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On note :
\(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices colonnes (à \(n\) lignes) à coefficients réels ;
\(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées de taille \(n\) à coefficients réels ;
\({}^t\!\, U\) la transposée d’une matrice \(U\);
\(\operatorname{ker}(M)=\left\{X \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\right.\) tel que \(\left.M X=0\right\}\) et \(\operatorname{Im}(M)=\left\{M X,\ X \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\right\}\) où \(M\) est une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
On munit \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) de son produit scalaire canonique \(\langle X, Y\rangle= {}^t\!X Y\) et on note \(\left\| \cdot \right\|\) sa norme associée.
On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et un entier naturel \(k\) non nul tels que \(A^{k}={}^t\!A\). On pose alors \(B={}^t\!A A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
Calculer \({}^t\!B\) et établir que : \(\forall X \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R}), \ \langle B X, X\rangle=\|A X\|^{2}\).
Démontrer que toutes les valeurs propres de \(B\) sont réelles et positives.
Prouver que : \(B^{k}=B\). Quelles sont les valeurs propres possibles de \(B\) ?
Justifier que : \(B^{2}=B\).
Montrer que : \(\operatorname{Ker}(B)=\operatorname{Ker}(A)\) puis que : \(\operatorname{Im}(B)=\operatorname{Im}(A)\).
Etablir que : \(\forall X \in \operatorname{Im} , \ \|A X\|=\|X\|\).
On considère :
la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^{2}\) par : \[\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \ f(x, y)=\frac{1}{5}\left[x^{2}\left(1-x^{2}\right)+y^{2}\left(1-y^{2}\right)+2 x y\right]\]
la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) définie par : \[\forall n \geqslant 0, \ u_{n+2}=f\left(u_{n}, u_{n+1}\right) \quad \text { avec } \quad\left(u_{0}, u_{1}\right) \in[0,1]^{2} .\]
Étude de \(f\).
Si \((a, b)\) est un point critique de \(f\), justifier que \(a=b\) puis déterminer tous les points critiques de \(f\) ainsi que la valeur de \(f\) en chacun de ses points critiques.
On admettra dans toute la suite que : \[\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ,\ f(x, y) \leqslant \frac{2}{5}\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{1}{10}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\]
Préciser le ou les extrémums de la fonction \(\displaystyle g: t \in \mathbb{R}_{+} \mapsto \frac{2 t}{5}-\frac{t^{2}}{10}\).
Démontrer que la fonction \(f\) possède un maximum et qu’elle n’est pas minorée.
Programmation de \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\).
Écrire un programme Python demandant à
l’utilisateur un entier \(N\) ainsi que
les valeurs initiales \(u_{0}, u_{1}\)
et calculant la valeur de \(u_{N}\)
correspondante.
Étude de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\). On considère la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) définie par : \[\forall n \in \mathbb{N},\ a_{n+2}=\frac{2}{5}\left(a_{n}+a_{n+1}\right) \quad \text { avec } \quad a_{0}=u_{0} \text { et } a_{1}=u_{1}\]
Démontrer que: \(\forall n \geqslant 0, \ 0 \leqslant u_{n} \leqslant 1\).
En déduire que : \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+2} \leqslant \frac{2}{5}\left(u_{n}+u_{n+1}\right)\).
Justifier que : \(\forall n \geqslant 0, \ u_{n} \leqslant a_{n}\).
Établir l’existence de quatre réels \(\lambda, \mu, r, s\) tels que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ a_{n}=\lambda r^{n}+\mu s^{n}\]
puis étudier la convergence de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\).
Soit \(x\) un réel, on note \(\lfloor x\rfloor\) la partie réelle de \(x\) c’est-à-dire l’unique entier \(N\) tel que : \(N \leqslant x<N+1\).
Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\). On définit \(X_{d}\) sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) par : \[\forall \omega \in \Omega, \ X_{d}(\omega)=\lfloor X(\omega)\rfloor\]
On admet que \(X_{d}\) est une variable aléatoire sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\). On l’appelle « la discrétisée de \(X\) ».
Le problème consiste :
à étudier quelques propriétés de la discrétisée de variables suivant quelques lois usuelles (partie I),
puis à étudier plus spécifiquement le cas où les variables possèdent une densité définie par un polynôme (partie II),
et enfin à établir qu’une variable discrète, satisfaisant à certaines conditions, est la variable discrétisée d’une variable à densité (partie III).
Les parties I, II et III sont largement indépendantes.
On suppose qu’un programme Python
commence par les instructions suivantes :
On rappelle que :
la commande np.floor(x) calcule la
partie entière du réel \(x\);
la commande rd.random() crée
aléatoirement un réel appartenant à l’intervalle \([0,1]\) (qui suit en outre la loi uniforme
sur \([0,1])\).
On rappelle que si \(Z\) suit la loi uniforme sur \([0,1]\) alors, pour \(a \in \mathbb{R}_{+}\), \(a Z\) suit la loi uniforme sur \([0, a]\).
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \([0, a]\) \(\left(a \in \mathbb{R}_{+}\right)\) et \(X_{d}\) sa discrétisée.
Écrire une fonction en langage Python qui à
un réel \(a\) (positif) fournit par
l’utilisateur renvoie une réalisation de \(X_{d}\).
Soit \(X\) une variable aléatoire possédant une densité \(f\). Montrer que : \[\forall k \in \mathbb{Z}, \ \mathbb{P}\! \left(X_{d}=k\right)=\int_{k}^{k+1} f(x) \,\mathrm{d}x\]
Soit \(N\) un entier naturel non nul et \(X\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle \([0, N]\).
Déterminer la loi de \(X_{d}\) (on précisera les valeurs prises par \(X_{d}\)).
Établir que l’on définit bien une variable aléatoire discrète \(Y\) en posant : \[\begin{cases} Y(\Omega)=\{1,2 \ldots 9\} \\ \displaystyle \forall k \in Y(\Omega), \ \mathbb{P}(Y=k)=\frac{1}{\ln (10)} \ln \! \left(\frac{k+1}{k}\right) \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Proposer une densité \(f\) telle que si une variable aléatoire \(X\) posséde \(f\) pour densité alors sa discrétisée \(X_{d}\) suit la loi de \(Y\).
Soient \(X\) une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre \(\lambda \in \mathbb{R}_{+}^{*}\) et \(n\) un entier naturel non nul. On pose \(Y_{n}=\dfrac{\lfloor n X\rfloor}{n}\).
Justifier que la variable \(n X\) possède une densité \(f_{n}\) que l’on précisera.
Donner la loi de la variable \(\lfloor n X\rfloor\). Vérifier que \(\lfloor n X\rfloor+1\) suit une loi connue dont on donnera le nom et le paramètre.
Soit \(x \in \mathbb{R}_{+}\). Prouver que : \[\mathbb{P}\! \left(Y_{n} \leqslant x\right)=1-\exp \! \left(-\frac{\lambda(\lfloor n x\rfloor+1)}{n}\right)\]
Donner un encadrement simple de \(\dfrac{\lfloor n x\rfloor}{n}\) puis montrer que la suite \(\left(Y_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) converge en loi vers une variable aléatoire \(Y\) dont on précisera la loi.
On note \(\mathbb{R}_{n}[x]\) l’ensemble des fonctions polynômes à coefficients réels de degré au plus \(n\) et on pose : \[\forall k \in\{0, \ldots, n\}, \ e_{k}: x \in \mathbb{R} \mapsto x^{k}\]
Si \(Q\) appartient à \(\mathbb{R}_{n}[x]\), on pose \(u(Q)\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ u(Q)(x)=\int_{x}^{x+1} Q(t) \,\mathrm{d}t\]
Pour tout entier \(k \in\{0, \ldots, n\}\), calculer \(u(e_k)\) puis exprimer \(u(e_k)\) en fonction de \(e_{0}, \ldots, e_{n}\).
Établir la linéarité de \(u\) et justifier que si \(Q \in \mathbb{R}_{n}[x]\) alors \(u(Q) \in \mathbb{R}_{n}[x]\).
Établir que la famille \(\left(u(e_k)\right)_{0 \leqslant k \leqslant n}\) est une base de \(\mathbb{R}_{n}[x]\).
Justifier que pour tout polynôme \(R \in \mathbb{R}_{n}[x]\), il existe un unique polynôme \(Q_{R} \in \mathbb{R}_{n}[x]\) tel que : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ R(x)=\int_{x}^{x+1} Q_{R}(t) \,\mathrm{d}t\]
En considérant \(n=1\), expliciter \(Q_{R}\) lorsque : \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, \ R(x)=\frac{x}{6}\).
Soient \(N\) un entier naturel et \(X\) une variable aléatoire dont \(f\) est une densité.
On suppose qu’il existe un entier naturel \(n\) et un polynôme \(Q \in \mathbb{R}_{n}[x]\) tels que : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x) = \begin{cases} Q(x) & \text { si } x \in[0, N+1 \mid \\ \hfill 0 \hfill &\text { sinon } \end{cases}\]
Établir l’existence d’un polynôme \(R \in \mathbb{R}[x]\) tel que : \[\begin{cases} X_{d}(\Omega)=\{0, \ldots, N\} \\ \forall k \in X_{d}(\Omega) ,\ \mathbb{P}\!\left(X_{d}=k\right)=R(k) \end{cases}\]
On considère la variable aléatoire discrète \(Y\) définie par : \[\begin{cases} Y(\Omega)=\{0,1,2,3\} \\ \displaystyle \forall k \in Y(\Omega), \ \mathbb{P}(Y=k)=\frac{k}{6} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Montrer qu’il n’existe aucun polynôme \(Q \in \mathbb{R}[x]\) tel que : \[\forall x \in[0,4[, \ f(x)=Q(x)\]
et tel que \(Y\) soit la discrétisée de \(X\). Indication : procéder par l’absurde et constater que l’une des propriétés des densités n’est pas satisfaite.
On considère une variable aléatoire \(Y\) définie sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) ainsi qu’une fonction \(g: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}_{+}\)qui soit de classe \(C^{2}\) sur \(\mathbb{R}_{+}\)et telles que : \[Y(\Omega)=\mathbb{N} \quad \text{et} \quad \forall k \in \mathbb{N}, \ \mathbb{P}(Y=k)=g(k)\]
En particulier, la série \(\displaystyle \sum_{k \geqslant 0} g(k)\) converge et \[\sum_{k=0}^{+\infty} g(k)=1\]
On suppose en outre que \(g\) est décroissante et qu’il existe un réel \(C \geqslant 0\) tel que : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \ \left|g^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{C}{(1+x)^{2}} \quad \text{et} \quad \left|g^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant \frac{C}{(1+x)^{2}}\]
Pour tout réel \(x\), on pose : \[f(x)= \begin{cases} \displaystyle -\sum_{k=0}^{+\infty} g^{\prime}(x+k) &\text { si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]
Soit \(x \in \mathbb{R}_{+}\). Prouver la convergence de la série \(\displaystyle \sum_{k \geqslant 0} g^{\prime}(x+k)\). Quel est le signe de \(f\) ?
Établir que : \[\forall(x, a) \in\left(\mathbb{R}_{+}\right)^{2} ,\ \forall k \in \mathbb{N},\ \left|g^{\prime}(x+k)-g^{\prime}(a+k)\right| \leqslant \frac{C \left| x-a \right| }{(k+1)^{2}}\]
Prouver l’existence d’un réel \(D \geqslant 0\) tel que : \[\forall(x, a) \in\left(\mathbb{R}_{+}\right)^{2}, \ |f(x)-f(a)| \leqslant D \left| x-a \right|\]
Justifier la continuité de \(f\) en tout réel \(a \in \mathbb{R}_{+}\).
Soit \(t\) un réel positif, pour tout entier \(N\), on pose : \[S_{N}(t)=-\sum_{k=0}^{N} g^{\prime}(t+k) \quad \text { et } \quad R_{N}(t)=-\sum_{k=N+1}^{+\infty} g^{\prime}(t+k)\]
Démontrer que: \[\forall k \geqslant 1,\ \forall t \in \mathbb{R}_{+},\ \frac{1}{(t+k+1)^{2}} \leqslant \frac{1}{t+k}-\frac{1}{t+k+1}\]
puis que : \[\forall N \geqslant 0, \ \forall t \in \mathbb{R}_{+}, \ \left|R_{N}(t)\right| \leqslant \frac{C}{N+1}\]
Prouver que : \[\forall N \in \mathbb{N}, \ \int_{0}^{1} f(t) \,\mathrm{d}t=g(0)-g(N+1)+\int_{0}^{1} R_{N}(t) \,\mathrm{d}t\]
Justifier que : \(\displaystyle \lim _{k \rightarrow+\infty} g(k)=0\) et que :
\[\int_{0}^{1} f(t) \,\mathrm{d}t=g(0)\]
Vérifier que : \[\forall t \in \mathbb{R}_{+}, \ f(t+1)-f(t)=g^{\prime}(t)\]
puis que : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \quad g(x)=\int_{x}^{x+1} f(t) \,\mathrm{d}t\]
Pour tout entier \(N \geqslant 0\), on pose \(\displaystyle S_{N}=\int_{0}^{N} f(t) \,\mathrm{d}t\). Établir que : \[\forall N \geqslant 1, \ S_{N}=\sum_{k=0}^{N-1} g(k)\]
puis que : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \ S_{\lfloor x\rfloor} \leqslant \int_{0}^{x} f(t) \,\mathrm{d}t\leqslant S_{\lfloor x\rfloor+1}\]
En déduire la convergence de l’intégrale \(\int_{0}^{+\infty} f(t) \,\mathrm{d}t\) et préciser sa valeur.
Démontrer que \(f\) peut être considérée comme la densité d’une variable aléatoire \(X\) et que sa discrétisée \(X_{d}\) suit la même loi que \(Y\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
