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Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) est : \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \end{pmatrix}\] On considère les vecteurs \(u\) et \(v\) de \(\mathbb{R}^3\) définis par : \[u=(0,1,-2) \quad\text{et}\quad v=(0,1,-1)\]
et on note \(U\) et \(V\) les colonnes de leurs coordonnées dans la base canonique de \(\mathbb{R}^3\). On note enfin \(\mathrm{Ker}(f)\) le noyau de \(f\) et \(\mathrm{Im}(f)\) son image. Si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), on désigne par \(E_{\lambda}(A)\) l’espace propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\).
Déterminer une base de \(\mathrm{Ker}(f)\) et une base de \(\mathrm{Im}(f)\).
Justifier que \(f\) n’est pas bijectif. En déduire, sans le moindre calcul, une valeur propre de \(A\).
Prouver que \(U\) et \(V\) sont deux vecteurs propres de \(A\).
Préciser la valeur propre \(\lambda\) (respectivement \(\mu\)) associée à \(U\) (respectivement à \(V\)).
Donner la dimension de l’espace propre \(E_{\lambda}(A)\) (respectivement \(E_{\mu}(A)\)).
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Rechercher tous les vecteurs \(t=(x,y,z)\) de \(\mathbb{R}^3\) vérifiant l’équation : \[f(t) = t+v\]
Déterminer un vecteur \(w\) de \(\mathbb{R}^3\), dont la troisième coordonnée (dans la base canonique de \(\mathbb{R}^3\)) est nulle, telle que la famille \(C = (u,v,w)\) soit une base de \(\mathbb{R}^3\) et que la matrice de \(f\) dans la base \(C\) soit la matrice \[T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Dans les questions 1,2 et 3 de cette partie, on suppose qu’il existe un endomorphisme \(g\) de \(\mathbb{R}^3\) vérifiant : \(g\circ g = f\). On note \(B\) la matrice représentative de \(g\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^3\).
Montrer que : \[f\circ g = g \circ f\] En déduire que : \[f(g(u)) = 0 \quad\text{et}\quad f(g(v))=g(v)\]
Justifier qu’il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(g(u) = au\) et \(g(v) = bv\).
On note \(N\) la matrice de \(g\) dans la base \(C=(u,v,w)\) définie à la question I.6. Justifier que : \[N = \begin{pmatrix} a & 0 & c \\ 0 & b & d \\ 0 & 0 & e \end{pmatrix}\] où \(a\) et \(b\) sont les deux réels définis à la question précédente (II.2) et \(c,d,e\) des réels.
Existe-t-il des endomorphismes \(g\) de \(\mathbb{R}^3\) tels que \(g\circ g = f\) ?
Indication : Utiliser les matrices de \(f\) et \(g\) dans la base \(C = (u,v,w)\) définie à la question I.6.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\left[ 0, {+\infty}\right[\) par : \[f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \text{si }x=0 \\ & \\ \dfrac{x}{\ln(1+x)} & \text{si }x\in \left]0;+\infty\right[ \end{array} \right.\] ainsi que la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par : \[u_0 = \mathrm{e}\quad\text{et}\quad \forall n\in \mathbb{N},\; u_{n+1} = f(u_n)\]
Déterminer le signe de \(f\) sur l’intervalle \(\left[ 0, {+\infty}\right[\). En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) existe.
Écrire un programme Python qui, pour
une valeur \(N\) fournie par
l’utilisateur, calcule et affiche \(u_N\).
Montrer que \(f\) est continue sur \(\left[ 0, {+\infty}\right[\).
Établir que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\left]0;+\infty\right[\).
Donner le développement limité à l’ordre \(2\) au voisinage de \(0\) de \[\ln(1+x) - \dfrac{x}{1+x}\] puis déterminer un équivalent de \(f'(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0\).
Prouver que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\left[ 0, {+\infty}\right[\).
établir que : \[\forall x\geqslant \mathrm{e}-1,\ f(x)\leqslant x \quad\text{et}\quad (x+1)\ln(x+1)\geqslant (x+1)\] En déduire que : \[\forall x\geqslant \mathrm{e}-1,\ f'(x)\geqslant 0\]
Démontrer que : \[\forall n\in \mathbb{N},\ \mathrm{e}-1\leqslant u_n\]
Établir que la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) converge et préciser la valeur de sa limite \(L\).
Soit \(p\) un réel appartenant à l’intervalle ouvert \(]0;1[\). On note \(q=1-p\).
On dispose dans tout l’exercice d’une même pièce dont la probabilité d’obtenir PILE vaut \(p\).
On procède à l’expérience suivante \(\mathcal{E}\) : « On effectue une succession illimitée de lancers de la pièce ».
On note :
pour tout entier naturel non nul \(n\), \(X_n\) la variable aléatoire égale au nombre de PILE obtenus lors des \(n\) premiers lancers de la pièce ;
pour tout entier naturel non nul \(j\), \(F_j\) l’événement : « La pièce donne FACE lors du \(j\)-ième lancer » ;
\(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de FACE obtenus avant l’apparition du second PILE.
Par exemple, si les lancers ont donné dans cet ordre :
« FACE, PILE, FACE, FACE, FACE, PILE»
alors \(Y = 4\).
On admet que les variables aléatoires \(X_n\) (\(n\in
\mathbb{N}^*\)) et \(Y\) sont
définies sur un même espace probabilisé modélisant l’expérience \(\mathcal{E}\).
Simulation informatique. On suppose qu’un programme
Python commence par l’instruction
import numpy.random as rd.
Écrire une fonction en langage Python
d’en-tête def Lancer(p) qui crée un nombre
aléatoire dans l’intervalle \([0,1]\)
et renvoie \(1\) si ce nombre aléatoire
est strictement inférieur à \(p\) et
\(0\) sinon.
Écrire une fonction en langage Python
d’en-tête Premier_Pile(p) qui utilise la
fonction Lancer pour simuler autant de lancers
de la pièce que nécessaire jusqu’à l’obtention du premier PILE et
renvoyer le nombre de lancers effectués.
Écrire un programme en langage Python
qui demande un réel \(p\) à
l’utilisateur, puis qui simule autant de lancers de la pièce que
nécessaire jusqu’à l’obtention du second PILE, et affiche le nombre de
FACE obtenus en tout. On utilisera la fonction
Premier_Pile.
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Donner la loi de \(X_n\). Préciser la valeur de son espérance \(\mathbb{E}(X_n)\) et de sa variance \(\mathbb{V}(X_n)\).
Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire \(Y\).
Donner les valeurs des probabilités : \[\mathbb{P}(Y=0),\quad \mathbb{P}(Y=1) \quad \text{et}\quad \mathbb{P}(Y=2)\]
Soit \(n\) un entier naturel. Justifier que les événements : \[(Y=n) \quad\text{et}\quad (X_{n+1} = 1)\cap \overline{F_{n+2}}\] sont égaux.
Prouver que : \[\forall n\in \mathbb{N},\ \mathbb{P}(Y=n) = \left( n+1 \right) p^2q^n\]
Vérifier par le calcul que : \[\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(Y=n) = 1\]
Démontrer que la variable aléatoire \(Y\) possède une espérance \(\mathbb{E}(Y)\) et donner sa valeur.
Soit \(k\in\mathbb{N}^*\). On note \(Y_k\) la variable aléatoire égale au nombre de FACE obtenus avant l’apparition du \(k\)-ième PILE. En particulier, on a \(Y_2 = Y\).
En généralisant la méthode utilisée dans les questions précédentes, déterminer la loi de \(Y_k\).
On procède à l’expérience suivante :
\(\mathcal{F}\) : « Deux joueurs
se relaient pour effectuer des lancers successifs de la pièce pendant la
pause déjeuner.
Le joueur 1 arrive à 12h (considéré comme l’instant 0) et joue jusqu’à
l’arrivée du joueur 2.
Le joueur 2 arrive au hasard entre 12h et 13h puis joue jusqu’à 13h
(considéré comme l’instant 1). »
On note :
\(R\) la variable aléatoire égale à la durée (en heure) du jeu pour le joueur 1 ;
\(S\) la variable aléatoire égale à la durée (en heure) du jeu pour le joueur 2 ;
\(T\) la variable aléatoire égale à la durée (en heure) de jeu effectuée par le joueur ayant joué le plus longtemps c’est-à-dire que : \[T = \max(R,S)\]
Pour tout variable aléatoire \(X\), on note \(F_X\) la fonction de répartition de \(X\).
On admet que \(R\) et \(S\) sont deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé muni d’une probabilité \(P\) modélisant l’expérience \(\mathcal{F}\). En outre, on suppose que \(R\) suit la loi uniforme sur \([0,1]\) et que \(S=1-R\) (cette dernière relation traduisant que le temps total consacré au jeu par le joueur 1 et le joueur 2 est exactement d’une heure).
Expliciter la fonction \(F_R\) puis la fonction \(F_S\).
Reconnaître alors la loi suivie par la variable aléatoire \(S\).
Pour tout réel \(t\), prouver que : \[\mathbb{P}(T\leqslant t) = \mathbb{P}\! \left( (R\leqslant t)\cap (R\geqslant 1-t) \right)\]
Déterminer, pour tout \(t\in \left[\dfrac{1}{2} , 1\right]\), l’expression de \(F_T\) en fonction de \(T\).
Justifier que \(T\) suit la loi uniforme sur \(\left[\dfrac{1}{2} , 1\right]\).
En déduire que \(T\) admet une espérance \(\mathbb{E}(T)\) et une variance \(\mathbb{V}(T)\) que l’on précisera.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
