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Soit \(n \in \mathbb{N}^*\), on note \(E\) l’ensemble des fonctions \(f: \mathbb{R}_{+}^* \rightarrow \mathbb{R}\) telles qu’il existe deux polynômes \(P, Q\) appartenant à \(\mathbb{R}_{n-1}[x]\) avec : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^*, \ f(x)=x P(x)+x \ln (x) \, Q(x)\] Pour tout entier \(k \in\{1, \ldots, n\}\), on pose : \[u_k: \begin{array}{| ccc} \mathbb{R}_{+}^* & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto &x^k \end{array} \quad \text { et } \quad v_k: \begin{array}{|ccc} \mathbb{R}_{+}^* & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x^k \ln (x) \end{array}\] Pour toute fonction \(f\) appartenant à \(E\), on note \(\varphi(f)\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^*,\ \varphi(f)(x)=\frac{1}{x} \int_0^x f(t) \,\\,\mathrm{d}t\] et on note \(\varphi\) l’application qui à \(f \in E\) associe \(\varphi(f)\).
Prouver que \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et que \(E=\operatorname{Vect}(u_1, v_1 \ldots u_n , v_n)\).
On admettra que la famille \(\mathcal{B}=\left(u_1, v_1, \ldots, u_n, v_n\right)\) est une base de \(E\).
Justifier que chaque fonction \(f\) de \(E\) se prolonge en une fonction continue sur \(\mathbb{R}_{+}\) et, pour tout \(k \in\{1, \ldots, n\}\), calculer \(\varphi(u_k)\) et \(\varphi(v_k)\).
Démontrer que \(\varphi\) est linéaire. En déduire que \(\varphi(f) \in E\) lorsque \(f \in E\).
Écrire la matrice de \(\varphi\) dans la base \(\mathcal{B}\).
L’endomorphisme \(\varphi\) est-il bijectif? Quelles sont ses valeurs propres?
Soit \(f \in E\) un vecteur propre de \(\varphi\) associé à la valeur propre \(\lambda\). On suppose que \(\lambda\) est non nul et on considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}^*\) par :
\[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^*, \ g(x)=x^{-1 / \lambda} \int_0^x f(t) \,\mathrm{d}t\] Montrer que \(g\) est constante sur \(\mathbb{R}_{+}^*\). En déduire l’expression de la fonction \(\displaystyle x \mapsto \int_0^x f(t) \,\mathrm{d}t\) puis celle de \(f\).
Pour chaque valeur propre \(\lambda\) de \(\varphi\), déterminer la dimension de l’espace propre de \(\varphi\) associé à la valeur propre \(\lambda\). L’endomorphisme \(\varphi\) est-il diagonalisable?
On rappelle que la fonction \(\Gamma\) d’Euler est définie sur \(\left] 0 , {+\infty}\right[\) par :
\[\forall x>0,\ \Gamma(x)={\displaystyle \int_0^{+\infty} t^{x-1}\mathrm{e}^{-t} \,\mathrm{d}t}.\]
On admettra que \(\Gamma\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(\left] 0 , {+\infty}\right[\) et que :
\[\forall k\in\mathbb{N},\ \forall x\in \left] 0,+\infty \right[,\ \Gamma^{(k)}(x)={\displaystyle \int_0^{+\infty}(\ln(t))^k \mathrm{e}^{-t}t^{x-1} \,\mathrm{d}t}.\]
On pose pour tout \(x\in \left] 0 , {+\infty}\right[\) :
\(L(x)=\ln(\Gamma(x))\quad\) et \(\quad \Psi(x)=L'(x)=\dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\).
Justifier que, pour tout \(x>0\) et tout \(k\in\mathbb{N}\), l’intégrale \({\displaystyle \int_0^{+\infty} (\ln(t))^k \mathrm{e}^{-t}t^{x-1} \,\mathrm{d}t}\) est convergente.
Exprimer \(\Gamma(x+1)\) en fonction de \(x\) et de \(\Gamma(x)\). En déduire que :
\[\forall x\in\left] 0 , {+\infty}\right[,\ \Psi(x+1)-\Psi(x)=\dfrac{1}{x}\]
puis préciser la valeur de \(\Psi(n+2)-\Psi(n)\) pour \(n\in\mathbb{N}^*\).
A l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, établir que : \[\forall (x,A)\in (\mathbb{R}_+^*)^2,\ \left({\displaystyle \int_0^A \ln(t) \mathrm{e}^{-t}t^{x-1} \,\mathrm{d}t}\right)^2\leqslant \left({\displaystyle \int_0^A (\ln(t))^2 \mathrm{e}^{-t}t^{x-1} \,\mathrm{d}t}\right) \left({\displaystyle \int_0^A \mathrm{e}^{-t}t^{x-1} \,\mathrm{d}t}\right).\]
Démontrer que : \[\forall x\in\left] 0 , {+\infty}\right[,\ (\Gamma'(x))^2\leqslant \Gamma(x) \, \Gamma''(x)\]
puis justifier que la fonction \(\Psi\) est croissante sur \(\left] 0 , {+\infty}\right[\).
Soit \(a\in \left] 0,1 \right[\).
Prouver que pour tout \(n\geq 1\) : \[{\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2-a-2}}=\dfrac{1}{2a} \left[ \Psi(1+a)-\Psi(1-a) \right] -\dfrac{1}{2a} \left[ \Psi(n+1+a)-\Psi(n+1-a) \right]\]
et : \[0\leqslant \Psi(n+1+a)-\Psi(n+1-a)\leqslant \Psi(n+2)-\Psi(n).\]
Etablir que la série \({\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \dfrac{1}{n^2-a^2}}\) est convergente et calculer sa somme \({\displaystyle \sum_{n= 1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2-a^2}}\) en fonction de \(\Psi\) et de \(a\).
Soient \(p\) un réel appartenant à l’intervalle \(\left]0 , 1\right[\) et \(N\) un entier naturel supérieur ou égal à 3. On pose \(q=1-p\).
On considère un tournoi réunissant une infinité de joueurs \(A_0,\,A_1,\,A_2,\ldots,\,A_n,\ldots\) qui s’affrontent dans une série de duels de la façon suivante :
\(A_0\) et \(A_1\) s’affrontent durant le duel numéro 1. Le perdant est éliminé du tournoi, le gagnant reste en jeu;
Le gagnant du premier duel participe au duel numéro 2 durant lequel il affronte le joueur \(A_2\). Ce duel se déroule de manière analogue et ne dépend du duel précédent que par l’identité du joueur affrontant \(A_2\). Le perdant est éliminé du tournoi, et la gagnant du jeu participe au duel numéro 3 contre le joueur \(A_3\) et ainsi de suite;
Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\), le joueur \(A_k\) participe au duel numéro \(k\), qu’il peut remporter avec une probabilité \(p\), son adversaire durant ce duel pouvant remporter le duel avec la probabilité \(q=1-p\).
Est désigné gagnant du tournoi, le premier joueur, s’il y en a un, qui gagne \(N\) jeux successifs lors du tournoi.
Pour tout entier naturel \(n\), on considère l’évenement \(E_n\) : « le gagnant du tournoi n’a pas encore été désigné à l’issue du duel numéro \(n\)».
On suppose dans cette partie que \(N=3\) et \(p=q=\dfrac{1}{2}\).
On suppose qu’un programme Python
commence par les instructions suivantes :
Rappelons que la commande rd.random() crée
aléatoirement un réel appartenant à l’intervalle \(\left[0;1\right]\) (qui suit en outre
la loi uniforme sur \([0,1]\)).
Écrire une fonction Duel en langage
Python qui crée un nombre aléatoire et renvoie
1 si ce nombre aléatoire est strictement inférieur à \(\dfrac{1}{2}\) et \(0\) sinon.
Écrire une fonction Test_Victoire en
langage Python qui, à trois nombres \(a\), \(b\), \(c\)
fournis par l’utilisateur, renvoie True si les
trois sont égaux, False sinon.
Écrire un programme Tournoi en langage
Python simulant un tournoi et renvoyant le
nombre de duels nécessaires pour que le tournoi dispose d’un vainqueur
(c’est-à-dire un candidat ayant remporté 3 victoires consécutives).
Indication : si on le souhaite, on pourra utiliser les fonctions
Duel et
Test_Victoire en les répètant convenablement
jusqu’à ce que Test_Victoire sur trois duels
consécutifs renvoie True.
Créer la liste des gagnants possibles pour chacun des trois premiers duels sous la forme d’un tableau de la forme suivante :
| numéro | |
|---|---|
| du joueur | |
| gagnant | |
| le duel | |
| $\downarrow$ |
| duel 1 | 0 | $\ldots$ |
| duel 2 | 0 | $\ldots$ |
| duel 3 | 0 | $\ldots$ |
Déterminer les probabilités \(\mathbb{P}( E_1)\), \(\mathbb{P}( E_2)\), \(\mathbb{P}( E_3)\). Vérifier que :
\(\mathbb{P}( E_3)=\dfrac{1}{2} \, \mathbb{P}( E_2)+\dfrac{1}{4} \, \mathbb{P}( E_1)\)
En considérant le nombre de victoires déjà obtenues par le vainqueur du duel numéro \(n\), démontrer que pour tout entier naturel \(n\geqslant 3\), on a :
\((\mathcal{R}_1)\: : \: \mathbb{P}( E_n)=\dfrac{1}{2} \, \mathbb{P}( E_{n-1})+\dfrac{1}{4} \, \mathbb{P}( E_{n-2}).\)
Justifier l’existence de quatre réels \(\lambda\), \(\mu\), \(r_1\), \(r_2\) tels que
\(\forall n\geqslant 2,\ \mathbb{P}( E_n)=\lambda r_1^n+\mu r_2^n\).
Le calcul explicite de \(\lambda\) et \(\mu\) n’est pas demandé. Calculer \({\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \mathbb{P}( E_n)}\).
Que vaut la probabilité \(\mathbb{P}\! \left({\displaystyle\bigcap_{n=2}^{+\infty} E_n}\right)\)? Quelle est la probabilité de l’événement « le tournoi désignera un vainqueur »?
On revient au cas général : \(p\) désigne un réel quelconque de \(]0,1[\) et \(N\) est un entier supérieur ou égal à 3. On considère le polynôme \(Q\) défini par :
\[Q(X)=\left({\displaystyle \sum_{k=1}^{N-1}pq^{k-1}X^k}\right)-1\]
Pour tout entier \(k\in\{1,\ldots,N-1\}\), on note \(A_k^{(n)}\) l’événement : « à l’issue du \(n\)-ième duel, le vainqueur du \(n\)-ième duel a obtenu exactement \(k\) victoires ».
Justifier l’égalité :
\[\forall n\geqslant N,\ \mathbb{P}_{A_k^{(n)}}(E_n)=\mathbb{P}( E_{n-k}).\]
Établir que pour tout \(n\geq N\), on a
\[(\mathcal{R}_2)\: : \: \mathbb{P}( E_n)={\displaystyle \sum_{k=1}^{N-1}pq^{k-1}\mathbb{P}( E_{n-k})}.\]
Calculer \(\mathbb{P}( E_1)\), \(\ldots\), \(\mathbb{P}( E_{N-1})\). En déduire que :
\[\mathbb{P}( E_N)=1-q^{N-1}.\]
Soit \(n\geqslant N\). Démontrer la relation
\[(\mathcal{R}_3)\: : \: \mathbb{P}( E_n)-\mathbb{P}( E_{n+1})=pq^{N-1} \, \mathbb{P}( E_{n-N+1}).\]
Prouver que l’équation \(Q(x)=0\) possède une unique solution sur l’intervalle \([0,+\infty[\).
On note désormais \(r_N\) cette solution. Justifier que :
\(r_N>1\quad\) et \(\quad Q'(r_N)>0\)
A l’aide de la relation \((\mathcal{R}_2)\) (question II.2), établir que : \[\forall n\geqslant 1,\ \mathbb{P}( E_n)\leqslant \left(\dfrac{1}{r_N}\right)^{n-N}.\]
Etablir la convergence de la série \({\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \mathbb{P}( E_n)}\) puis, en sommant la relation \((\mathcal{R}_3)\) (question II.4) sur tous les entiers \(n\geq N\), donner la valeur de \({\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \mathbb{P}( E_n)}\).
On définit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de duels qui ont eu lieu au moment de la proclamation du vainqueur du tournoi. On conviendra que \(X=0\) si le tournoi n’a pas de vainqueur.
Soit \(n\geqslant 2\). Justifier que les événements \((E_{n-1}\cap \overline{E_n})\) et \((X=n)\) sont égaux.
Démontrer que \(X\) admet une espérance et exprimer \(\mathbb{E}(X)\) en fonction de \({\displaystyle \sum_{n= 1}^{+\infty} \mathbb{P}( E_n)}\). En déduire la valeur de \(\mathbb{E}(X)\).
Les hypothèses et définitions introduites à la partie II sont conservées. Les résultats de la question II.5 pourront être utilisés librement (même si la preuve n’a pas été effectuée).
On considère le polynôme :
\[R(X)=1-X+pq^{N-1}X^N\]
et on admet que :
\(\left( qX-1 \right) Q(X)=R(X)\quad\) et \(\quad XR'(X)-NR(X)= \left( N-1 \right) X-N.\)
Soit \(z\) un nombre réel tel que :
\(Q(z)=0\quad\) et \(\quad Q'(z)=0\).
Montrer que \(R(z)=0\) et \(R'(z)=0\). En déduire que \(z\in[0,+\infty[\) puis obtenir une contradiction.
Par conséquent chaque racine de \(Q\) est de multiplicité 1. On suppose dans la suite qu’il existe \(N-1\) réels non nuls et distincts \(z_1\), \(\ldots\), \(z_{N-1}\) tels que : \[Q(X)=(X-z_1)\cdots(X-z_{N-1})\]
On considère l’application linéaire
\(f : \begin{array}{| ccl} \mathbb{R}_{N-2}[x]&\to & \mathbb{R}^{N-1}\\ S & \mapsto & \left(S\left(\dfrac{1}{z_1}\right),\ldots,S\left(\dfrac{1}{z_{N-1}}\right)\right) \end{array}\)
où \(z_1\), \(\ldots\), \(z_{N-1}\) sont les \(N-1\) racines distinctes de \(Q\).
Prouver que \(f\) est un isomorphisme.
Exprimer sa matrice \(A\) dans les bases canoniques de \(\mathbb{R}_{N-2}[x]\) et \(\mathbb{R}^{N-1}\). Expliciter \({}^t\!{A}\) (la transposée de \(A\)).
En déduire que le système : \[(\mathcal{S}) : \begin{cases} x_1+\cdots+x_{N-1} = \mathbb{P}( E_1)\\ \dfrac{x_1}{z_1}+\cdots+\dfrac{x_{N-1}}{z_{N-1}} = \mathbb{P}( E_2) \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ \qquad \vdots \\ \dfrac{x_1}{(z_1)^{N-2}}+\cdots + \dfrac{x_{N-1}}{(z_{N-1})^{N-2}} = \mathbb{P}( E_{N-1}) \end{cases}\] admet une unique solution \((\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\).
Soient \((\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\) l’unique solution du système \((\mathcal{S})\), on considère la suite \((u_n)_{n\geqslant 1}\) définie par : \[\forall n\geqslant 1,\ u_n=\dfrac{\alpha_1}{(z_1)^{n-1}}+\cdots + \dfrac{\alpha_{N-1}}{(z_{N-1})^{n-1}}={\displaystyle \sum_{j=1}^{N-1}\alpha_j\left(\dfrac{1}{z_j}\right)^{n-1}}\]
Montrer que pour tout \(n\geqslant N\) : \[u_n={\displaystyle \sum_{k=1}^{N-1}pq^{k-1}u_{n-k}}\] En déduire que pour tout \(n\geqslant 1\) : \[\mathbb{P}( E_n)=u_n.\]
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
