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On désigne par \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées de taille 3 à coefficients réels et par \(O_{3}\) la matrice nulle de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\).
On pose \(A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 3 & -9 & 6 \end{pmatrix}\), \(A\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\), ainsi que le polynôme \(R\) défini par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ R(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-3\]
Pour tout réel \(\lambda\), on pose \(X_{\lambda}=\begin{pmatrix} 1\\ \lambda\\ \lambda^{2} \end{pmatrix}\).
Pour finir, on introduit l’application \(f\) définie par : \[\forall M\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}),\ f(M)=AM+MA\]
Montrer que \(R'\) (la dérivée de \(R\)) admet deux racines réelles distinctes \(r_{1},r_{2}\) avec \(r_{1}<r_{2}\) que l’on précisera.
Dresser le tableau de variations de \(R\) en y ajoutant les valeurs de \(R\) en \(r_{1}\) et \(r_{2}\).
Justifier que \(R\) admet trois racines \(a,b,c\) avec\(0<a<r_{1}<b<r_{2}<c\). On ne cherchera pas à calculer ces racines.
Soit \(\lambda\) un réel, calculer \(AX_{\lambda}\) puis démontrer que \(X_{\lambda}\) est un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\) si et seulement si \(R(\lambda)=0\).
Établir l’existence d’une matrice inversible \(P\) et d’une matrice diagonale \(D\) telles que \(A=PDP^{-1}\). Expliciter les matrices \(P\) et \(D\) en fonction des réels \(a,b,c\).
Prouver que \(f\) est une application linéaire et que: \[\forall M\in\mathscr{\mathcal{M}}_{3}(\mathbb{R}),\ f(M)=O_{3} \Leftrightarrow DM'+M'D=O_{3}\]
où l’on a posé \(M'=P^{-1}MP\).
Soit \(N=\begin{pmatrix} p & q & r\\ s & t & u\\ v & w & x \end{pmatrix}\). Déterminer les neuf coefficients de la matrice \(DN+ND\). Que dire de \(N\) si \(DN+ND=O_{3}\) ?
Démontrer que \(f\) est un isomorphisme.
On considère l’application \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R}_{+}^{*},\ \varphi(x)=\dfrac{x\ln(x)-1}{x}\]
ainsi que la fonction numérique \(f\) des variables réelles \(x\) et \(y\) définie par : \[\forall(x,y)\in\left]0,+\infty\right[\times\left]0,+\infty\right[,\ f(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{y}{x}+\dfrac{y^{2}}{2}+\exp \! \left(-\dfrac{1}{x}\right)\]
où \(\exp\) désigne la fonction exponentielle.
Déterminer la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs positives.
Interpréter graphiquement cette limite.
Déterminer la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) , ainsi que la limite de \(\dfrac{\varphi(x)}{x}\) lorsque \(x\) en vers \(+\infty\).
Interpréter graphiquement cette limite.
Justifier la dérivabilité de \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et déterminer sa dérivée.
Dresser le tableau de variation de \(\varphi\) en faisant apparaitre les limites de \(\varphi\) en \(0^{+}\) et \(+\infty\).
Prouver l’existence d’un unique réel \(\alpha\in\mathbb{R}_{+}^{*}\) tel que : \(\varphi\left(\alpha\right)=0\). Justifier que \(\alpha\in\left[1,\mathrm{e}\right]\).
On considère la suite \(u\) définie par la relation de récurrence suivante : \[u_{0} = \mathrm{e}\quad \text{et} \quad \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1} = \varphi(u_{n})+u_{n}\]
Démontrer que pour tout entier \(n\), \(u_{n}\) existe et \(u_{n}>\alpha\).
Si cette suite est convergente de limite \(L\), que peut valoir \(L\) ?
Prouver que la suite \(u\) est strictement croissante.
La suite \(u\) est-elle convergente ?
Soit \(A\) un réel. Recopier et compléter le programme suivant afin qu’il affiche le plus petit entier \(n\) tel que \(u_{n}\geqslant A\)
Justifier que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur l’ouvert \(\left]0,+\infty\right[\times\left]0,+\infty\right[\).
Calculer les dérivées partielles premières de \(f\) et prouver que \(f\) possède un unique point critique noté \(A\) d’abscisse \(\alpha\) et d’ordonnée \(y_{\alpha}\) à déterminer en fonction de \(\alpha\) .
Calculer les dérivées partielles secondes de \(f\) sur \(\left]0,+\infty\right[\times\left]0,+\infty\right[\). et établir que : \[\partial_{1,1}^2 f (\alpha,y_{\alpha})=\dfrac{2\alpha+1}{\alpha^{5}}\]
La fonction \(f\) présente-t-elle un extrémum local en \(A\) sur l’ouvert \(\left]0,+\infty\right[\times\left]0,+\infty\right[\) ? Si oui, en donner sa nature (maximum ou minimum).
Soient \(n\) et \(b\) deux entiers avec \(n\geqslant1\) et \(b\geqslant2\). On considère une urne contenant \(n\) boules noires et \(b\) boules blanches, toutes indiscernables.
Un joueur \(A\) effectue des tirages successifs d’une boule sans remise dans l’urne jusqu’à obtenir une boule blanche.
Il laisse alors la place au joueur \(B\) qui effectue des tirages successifs d’une boule avec remise dans l’urne jusqu’à obtenir une boule blanche.
On note \(X\) la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules noires tirées par \(A\) avant de tirer une boule blanche et on appelle \(Y\) la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules noires tirées par \(B\) avant de tirer une boule blanche (s’il ne reste plus de boule noire, on a donc \(Y=0\)).
Par exemple, si \(n=3\) et \(b=7\) et que les tirages successifs ont donné une boule : « noire, blanche, noire, noire, noire, noire, blanche » alors :
\(A\) a effectué deux tirages, il a retiré une boule noire puis une boule blanche de l’urne,
l’urne contient maintenant 8 boules dont deux noires et six blanches,
\(B\) a effectué ensuite cinq tirages dans cette urne, il a pioché \(4\) boules noires qu’il a reposé dans l’urne après chaque tirage puis il a pioché une boule blanche,
\(X\) vaut \(1\) et \(Y\) vaut 4.
Pour ce cas particulier on pourra s’aider d’un arbre pondéré.
On suppose donc ici que l’urne contient initialement \(2\) boules blanches et \(2\) boules noires.
Donner les probabilités des évènements : \([X=0]\) , \([X=1]\) , \([X=2]\) .
En déduire l’espérance et la variance de \(X.\)
Montrer que la probabilité de l’événement \([Y=0]\)est donnée par : \(P\left(\left[Y=0\right]\right)=\dfrac{1}{2}\)
Pour tout entier \(i\) naturel non nul, déterminer les probabilités suivantes : \[\mathbb{P}([X=0]\cap[Y=i]),\quad \mathbb{P}([X=1]\cap[Y=i]),\quad \mathbb{P}([X=2]\cap[Y=i])\]
En déduire la loi de \(Y\). Uniquement à l’aide de l’expression de \(\mathbb{P}\! \left([Y=i]\right)\) en fonction de \(i\), vérifier que : \[\sum_{i=0}^{+\infty} \mathbb{P}\! \left(\left[Y=i\right]\right)=1\]
Montrer que \(Y\) admet une espérance et la calculer.
Pour tout \(k\in\left\{0, 1,\ldots,n\right\}\) calculer la probabilité \(\mathbb{P}\! \left(\left[X=k\right]\right)\) puis vérifier que : \[\mathbb{P}\! \left(\left[X=k\right]\right)=\dfrac{\binom{n-k+b-1}{b-1}}{\binom{n+b}{b}}\]
Utiliser la question qui précède pour justifier que : \[\qquad{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}}\binom{k+b-1}{b-1}=\binom{n+b}{b}\]
Par conséquent on vient de démontrer la formule suivante : \[\left(\mathcal{S}\right) : \forall N\in\mathbb{N},\ \forall a\in\mathbb{N},\ {\displaystyle \sum_{k=0}^{N}}\binom{k+a}{a}=\binom{N+a+1}{a+1}\]
Soient \(k\geqslant1\) , \(N\geqslant1\) et \(a\in\mathbb{N}\). Comparer \(\displaystyle k\binom{k+a}{a}\) et \(\displaystyle \left(a+1\right)\binom{k+1}{a+1}\) puis justifier que : \[{\displaystyle \sum_{k=0}^{N}k}\binom{k+a}{a}=\left(a+1\right){\displaystyle \sum_{k=0}^{N-1}}\binom{k+a+1}{a+1}\]
À l’aide des questions précédentes, montrer que l’espérance de la variable \(n-X\) est donnée par : \[\mathbb{E}\! \left(n-X\right)=\dfrac{nb}{b+1}\]
En déduire l’espérance \(\mathbb{E}(X)\) de \(X\).
Pour tout \(k\) de \(X(\Omega)\), et pour tout entier \(i\) non nul, déterminer la probabilité suivante: \[\mathbb{P}([X=k]\cap[Y=i])\]
Pour tout \(k\) de \(X(\Omega)\), et pour tout entier \(i\), non nul, justifier que la série \({\displaystyle \sum_{i\geqslant1}i\left(\dfrac{n-k}{n+b-k-1}\right)^{i-1}}\) est convergente et déterminer sa somme.
Montrer que \(Y\) admet une espérance et vérifier que : \[\mathbb{E}\! \left(Y\right)=\dfrac{bn}{b^{2}-1}\]
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
