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Dans tout l’exercice, on notera \(\mathcal M_3(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 et \(I\) la matrice identité d’ordre 3. On considère la matrice \(A\) définie par : \[A=\begin{pmatrix}0&1&2\\ -1&2&2\\ -3&3&1\end{pmatrix}\] L’objectif de cet exercice est de déterminer l’ensemble des matrices \(M\) de \(\mathcal M_3(\mathbb{R})\) telles que \(M^2=A\).
Calculer les matrices \((A-I)^2\) et \((A-I)^3\).
En déduire l’ensemble des valeurs propres de \(A\).
La matrice \(A\) est-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ?
On note pour tout \(x\in]-1,1[\), \(\varphi(x)=\sqrt{1+x}\).
Justifier que la fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal C^2\) sur \(]-1,1[\), et déterminer les valeurs de \(\varphi^\prime(0)\) et \(\varphi^{\prime\prime}(0)\).
En utilisant la formule de Taylor-Young pour \(\varphi\) en 0 à l’ordre 2, déterminer un réel \(\alpha\) non nul tel que : \[\sqrt{1+x} = 1+\dfrac12\, x+\alpha x^2+x^2\varepsilon(x) \quad \text{avec }\lim_{x\to0}\varepsilon(x)=0\]
On note \(P(x)=1+\dfrac12 \, x+\alpha x^2\) la fonction polynomiale de degré 2 ainsi obtenue. Développer \(\left[ P(x) \right]^2\).
Soit \(C=A-I\). En utilisant les résultats de la question 1, vérifier que \(\left[ P(C) \right]^2=A\).
Expliciter alors une matrice \(M\) telle que \(M^2=A\).
On munit l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^3\) de sa base canonique \(\mathcal B=(e_1,e_2,e_3)\).
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice représentative dans la base \(\mathcal B\) est la matrice \(A\).
Dans cette partie, on pose: \(T=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}\).
Soient \(u, v\) et \(w\) les vecteurs définis par: \(\begin{cases} w=(1,0,1) \\ v=f(w)-w \\ u=f(v)-v \end{cases}\).
Calculer les vecteurs \(v\) et \(u\).
Démontrer que la famille \(\mathcal B^\prime=(u,v,w)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
Déterminer la matrice représentative de \(f\) dans la base \(\mathcal B^\prime\).
En déduire qu’il existe une matrice \(P\in\mathcal M_3(\mathbb{R})\) inversible telle que \(T=P^{-1}AP\).
Soit \(M\in\mathcal M_3(\mathbb{R})\).
Montrer que si \(N^2=T\), alors \(NT=TN\). En déduire alors que \(N\) est de la forme : \[\begin{pmatrix}a&b&c\\ 0&a&b\\ 0&0&a\end{pmatrix}\] où \(a, b\) et \(c\) sont trois réels.
Démontrer alors que l’équation matricielle \(N^2=T\), d’inconnue \(N\in\mathcal M_3(\mathbb{R})\), admet exactement deux solutions \(N_1\) et \(N_2\).
Montrer que l’équation matricielle \(M^2=A\), d’inconnue \(M\in\mathcal M_3(\mathbb{R})\), admet exactement deux solutions que l’on écrira en fonction de \(P, P^{-1}, N_1\) et \(N_2\).
L’ensemble \(E\) des matrices \(M\) appartenant à \(\mathcal M_3(\mathbb{R})\) telles que \(M^2=A\) est-il un espace vectoriel ?
Dans tout l’exercice, \(a\) est un réel strictement positif.
On considère la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) par : \(\forall x>0, \ \varphi(x)=\ln (x)-a x^{2 a}\).
Déterminer \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \varphi(x)\) et \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi(x)\).
Étudier les variations de la fonction \(\varphi\) et dresser son tableau de variations.
On fera apparaître dans ce tableau le réel \(x_0=\left(\frac{1}{2 a^2}\right)^{\frac{1}{2 a}}\).
Démontrer que si \(a<\sqrt{\frac{1}{2 \mathrm{e}}}\), l’équation \(\varphi(x)=0\) admet exactement deux solutions \(z_1\) et \(z_2\), vérifiant : \(z_1<x_0<z_2\).
Que se passe-t-il si \(a=\sqrt{\frac{1}{2 e}}\) ? Si \(a>\sqrt{\frac{1}{2 \mathrm{e}}}\) ?
Soit \(f\) la fonction définie sur l’ouvert \(U=\left(\mathbb{R}_+^\ast\right)^2\) par : \[\forall(x, y) \in U, \ f(x, y)=\ln (x) \ln (y)-(x y)^a\]
Justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(U\).
Calculer les dérivées partielles premières de \(f\).
Démontrer que pour tout \((x, y) \in U\) : \[(x, y) \text { est un point critique de } f \Leftrightarrow \begin{cases} x=y \\ \varphi(x)=0 \end{cases}\]
Démontrer que si \(a<\sqrt{\frac{1}{2 e}}\), la fonction \(f\) admet exactement deux points critiques : \(\left(z_1, z_1\right)\) et \(\left(z_2, z_2\right)\), où \(z_1\) et \(z_2\) sont les réels définis dans la partie A. Déterminer aussi les éventuels points critiques de \(f\) dans les cas où \(a=\sqrt{\frac{1}{2 e}}\) et \(a>\sqrt{\frac{1}{2 e}}\).
Dans cette partie, on suppose que \(a<\sqrt{\frac{1}{2 e}}\). On rappelle alors que la fonction \(f\) admet exactement deux points critiques : \(\left(z_1, z_1\right)\) et \(\left(z_2, z_2\right)\), où \(z_1\) et \(z_2\) sont les réels définis dans la partie A.
Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de la fonction \(f\).
Calculer la matrice hessienne de \(f\) au point \(\left(z_1, z_1\right)\). Vérifier que cette matrice peut s’écrire sous la forme : \[\nabla^2 f(z_1, z_1)= \begin{pmatrix} -a^2 z_1^{2 a-2} & \frac{1}{z_1^2}-a^2 z_1^{2 a-2} \\ \frac{1}{z_1^2}-a^2 z_1^{2 a-2} & -a^2 z_1^{2 a-2} \end{pmatrix}\]
On pose \(M=\nabla^2 f(z_1, z_1), X_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(X_2=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Calculer \(M X_1\) et \(M X_2\), et en déduire les valeurs propres de \(M\).
La fonction \(f\) présente-t-elle un extremum local en \(\left(z_1, z_1\right)\) ?
Si oui, est-ce un minimum? Un maximum?
La fonction \(f\) présente-t-elle un extremum local en \(\left(z_2, z_2\right)\) ?
Si oui, est-ce un minimum? Un maximum?
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
On effectue une série illimité de tirages d’une boule avec remise dans une urne contenant \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\). Pour tout entier naturel \(k\) non nul, on note \(X_k\) la variable aléatoire égale au numéro de la boule obtenue au \(k\)-ième tirage.
Pour tout entier naturel \(k\) non nul, on note \(S_k\) la somme des numéros des boules obtenues lors des \(k\) premiers tirages : \[S_k=\sum_{i=1}^k X_i\] On considère enfin la variable aléatoire \(T_n\) égale au nombre de tirages nécessaires pour que, pour la première fois, la somme des numéros des boules obtenues soit supérieure ou égale à \(n\).
Exemple : avec \(n=10\), si les numéros obtenus aux cinq premiers tirages sont dans cet ordre \(2,4,1,5,9\), alors on obtient : \(S_1=2,~ S_2=6,~ S_3=7,~ S_4=12,~ S_5=21\) et \(T_{10}=4\).
Pour \(k\in\mathbb{N}^*\), déterminer la loi de \(X_k\) ainsi que son espérance.
Déterminer \(T_n(\Omega)\).
Calculer \(\mathbb{P}(T_n=1)\).
Montrer que : \[\mathbb{P}(T_n=n)=\left(\dfrac1n\right)^{n-1}\]
Dans cette question, \(n=2\). Déterminer la loi de \(T_2\).
Dans cette question, \(n=3\). Donner la loi de \(T_3\). Vérifier que \(\mathbb{E}(T_3)=\dfrac{16}9\).
Déterminer \(S_k(\Omega)\) pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\).
Soit \(k\in\left[\!\left[1, n-1\right]\!\right]\).
Exprimer \(S_{k+1}\) en fonction de \(S_k\) et de \(X_{k+1}\).
En utilisant un système complet d’événements lié à la variable aléatoire \(S_k\), démontrer alors que : \[\forall i\in\left[\!\left[k+1, n\right]\!\right],~ \mathbb{P}(S_{k+1}=i)=\dfrac1n \sum_{j=k}^{i-1} \mathbb{P}(S_k=j)\]
Pour \(k\in\mathbb{N}^*\) et \(j\in\mathbb{N}^*\), rappeler la formule du triangle de Pascal liant les nombres \(\displaystyle \binom{j-1}{k-1}\), \(\displaystyle \binom{j-1}k\) et \(\displaystyle \binom jk\).
En déduire que pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\) et pour tout entier naturel \(i\) supérieur ou égal à \(k+1\): \[\sum_{j=k}^{i-1} \binom{j-1}{k-1} = \binom{i-1}k\]
Pour tout entier \(k\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\), on note \(\mathcal H_k\) la proposition : \[\text« \forall i\in\left[\!\left[k,n\right]\!\right],~ \mathbb{P}(S_k=i) = \dfrac1{n^k}\binom{i-1}{k-1} \text»{}\] Démontrer par récurrence que pour tout entier \(k\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\), \(\mathcal H_k\) est vraie.
Soit \(k\in\left[\!\left[1,n-1\right]\!\right]\). Comparer les événements: \([T_n>k]\) et \([S_k \leqslant n-1]\).
En déduire que: \(\displaystyle \forall k\in\left[\!\left[0,n-1\right]\!\right],~\mathbb{P}(T_n>k)=\dfrac1{n^k} \binom{n-1}k\).
Démontrer que \(\displaystyle \mathbb{E}(T_n)=\sum_{k=0}^{n-1} \mathbb{P}(T_n>k)\), puis que \(\displaystyle \mathbb{E}(T_n)=\left(1+\dfrac1n\right)^{n-1}\).
Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \mathbb{E}(T_n)\).
Dans cette partie, on fait varier l’entier \(n\) et on étudie la convergence en loi de la suite de variable \((T_n)_{n\geqslant 1}\) obtenue.
Soit \(Y\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) telle que: \(\forall k\in\mathbb{N}^*,~ \mathbb{P}(Y=k)=\dfrac{k-1}{k!}\).
Vérifier par le calcul que \(\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \mathbb{P}(Y=k)=1\).
Montrer que \(Y\) admet une espérance et calculer cette espérance.
Pour tout entier naturel \(k\) non nul, démontrer que : \[\lim_{n\to+\infty} \mathbb{P}(T_n>k)=\dfrac1{k!}\]
Démontrer alors que \((T_n)_{n\geqslant 1}\) converge en loi vers la variable aléatoire \(Y\).
On suppose qu’un programme Python
commence par les instructions suivantes :
On rappelle qu’alors l’instruction
rd.randint(1,n+1) renvoie un entier aléatoire
de \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\).
Compléter la fonction ci-dessous, qui prend en argument le nombre \(n\) de boules contenues dans l’urne, afin
qu’elle simule la variable aléatoire \(T_n\):
On suppose déclarée la fonction précédente et on écrit le script ci-dessous :
L’exécution de ce script pour les valeurs de \(n\) indiquées a permis d’obtenir les graphes ci-dessous :
Expliquer ce que représentent les vecteurs renvoyés par les
fonctions freqT et loitheoY. Comment ces
vecteurs sont-ils représentés graphiquement dans chaque graphique obtenu
?
Expliquer en quoi cette succession de graphiques permet d’illustrer le résultat de la question 13.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
