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Soient \(x\in\mathbb{R}_+\) et \(a\in\mathbb{R}_+^*\), on pose : \[f(x)=\int_0^{+\infty}\dfrac{\,\mathrm{d}t}{x+ \mathrm{e}^t},\quad g(x)=\int_0^{+\infty}\dfrac{\,\mathrm{d}t}{(x+ \mathrm{e}^t)^2}\quad I_a=\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-at}\,\mathrm{d}t\]
Soit \(a\in\mathbb{R}_+^*\). Justifier que l’intégrale \(I_a\) converge et donner sa valeur.
Soit \(x\in\mathbb{R}_+\). Justifier que l’intégrale \(f(x)\) converge.
Dans la suite de l’exercice, on admettra que l’intégrale \(g(x)\) converge.
Établir : \[\forall x\in\mathbb{R}_+,\ \forall t\in\mathbb{R}_+,\ 2\sqrt{x \, \mathrm{e}^{t}} \leqslant x+ \mathrm{e}^t\] puis : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\ 0 \leqslant f(x)\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}}\]
Soit \((x,y)\in(\mathbb{R}_+)^2\) tels que \(x<y\). Établir que : \(0<f(x)-f(y)\leqslant\dfrac{y-x}{2}\).
Montrer que \(f\) réalise une bijection continue et strictement décroissante de \(\mathbb{R}_+\) sur \(]0,1]\).
Prouver que l’équation \(f(x)=x\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}_+\). On note \(\alpha\) cette solution. Justifier que \(\alpha\in \left] 0,1\right]\).
On considère la suite \((u_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \(u_0=0\) et \(\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=f(u_n)\).
Établir que : \(\forall n\in\mathbb{N},\ \left| \alpha-u_n \right|\leqslant \dfrac{1}{2^n}\). En déduire la limite de \((u_n)_{n\geqslant 0}\).
On suppose qu’une fonction ECRICOME est
déjà écrite en langage Python qui à un réel
\(x\) donné renvoie le réel \(f(x)\).
À l’aide de la fonction ECRICOME, écrire
une fonction SUITE en langage
Python qui, à un réel \(\varepsilon>0\) fourni par
l’utilisateur, calcule le premier entier \(N\) tel que \(\dfrac{1}{2^N}\leqslant \varepsilon\) et
renvoie la valeur de \(u_N\)
correspondante.
Soient \(x\in\mathbb{R}_+^*\) et \(h\in\mathbb{R}\) tels que \(x+h\in\mathbb{R}_+^*\). Démontrer que :
\[\displaystyle \left| f(x+h)-f(x)+hg(x) \right|\leqslant \dfrac{h^2}{3}\]
Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) avec : \(\forall x\in\mathbb{R}_+^*\), \(f'(x)=-g(x)\).
On considère la fonction \(T\) définie sur \(\mathbb{R}_+^*\) par : \(\forall x\in\mathbb{R}_+^*\), \(T(x)=xf(x)\).
Justifier que : \(\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\ T'(x)=\dfrac{1}{1+x}\), puis que : \(\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\ T(x)=\ln(1+x)\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note :
\(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées de taille \(n\) à cœfficients réels ;
\(I_n\) la matrice identité de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) et \(0_n\) la matrice nulle de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\).
Une matrice \(W\) de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) est dite nilpotente s’il existe \(q\in\mathbb{N}^*\) tel que \(W^q=0_n\).
On admettra que si \(U\) et \(V\) sont deux matrices de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) qui commutent, alors :
\(U^k\) et \(V^q\) commutent pour tous entiers \(k\) et \(q\) ;
\(U^{-1}\) commute avec \(V\) lorsque \(U\) est inversible.
Deux résultats préliminaires.
Soit \(U\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\) et \(q\in\mathbb{N}^*\) tel que \(U^q=0_n\).
Prouver que \(I_n-U\) est inversible et que \((I_n-U)^{-1}=\displaystyle \sum_{k=0}^{q-1}U^k\).
Soit \(A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\) telle que \(A(A-I_n)=0_n\). On désigne par \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) est \(A\).
Soit \(x\in\mathbb{R}^n\). Vérifier que \(x-f(x)\in\mathrm{Ker}(f)\) et \(f(x)\in\mathrm{Ker}(f-\mathrm{id})\), puis établir que : \[\mathbb{R}^n=\mathrm{Ker}(f)\oplus\mathrm{Ker}(f-\mathrm{id})\]
L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?
Étude d’une suite de matrices.
Soient \(B\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\) et \(N\in\mathbb{N}^*\) tels que : \(\left( B \left( B-I_n \right) \right)^N=0_n.\)
On introduit la suite \((B_k)_{k\in\mathbb{N}}\) de matrices de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) définie par : \[B_0=B\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\quad\text{et}\quad\forall k\in\mathbb{N},\quad B_{k+1}=(B_k)^2\,(2B_k-I_n)^{-1}.\] On considère pour tout entier \(k\geqslant 0\) la proposition :
\((\mathcal H_k)\) : « \(2B_k-I_n\) est inversible, il existe \(C_k,D_k\) \(\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\) tels que \[B_k-B=\left[B(B-I_n)\right]C_k,\text{ et }B_k(B_k-I_n)=\left[B(B-I_n)\right]^{2^k}D_k\] avec \(B_kB=BB_k, C_kB=BC_k\) et \(D_kB=BD_k\) ».
Justifier que \(I_n-(2B-I_n)^2\) est nilpotente et que \(2B-I_n\) est inversible.
En déduire que la propriété \((\mathcal H_0)\) est vraie.
On suppose que la propriété \((\mathcal H_k)\) est vraie pour un entier \(k\geqslant 0\). Montrer que : \begin{align*} 2B_{k+1}-I_n&=&\left[I_n+2B_k(B_k-I_n)\right]\times\left[2B_k-I_n\right]^{-1}\\ B_{k+1}-B&=&\left[(B_k-B)^{2}-(B^2-B)\right]\times\left[2B_k-I_n\right]^{-1}\\ B_{k+1}(B_{k+1}-I_n)&=&\left[B_k(B_k-I_n)(2B_k-I_n)^{-1}\right]^2. \end{align*} En déduire que la propriété \((\mathcal H_{k+1})\) est vraie.
Prouver l’existence d’un entier \(p\) tel que : \(B_p(B_p-I_n)=0_n\).
Établir que la matrice \(B_p\) est diagonalisable, que la matrice \(B-B_p\) est nilpotente et que : \(\forall k\geqslant p, \ B_{k+1}=B_k\).
L’objectif du problème est d’étudier une suite de variables aléatoires \((Z_k)_{k\in\mathbb{N}^*}\).
Les deux premières parties sont indépendantes et la troisième utilise certains résultats obtenus dans les deux premières parties. La partie I est consacrée à l’étude de deux endomorphismes sur \(\mathbb{R}_n[x]\). La partie II consiste à calculer l’espérance et la variance de \(Z_k\) ainsi qu’à calculer la somme \(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}( Z_k=r)\) sous réserve de convergence. La partie III fournira la loi de \(Z_k\) ainsi que l’étude de la convergence de la série \(\displaystyle \sum_{k\geqslant 0}\mathbb{P}( Z_k=r)\).
Soit \(n\) un entier naturel. On note \(\mathbb{R}_n[x]\) l’ensemble des polynômes à cœfficients réels de degré au plus \(n\). Pour tout entier \(k\in\{0,1,\ldots,n\}\), on désigne par \(e_k\) le polynôme de \(\mathbb{R}_n[x]\) défini par : \(e_k(x)=x^k\).
Rappelons que \((e_0,e_1,\ldots,e_n)\) est une base de \(\mathbb{R}_n[x]\). Si \(P\in\mathbb{R}_n[x]\), on définit les fonctions \(f(P)\) et \(g(P)\) par : \begin{align*} \forall x\in\mathbb{R}\setminus\{1\},\ f(P)(x) =\dfrac{1}{x-1}\displaystyle \int_1^x P( t)\,\mathrm{d}t\quad \text{et} \quad f(P)(1)=P( 1)\\ \forall x\in\mathbb{R}, \ g(P)(x)=\left[ \left( e_1-e_0 \right) P\right]'(x)= \left( x-1 \right) P'(x)+P( x) \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{align*}
Prouver que \(g\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Soit \(P\in\mathbb{R}_n[x]\). Calculer \(f(g(P))\) puis justifier que \(\mathrm{Ker}(g)=\{0\}\).
Démontrer que \(g\) est un isomorphisme, que \(g^{-1}=f\) et que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Écrire la matrice \(A\) de \(f\) dans la base \((e_0,e_1,\ldots,e_n)\) ainsi que la matrice \(B\) de \(g\) dans cette même base.
Montrer que \(f\) et \(g\) sont diagonalisables.
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(1\). On dispose de \(n+1\) urnes notées \(U_0,U_1,\ldots,U_n\) et on suppose que pour tout \(i\in\{0,\ldots,n\}\), l’urne \(U_i\) contient \(i+1\) boules numérotées \(0,1,\ldots,i\). On s’intéresse au jeu suivant :
au premier tirage, on pioche une boule dans l’urne \(U_n\). Si la boule porte le numéro \(r\) alors on repose la boule dans l’urne \(U_n\) puis le tirage suivant s’effectue dans l’urne \(U_r\).
Plus généralement, pour tout entier naturel \(k\) non nul, si la boule numéro \(s\) a été piochée au \(k\)-ième tirage dans une certaine urne, on repose cette boule dans la même urne puis on effectue le \((k+1)\)-ième tirage dans l’urne \(U_s\).
Pour tout entier naturel \(k\), on note :
\(Z_k\) est la variable aléatoire égale au numéro de la boule piochée au \(k\)-ième tirage. On convient que \(Z_0=n\).
\(F_k\) est le polynôme de \(\mathbb{R}_n[x]\) défini par : \(\forall x\in\mathbb{R},\ F_k(x)=\displaystyle \sum_{r=0}^n \mathbb{P}( Z_k=r) \, x^r\).
\(\mathbb{E}(Z_k)\) désigne l’espérance de la variable aléatoire \(Z_k\).
À l’aide de la formule des probabilités totales, prouver que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ \forall r\in\{0,1,\ldots,n\},\ \mathbb{P}( Z_{k+1}=r)=\displaystyle \sum_{i=r}^n\dfrac{\mathbb{P}( Z_k=i)}{i+1}\]
Établir les deux formules suivantes valables pour tous entiers \(k\in\mathbb{N}\) et \(r\in\{0,1,\ldots,n-1\}\) : \[\begin{cases}(\mathcal R_1) : & \left( n+1 \right) \mathbb{P}( Z_{k+1}=n)=\mathbb{P}( Z_k=n)\\ (\mathcal R_2) :& \left( r+1 \right) \mathbb{P}( Z_{k+1}=r)- \left( r+1 \right) \mathbb{P}( Z_{k+1}=r+1)=\mathbb{P}( Z_k=r) \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
On admet dans cette question que la série \(\displaystyle \sum_{k\geqslant 0}\mathbb{P}( Z_k=r)\) converge pour tout \(r\in\{1,\ldots,n\}\) et on pose \(S_r=\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}( Z_k=r)\).
En sommant les relations \((\mathcal R_1)\) sur tous les entiers \(k\in\mathbb{N}\), donner la valeur de \(S_n\).
En sommant les relations \((\mathcal R_2)\) sur tous les entiers \(k\in\mathbb{N}\), donner la valeur de \(S_{n-1}\) et montrer que la suite \((rS_r)_{1 \leqslant r \leqslant n-1}\) est constante.
Soit \(k\in\mathbb{N}\). Démontrer la relation : \[(\mathcal S) : \ \forall x\in\mathbb{R},\ \left( x-1 \right) F_{k+1}'(x)+F_{k+1}(x)=F_k(x)\]
Soit \(k\in\mathbb{N}\). Établir que \(F_k'(1)=\mathbb{E}(Z_k)\) et \(F_k''(1)=\mathbb{E}\! \left( Z_k \left( Z_k-1 \right) \right).\)
En dérivant une fois puis deux fois la relation \((\mathcal S)\), donner la relation de récurrence vérifiée par la suite \((F_k'(1))_{k\in\mathbb{N}}\) ainsi que la relation de récurrence vérifiée par la suite \((F_k''(1))_{k\in\mathbb{N}}\).
Donner la valeur de \(F_k'(1)\) et de \(F_k''(1)\) en fonction de \(k\) et \(n\). Expliciter alors la variance \(\mathbb{V}(Z_k)\) de \(Z_k\) en fonction de \(k\) et \(n\).
On reprend toutes les notations des parties I et II et on pourra admettre tous les résultats établis dans ces deux parties. Rappelons également qu’à la question II.4 la relation \((\mathcal S)\) est démontrée ce qui revient à écrire : \[\forall k\in\mathbb{N},\ g(F_{k+1})=F_k.\] Pour finir, pour tout entier \(k\in\{0,1,\ldots,n\}\) on désigne par \(u_k\) le polynôme de \(\mathbb{R}_n[x]\) défini par : \(u_k(x)=(x-1)^k\).
Montrer que : \(\forall k\in\mathbb{N},\ \displaystyle \sum_{r=0}^n\mathbb{P}( Z_k=r) \, e_r=F_k=f^k(e_n)\).
Prouver que \((u_0,u_1,\ldots,u_n)\) est une base de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Calculer \(f(u_r)\) pour \(r\in\{0,1,\ldots,n\}\). Retrouver ainsi que \(f\) est diagonalisable.
Justifier que : \(e_n=\displaystyle \sum_{r=0}^n\binom{n}{r}u_r\) et que : \(\forall r\in\{0,1,\ldots,n\}\), \(u_r=\displaystyle \sum_{j=0}^r(-1)^{r-j}\binom{r}{j}e_j\).
Démontrer que : \(\forall k\in\mathbb{N},\ f^k(e_n)=\displaystyle \sum_{r=0}^n\dfrac{ \binom{n}{r}}{(r+1)^k} \, u_r\).
Soient \(k\in\mathbb{N}\) et \(j\in\{0,1,\ldots,n\}\). À l’aide des questions précédentes, établir que : \[\mathbb{P}( Z_k=j)=\displaystyle \sum_{r=j}^n (-1)^{r-j}\dfrac{ \binom{n}{r}\binom{r}{j}}{(r+1)^k}\]
Application.
Soit \(j\in\{0,1,\ldots,n\}\). Déterminer un réel \(M_{j,n}\) tel que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ \left| \mathbb{P}( Z_k=j) \right|\leqslant \dfrac{M_{n,j}}{(j+1)^k}\] puis justifier que la série \(\displaystyle \sum_{k\geqslant 0} \mathbb{P}( Z_k=j)\) converge lorsque \(j\in\{1,2,\ldots,n\}\).
Déterminer un réel \(C_n\) tel que : \(\forall k\in\mathbb{N},\ \left| \mathbb{P}( Z_k=0)-1 \right|\leqslant \dfrac{C_n}{2^k}\).
La série \(\displaystyle \sum_{k\geqslant 0} \mathbb{P}( Z_k=0)\) est-elle convergente ?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
