt{n} \; \mathbb{P}\!\left( X_n = \left\lfloor \sqrt{n} x \right\rfloor \right)\) admet une limite lorsque \(n\) tend vers l’infini et déterminer cette limite.
On admettra dans cette partie le résultat suivant :
Si \(W\) est une variable aléatoire et si \((W_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est une suite de variables aléatoires telles que :
pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(W_n\) admet une densité \(h_n\) ;
la variable \(W\) admet une densité \(h\) ;
pour tout réel \(x\), on a : \(\lim\limits_{n\to+\infty}h_n(x) = h(x)\) ;
alors, la suite \((W_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en loi vers \(W\).
On considère toujours dans cette partie la suite \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) de variables aléatoires définies dans la partie B. On introduit une variable aléatoire \(U\) qui suit la loi uniforme sur l’intervalle \([0,1]\), que l’on suppose indépendante des variables aléatoires \(X_n\) (pour \(n\in\mathbb{N}^\ast\)), et on pose : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ Y_n = \frac{X_n+U}{\sqrt{n}}.\]
On définit enfin, pour tout entier \(n\) strictement positif, la fonction \(f_n\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f_n(x) = \sqrt{n} \; \mathbb{P}\!\left( X_n = \left\lfloor \sqrt{n} x \right\rfloor \right).\]
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et \(k\in\mathbb{Z}\).
Déterminer l’ensemble des réels \(x\) tels que \(\left\lfloor \sqrt{n} x \right\rfloor = k\).
Montrer que pour tout entier \(n\in\mathbb{N}^\ast\), la fonction \(f_n\) est une densité de probabilité.
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et \(k\in\mathbb{Z}\). Calculer \(\mathbb{P}(U \leqslant \sqrt{n} x -k)\). On pourra séparer les cas où \(k> \left\lfloor \sqrt{n} x \right\rfloor\), \(k<\left\lfloor \sqrt{n} x \right\rfloor\) et \(k=\left\lfloor \sqrt{n} x \right\rfloor\).
À l’aide de la formule des probabilités totales, montrer que : \[\forall x \in\mathbb{R},\ \mathbb{P}(Y_n \leqslant x) = \int_{-\infty}^x f_n(t)\,\mathrm{d}t.\]
Justifier que, pour tout entier \(n\in\mathbb{N}^\ast\), la variable aléatoire \(Y_n\) est une variable aléatoire à densité, et que \(Y_n\) admet \(f_n\) pour densité.
Montrer que la suite de variables aléatoires \((Y_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en loi vers une variable aléatoire \(Y\) à densité dont on précisera la densité.
On admet le théorème de Slutsky : si \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est une suite de variables aléatoires convergeant en loi vers \(X\) et si \((Y_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est une suite de variables aléatoires convergeant en probabilité vers une constante réelle \(c\), alors :
\(X_n+Y_n \overset{\mathscr L}{\longrightarrow}X+c\),
\(X_nY_n \overset{\mathscr L}{\longrightarrow}cX\).
Montrer que la suite de variables aléatoires \(\left( \dfrac{X_n}{\sqrt{n}} \right)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en loi vers une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
