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Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Une loi exponentielle. Soit \(X\) une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètre \(1\).
Donner une densité de \(X\) et rappeler les valeurs de l’espérance et de la variance de la variable aléatoire \(X\).
Redémontrer que la fonction de répartition de la variable aléatoire \(X\) est la fonction \(F\) définie pour tout réel \(x\) par : \[F(x) = \begin{cases} 0 & \text{ si } x < 0, \\ 1- \mathrm{e}^{-x} & \text{ si } x \geqslant 0 \end{cases}\]
Étude d’une suite.
On considère la suite \((u_n)_{n \geqslant 1}\) définie par \(u_1=1\) et pour tout entier naturel non nul \(n\) par : \(u_{n+1}=F(u_n)\).
Montrer que pour tout réel \(x\) : \(\mathrm{e}^x \geqslant x+1\).
Montrer que l’égalité a lieu si et seulement si \(x = 0\).
Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \(u_n > 0\).
Recopier et compléter le programme
Python suivant qui permet de représenter les
cent premiers termes de la suite \((u_n)_{n
\geqslant 1}\) :
Le programme précédent complété permet d’obtenir la représentation graphique suivante :
Quelle conjecture pouvez-vous émettre sur la monotonie et la limite de la suite \((u_n)_{n \geqslant 1}\) ?
Étudier la monotonie de la suite \((u_n)_{n \geqslant 1}\).
En déduire que la suite \((u_n)_{n \geqslant 1}\) est convergente et déterminer sa limite.
À l’aide de la question 2(a), montrer successivement que pour tout entier naturel \(n\) non nul : \[u_{n+1} \geqslant \frac{u_n}{1+u_n} \qquad \text{et} \qquad \frac{1}{u_{n+1}} \leqslant 1 + \frac{1}{u_n}.\]
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) non nul : \[u_n \geqslant \frac{1}{n}.\]
On modifie le programme écrit en question 2(c) en remplaçant la dernière ligne par :
Le programme ci-dessus permet d’obtenir la représentation graphique suivante :
Que représente le vecteur-ligne S ? Quelle conjecture
pouvez-vous émettre sur la nature de la série de terme général \(u_n\) ?
A l’aide de la question 2(h), établir la nature de la série de terme général \(u_n\).
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[g(x) =\begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text{ si } x < 0 \\ x \, \mathrm{e}^{-x} & \text{ si } x \geqslant 0 \end{cases}\]
Étude de la fonction \(g\).
Montrer que \(g\) est dérivable sur \(]-\infty,0[\) et sur \(]0,+\infty[\). Est-elle continue en \(0\) ? Est-elle dérivable en \(0\) ?
Donner le tableau de variations de \(g\) sur \([0,+\infty[\) (on précisera la limite de \(g\) en \(+\infty\)).
Étudier la convexité de \(g\) sur \(]0,+\infty[\).
Donner l’allure de la courbe représentative de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
On précisera avec soin cette allure au voisinage du point d’abscisse \(0\) de la courbe. On rappelle que \(\mathrm{e}^{-1} \approx 0,37\).
Étude de variables aléatoires.
Montrer que la fonction \(g\) est une densité de probabilité.
On note \(Y\) une variable aléatoire dont une densité est la fonction \(g\), et dont la fonction de répartition est notée \(G\).
Sans calcul, justifier que la fonction \(G\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que pour tout réel \(x\), \[G(x) = \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text{ si } x < 0 \\ 1- \mathrm{e}^{-x}(1+x) & \text{ si } x \geqslant 0 \end{cases}\]
Montrer que la variable aléatoire \(Y\) admet une espérance, que l’on calculera.
On considère la variable aléatoire \(Z= \mathrm{e}^{Y}\).
Déterminer la fonction de répartition notée \(H\) de la variable aléatoire \(Z\).
En déduire que \(Z\) est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité de \(Z\).
La variable aléatoire \(Z\) admet-elle une espérance ?
On désigne par \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées d’ordre \(2\) à coefficients réels. Pour toute matrice \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), on considère l’application \(\varphi_A\) qui à toute matrice \(M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) associe le produit \(AM\).
Montrer que \(\varphi_A\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
Montrer que si l’endomorphisme \(\varphi_A\) est bijectif, alors il existe une unique matrice \(N \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telle que \(AN=I_2\), où \(I_2\) désigne la matrice identité d’ordre \(2\).
Montrer que l’application \(\varphi_A\) est un automorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) si et seulement si la matrice \(A\) est inversible.
Dans cette partie et uniquement cette partie, on pose \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}\).
On note \(\mathcal{B} = (E_{1,1},E_{1,2},E_{2,1},E_{2,2})\) la base canonique de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) avec : \[E_{1,1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_{1,2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_{2,1} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_{2,2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Justifier que la matrice \(A\) est diagonalisable.
Montrer que la matrice de l’endomorphisme \(\varphi_A\) dans la base \(\mathcal{B}\) est : \[T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 &-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}\]
Préciser les valeurs propres et une base de chaque sous-espace propre de la matrice \(T\).
La matrice \(T\) est-elle diagonalisable ?
Dans tout cet exercice , \(N\)
désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(3\).
On dispose de deux urnes opaques \(U_1\) et \(U_2\), d’apparence identique et contenant
chacune \(N\) boules indiscernables au
toucher.
L’urne \(U_1\) contient \((N-1)\) boules blanches et une boule
noire.
L’urne \(U_2\) contient \(N\) boules blanches.
On effectue des tirages sans remise dans l’urne
\(U_1\), jusqu’à l’obtention de la
boule noire.
On note \(X\) la variable aléatoire qui
prend pour valeur le nombre de tirages nécessaires pour l’obtention de
la boule noire.
On notera pour tout entier naturel \(i\) non nul :
\(N_i\) l’événement « on tire une boule noire lors du \(i\)-ième tirage ».
\(B_i\) l’événement « on tire une boule blanche lors du \(i\)-ième tirage ».
On simule \(10000\) fois cette expérience aléatoire.
Recopier et compléter le programme Python
suivant pour qu’il affiche l’histogramme donnant la fréquence
d’apparition du rang d’obtention de la boule noire :
On exécute le programme complété ci-dessus. On entre \(5\) au clavier et on obtient l’histogramme suivant. Quelle conjecture pouvez-vous émettre sur la loi de la variable aléatoire \(X\) ?
Pour les questions suivantes, on revient au cas général où \(N \geqslant 3\).
En écrivant soigneusement les événements utilisés, calculer \(\mathbb{P}( X=1)\), \(\mathbb{P}( X=2)\) et \(\mathbb{P}( X=3)\).
Déterminer la loi de la variable aléatoire \(X\).
Préciser le nombre moyen de tirages nécessaires à l’obtention de la boule noire.
On choisit une des deux urnes au hasard (chaque urne a la même probabilité d’être choisie) et on tire dans l’urne choisie une par une les boules sans remise jusqu’à être en mesure de pouvoir connaître l’urne choisie.
On note \(Y\) la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de tirages ainsi effectués.
On note :
\(C_1\) l’événement « on choisit l’urne \(U_1\) ».
\(C_2\) l’événement « on choisit l’urne \(U_2\) ».
Montrer que pour tout entier \(j \in \left[\!\left[1, N\right]\!\right]\) : \[\mathbb{P}_{C_1}(Y=j) = \frac{1}{N}.\]
Calculer \(\mathbb{P}_{C_2}(Y=j)\) pour tout entier \(j \in \left[\!\left[1, N\right]\!\right]\) On distinguera les cas \(j=N\) et \(1 \leqslant j \leqslant N-1\).
Montrer que : \[\mathbb{P}( Y=j) =\begin{cases} \displaystyle \hfill \frac{1}{2N} \hfill & \text{ si } j \in \left[\!\left[1, N-1\right]\!\right] \medskip \\ \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2N} & \text{ si } j = N \end{cases}\]
Calculer l’espérance de \(Y\).
On effectue une succession infinie de tirages avec
remise dans l’urne \(U_1\). On
admet qu’on obtient presque-sûrement au moins une boule blanche et au
moins une boule noire lors de ces tirages.
On note \(T\) la variable aléatoire
prenant pour valeur le nombre de tirages nécessaires jusqu’à l’obtention
d’au moins une boule noire et d’au moins une boule blanche.
On note \(U\) la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées jusqu’à l’obtention d’au moins une boule noire et d’au moins une boule blanche.
Par exemple, si les tirages ont donné successivement : noire, noire, noire, blanche, blanche, noire,…, alors \(T=4\) et \(U=1\).
Préciser les valeurs prises par \(T\).
Montrer soigneusement que pour tout entier \(k \geqslant 2\), \[\mathbb{P}( T=k) = \frac{1}{N} \left( \frac{N-1}{N} \right)^{k-1} + \frac{N-1}{N} \left( \frac{1}{N} \right)^{k-1}\]
Montrer que la variable aléatoire \(T\) admet une espérance que l’on calculera.
Calculer \(\mathbb{P}( [U=1] \cap [T=2])\).
Calculer \(\mathbb{P}( [U=1] \cap [T=k])\) pour tout entier \(k \geqslant 3\).
Soit \(j\) un entier tel que \(j \geqslant 2\).
Calculer \(\mathbb{P}( [U=j] \cap [T=j+1])\).
Que vaut \(\mathbb{P}( [U=j]\cap [T=k])\) pour tout entier \(k \geqslant 2\) tel que \(k \neq j+1\) ?
Les variables aléatoires \(T\) et \(U\) sont-elles indépendantes ?
Calculer \(\mathbb{P}( U=1)\) puis déterminer la loi de \(U\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
